期末专题复习讲义——专题02《有理数及其运算》2025-2026学年北师大版数学七年级上册

期末复习 第二章 有理数及其运算 目录： 考情通览 知识点速览 题型全览 分层训练 核心知识点 复习目标 考点分类 有理数的相关概念与数轴 理解有理数的定义，掌握正负数、整数、分数的分类；明确数轴三要素，能借助数轴比较有理数大小 基础必考点，选择 / 填空占 3-4 分，有理数分类（含小数归属）、数轴上点的位置判断易错 相反数与绝对值 掌握相反数的定义（符号相反、和为 0），理解绝对值的几何意义（数轴上点到原点距离）及非负性 高频考点，选择 / 填空 / 解答题均涉及，绝对值的实际意义（如距离、最值）、非负性应用错误率高 有理数的运算 熟练掌握有理数加减乘除、乘方的运算法则，能准确进行混合运算（含简便运算） 核心计算考点，占 8-12 分，符号错误（如负负得正、乘方符号）、运算顺序混淆是主要失分点 科学记数法与近似数 掌握科学记数法表示形式（\(a×10^n\)，\(1≤a<10\)），能确定近似数的精确位数与有效数字 基础考点，选择 / 填空占 3 分，科学记数法中n的确定（整数位数减 1）、近似数精确位数判断易错 有理数的实际应用 运用有理数运算解决温度、利润、行程、数轴动点等实际问题，精准转化相反意义的量，结合数轴分析动态变化 高频考点，选择填空及解答题均有涉及，实际情境与数学模型转化易失分 知识点 01 有理数的相关概念与数轴 1. 定义与分类：​ 定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数。 分类方式： 2. 相关概念： 非负数：正数和 0 的统称（即a≥0），常见形式为|a|、a2（平方数均非负）。 非正数：负数和 0 的统称（即a≤0）。 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数；若a（a≠0）的倒数为，则a×=1。 3. 数轴及相关性质： 数轴：三要素：原点（0 的位置）、正方向（通常向右）、单位长度（统一尺度）；任意有理数都可在数轴上找到唯一对应点；数轴上右边的数总比左边的大；互为相反数的点关于原点对称；一个数的绝对值是数轴上该点到原点的距离。 4. 有理数大小比较方法 数轴法：将数在数轴上标出，右边的数＞左边的数。 法则法：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 作差法：若a - b > 0，则a > b；若a - b = 0，则a = b；若a - b < 0，则a < b。 5. 经典练习 典习1.（2024・辽宁本溪期末）：下列各数中，属于负分数的是（　　） A. -3  B． C．-0.25 D．0 详解：根据负分数的定义 “小于 0 的分数，有限小数和无限循环小数可化为分数” 逐一分析： 选项 A：-是负整数，整数不属于分数范畴，排除； 选项 B： 是正分数，不符合 “负” 的要求，排除； 选项 C：-0.25 ，既满足 “小于 0”，又属于分数（有限小数可化为分数），符合负分数定义； 选项 D：0既不是正数也不是负数，更不属于分数，排除； 答案选 C。． 典习 2（2024・山东烟台期中）：在数轴上，点 A 表示的数是-2，将点 A 向右移动 3 个单位长度后得到点 B，点 B 表示的数是（　　） A. -5 B．1  C．-或1  D．无法确定 详解：根据数轴上点的移动规律 “向右移动用加法，向左移动用减法”（右加左减）：点 A 初始表示的数为-2，向右移动 3 个单位长度，即对应数值变化为(-2 + 3)；计算得(-2 + 3 = 1)，故点 B 表示的数是 1； 答案选 B。 易错点：混淆 “无限循环小数” 与 “无限不循环小数”（如是无限不循环小数，不属于有理数）；数轴上单位长度不统一导致读数错误。 知识点 02 相反数与绝对值 1. 相反数： 定义：只有符号不同的两个数互为相反数（0 的相反数是 0），若a与b互为相反数，则a + b = 0。 几何意义：数轴上互为相反数的两个点关于原点对称。 性质：①a的相反数是-a，即-(-a)=a；②互为相反数的两数和为 0，即a + (-a)=0；③互为相反数的两数绝对值相等，即|a|=|-a|。 2. 绝对值： 定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记为|a|； 性质：①非负性（|a|≥0)，当且仅当a=0时|a|=0； ②； ③若|a|=|b|，则a=b或a=-b； ④|a - b|表示数轴上a、b两点间的距离。 3. 经典练习 典习3（2024・广东深圳期末）：若|x - 2| + |y + 3| = 0，则x + y的值为（　　） A. -1  B．1  C．5  D．-5。 详解：根据绝对值的核心性质 “非负性”（任意有理数的绝对值均大于或等于 0）：若两个非负数的和为 0，则这两个非负数必须同时为 0（因为非负数最小为 0，两个 0 相加才为 0）； 由|x - 2| = 0，解得x - 2 = 0，即x = 2； 由|y + 3| = 0，解得y + 3 = 0，即y = -3； 代入计算x + y = 2 + (-3) = -1； 答案选 A。 典习4（2023・成都期中）：已|a| = 5，|b| = 3，且a < b，则a + b的值为（　　） A．8或2  B．-8或-2 C．8或-2  D．-8或2 详解：根据绝对值定义确定a、b的所有可能值：绝对值为 5 的数有两个：a = 5或a = -5； 绝对值为 3 的数有两个：b = 3或b = -3； 因为a < b筛选有效组合：若a = 5：5 > 3且5 > -3，均不满足a < b，排除该情况；若a = -5：当b = 3时，-5 < 3，满足条件，此时a + b = -5 + 3 = -2；当b = -3时，-5 < -3，满足条件，此时a + b = -5 + (-3) = -8；综上，a + b的值为-8或-2； 答案选 B。 易错点：忽略绝对值的非负性；已知绝对值求原数时漏算负数值（如|a| = 5只考虑a = 5，忽略a = -5）；比较含绝对值的数时混淆符号（如误判|-5| < |3|）。 知识点 03 有理数的运算 1. 有理数的加减运算： 加法：同号相加：取相同符号，绝对值相加（如3 + 2 = 5，-3 + (-2) = -5。 异号相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值（如3 + (-2) = 1，-3 + 2 = -1）。 互为相反数相加：和为 0（如3 + (-3) = 0）。 加 0：任何数加 0 仍得原数（如5 + 0 = 5）。 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)（如3 - 5 = 3 + (-5) = -2，-3 - (-2) = -3 + 2 = -1。 2. 有理数的乘除运算 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘； 任何数乘 0 得 0；多个非 0 有理数相乘，负因数的个数为偶数时积为正，奇数时积为负。 除法法则：除以一个不为 0 的数等于乘这个数的倒数。 符号表示：a÷ b = a×，(b0\）； 同号得正，异号得负，绝对值相除。 3. 有理数的乘方定义： 求n个相同因数a的积的运算，记为an（a叫底数，n叫指数），如(-2)3 = (-2) ×(-2) ×(-2) = -8。 符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0 的任何正整数次幂都是 0。 4. 混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号）；同级运算从左到右依次进行。 5. 经典练习 典习 5（2024・成都期末）：计算-22 + (-3) × [(-4)2 + 2] - (-3)2 ÷ (-2) 详解：原式=-4+（-3）×[16+2]-9×() =-4+(-3)×18+ =-4-54+ =-58+ =- 典习6（2023・深圳期中）：用简便方法计算）. 详解：原式= ） = ）] = = . 易错点：乘方符号判断错误（如-(-2)3 = 8，易误算为-8； 混合运算中跳过乘除直接算加减（如2 + 3×4误算为20，正确应为14）； 简便运算时漏变符号（如-2×(3 - 5)误算为-6 - 10，正确应为-6 + 10）。 知识点 04 科学记数法与近似数 1. 科学记数法： 定义：把一个数表示成a×10n的形式，其中(1≤|a|＜10，n为整数； 表示方法：n为正整数，n = 整数位数 - 1（3670000 = 3.67×106，整数位数 7，n=7-1=6）； 还原方法(a×10n，将a的小数点向右移n位；（如3.67×103 = 3670）。 2. 近似数： 定义：接近准确数但与准确数有差别的数（如用 “3.14” 近似表示 “π”）； 取近似值的方法：四舍五入法（看要精确到的数位的下一位，若≥5 则进 1，若＜5 则舍去）；精确度：精确到指定数位（如 “精确到十分位”“精确到千位”），（如3.1415精确到百分位是3.14，36700精确到千位是3.7×104）； 保留有效数字：从左边第一个非 0 数字起，到末位数字止的所有数字（如0.0314有 3 个有效数字：3、1、4；3.14×10^3有 3 个有效数字：3、1、4）。 3. 经典练习 典习7 （2024・湖南长沙期末）：2024 年我国粮食总产量约为 69500 万吨，将 69500 用科学记数法表示为（　　） A．6.95×104   B．6.95×105  C．69.5×103  D．0.695×105 详解：根据科学记数法的定义 a×10n，其中\(1≤a<10\)，n为整数， 步骤 1：确定a的值：将 69500 的小数点向左移动 4 位，得到a = 6.95（满足\(1≤6.95<10\)）； 步骤 2：确定n的值：原数 69500 的整数位数为 5，故n = 5 - 1 = 4； 步骤 3：组合得科学记数法表示：\(6.95×10^4\)，与选项 A 一致； 答案选 A。 典习8（2023・山东临沂期末）：近似数2.86×105精确到的位数是（　　） A. 百分位 B．千位 C．万位 D．十万位 详解：判断科学记数法表示的近似数的精确位数，需先将其还原为原数： 步骤 1：还原近似数：2.86×105=286000； 步骤 2：确定末尾数字的位置：还原后数字 “286000” 中，“6” 位于千位（从右往左数，个位 0、十位 0、百位 0、千位 6）；故近似数2.86×105精确到千位； 答案选 B。 知识点 05 有理数的实际应用 1.核心步骤 定方向：明确相反意义的量（如收入与支出、上升与下降、向东与向西），规定其中一个为正，另一个为负； 转数据：将实际情境中的量转化为有理数（如收入 300 元记为 + 300 元，支出 200 元记为 - 200 元）； 列算式：根据问题需求，列出有理数运算算式； 算结果：按运算法则计算，结合实际意义解释结果（如结果为正表示 “收入”，为负表示 “支出”）。 2.常见场景及解法 温度变化：温差 = 最高温度 - 最低温度；某时刻温度 = 初始温度 + 变化温度（上升为正，下降为负）； 财务收支：总盈利 / 亏损 = 总收入 - 总支出（或各笔收支相加，正为盈利，负为亏损）； 行程问题：总路程 = 各段路程绝对值之和；相对位置 = 初始位置 + 各段位移（规定方向为正，反方向为负）； 数轴动点：设动点表示的数为x，根据 “两点间距离 = |x1 - x2|” 列方程或算式，分析动点运动后的位置。 3. 经典练习 典习9（2024・广东深圳期末）：某超市一周内的盈亏情况如下（盈利为正）：+520 元、-260 元、+310 元、-150 元、+450 元、-120 元、+280 元，该超市这一周总的盈亏情况是（　　） A. 盈利 1030 元 B. 盈利 1080 元 C. 亏损 1060 元 D. 亏损 1080 元 详解：第一步：明确 “盈利为正，亏损为负”，总盈亏 = 各天盈亏数据之和； 第二步：列算式并计算：(+520) + (-260) + (+310) + (-150) + (+450) + (-120) + (+280)； 第三步：分组简化计算（利用加法结合律）： 盈利组：520 + 310 + 450 + 280 = (520 + 280) + (310 + 450) = 800 + 760 = 1560（元）； 亏损组：260 + 150 + 120 = 530（元）； 总盈亏：1560 - 530 = 1030 选项 A 为 1030符合题意， 答案选 A。 典习10（2025・湖北宜昌期末）：某地一天的气温变化如下：早晨 6 时气温为 - 5℃，上午 9 时上升了 6℃，中午 12 时又上升了 3℃，下午 3 时下降了 4℃，傍晚 6 时又下降了 2℃，则傍晚 6 时的气温为多少？ 详解：规定 “上升为正，下降为负”，初始气温（早晨 6 时）为 - 5℃； 列气温变化算式：傍晚 6 时气温 = 初始气温 + 各时段变化温度，即：-5 + (+6) + (+3) + (-4) + (-2)； 计算：-5 + 6 = 1（上午 9 时气温）；1 + 3 = 4（中午 12 时气温）；4 - 4 = 0（下午 3 时气温）；0 - 2 = -2（傍晚 6 时气温）； 综上，傍晚 6 时的气温为 - 2℃。 题型一 有理数的相关概念与数轴综合应用 解题技巧 1. 利用数轴比较有理数大小：右边的数＞左边的数，正数＞0＞负数； 2. 数轴上两点距离公式：若点 A 表示a，点 B 表示b则AB = |a - b|； 3. 结合相反数、绝对值的几何意义分析问题 易错点拨 1. 数轴上单位长度需统一； 2. 计算两点距离时忽略绝对值（如认为点-3到点 2 的距离是-3 - 2 = -5，实际应为 5） 【典例 1】（2025・江苏南京期中）：在 - 3、-1、0、2 这四个数中，最小的数是（　　） A. -3 B. -1 C. 0 D. 2 详解：方法一：数轴法：将四个数在数轴上从左到右排列为：-3、-1、0、2，左边的数＜右边的数，故最小的数是 - 3； 方法二：法则法：正数（2）＞0＞负数（-3、-1）；两个负数比较，|-3|=3，|-1|=1，3＞1，故 - 3＜-1；综上，最小的数是 - 3， 答案选 A。 【典例 2】如图，数轴上有 A、B、C 三点，分别表示数a、b、c，且b是最小的正整数，a与c互为相反数，若点 B 与点 C 之间的距离为 4，则a的值为（　　） A． -3  B．-2 C．-1 D．0 详解：因为b是最小的正整数是 1，故b = ， 因为数轴上 B（表示 1）与 C（表示c）的距离为 4，且 C 在 B 左侧，根据 “右边的数 - 左边的数 = 距离”，得1-c = 4，解得c = 1 -4 = -3， 因为a与c互为相反数，a = -c = -3，符合选项 A； 答案选A。 【变式 1】下列说法正确的是（　　） A有理数分为正有理数和负有理数 B. 互为相反数的两个数一定不相等 C. 绝对值等于本身的数是正数 D. 数轴上表示 - a 的点可能在原点右侧 详解：选项 A：有理数按性质分应为 “正有理数、0、负有理数”，遗漏了 0，错误； 选项 B：0 的相反数是 0，二者相等，“一定不相等” 的表述错误； 选项 C：绝对值等于本身的数是 “正数和 0”，并非只有正数，错误； 选项 D：当 a 为负数时（如 a=-2），-a=2，对应的点在原点右侧，“可能” 的表述正确； 综上，答案选 D。 【变式 2】（2024・山东烟台期中）已知数轴上点 M 表示的数是−4，点 N 表示的数是 6，动点 P 从点 M 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t≥0）。 （1） 当t=2时，点 P 表示的数是___0___； （2） 当点 P 到点 M 的距离等于点 P 到点 N 的距离时，t的值为___2.5（或​）___。 详解：（1）动点 P 从 M（−4）出发，沿正方向运动，速度为 2 单位 / 秒，t秒后移动的距离为2t，此时点P表示的数为-4+2t，当t=2时，点 P 表示的数为−4+2×2=−4+4=0。故填0. （2）t秒后点 P 表示的数为−4+2t，因为PM=PN，所以点P是MN的中点。 所以PM=（-4+2t）-（-4）=2t，PN =6-(−4+2t)=10-2t， 所以2t=10-2t，解得t=2.5； 答案：（1）0；（2）2.5（或​）。 题型二 相反数与绝对值综合 解题技巧 1. 利用绝对值的相关性质：①非负性（|a|≥0)，当且仅当a=0时|a|=0； ②； ③若|a|=|b|，则a=b或a=-b； ④|a - b|表示数轴上a、b两点间的距离。 2 . 利用相反数的性质：①互为相反数的两数和为 0，即a + (-a)=0； ②互为相反数的两数绝对值相等，即|a|=|-a|。 易错点拨 忽略绝对值的非负性；避免的错误；相反数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数不一定是相反数。 【典例 3】（已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法： ①a+b﹣c＞0；②ab+ac＞0；③a|a|+b|b|+c|c|=1；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b． 其中正确结论序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 详解：由题意得：b＜0＜a＜c，a＜|b|＜c． ①项：∵c＞0． ∴﹣c＜0， ∵b＜0且a＜|b|． ∴a+b＜0． 此选项错误，排除AD． ④项：∵b＜0，﹣b＞0，a﹣b＞0． ∴|a﹣b|＝a﹣b． ∵|b|＜c，b＜0． ∴c+b＞0，|c+b|＝c+b． ∵a＜c，a＞0，c＞0． ∴|a﹣c|＜0，|a﹣c|＝c﹣a． ∴；|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝a﹣b﹣（c+b）+c﹣a＝﹣2b． 此选项正确． 故选：C． 【典例 4】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 　3　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　4　 ； （2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 　|x+2|　 ； （3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 详解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是|5﹣2|＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|＝4； （2）根据绝对值的定义有：数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|或|﹣2﹣x|＝|x+2|； （3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+3|可表示为点x到1与﹣3两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|有最小值4． 【变式 3】下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有 　②③④　 ．（填序号） 详解：对于①： 当a＝b＝0时，无意义， 故①错误，不符合题意； 对于②： ∵， ∴ab同号， ∵a+b＜0， ∴a＜0，b＜0， ∴a+3b＜0， ∴|a+3b|＝﹣a﹣3b， 故②正确，符合题意； 对于③： 若|a|＞|b|， 则有四种情况， 1°如数轴所示， 此时a＞b＞0， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 2°如数轴所示， 此时﹣a＜b＜0＜a， ∴a+b＞0，a﹣b＞0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 3°如数轴所示， 此时a＜b＜0， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 4°如数轴所示， 此时a＜0＜b＜﹣a， ∴a+b＜0，a﹣b＜0， ∴（a+b）（a﹣b）＞0； 综上，若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵a+b+c＜0， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵ab＞0， ∴ab同号， ∵c＞0， ∴a和b均为负数， ∴1+（﹣1）+1＝﹣1， 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 【变式 4】已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： （1）用“＞”“＜”或“＝”填空：a+b　＜　 0，a﹣b　＞　 0，a+b+c　＜　 0； （2）化简：|a+c|﹣|a+b+c|+|a﹣b|． 详解：（1）由所给数轴可知， c＜﹣1＜b＜0＜a＜1，且|c|＞|b|＞|a|， 所以a+b＜0，a﹣b＞0，a+b+c＜0． 故答案为：＜，＞，＜； （2）因为a+c＜0，a﹣b＞0，a+b+c＜0， 则原式＝﹣a﹣c﹣（﹣a﹣b﹣c）+a﹣b ＝﹣a﹣c+a+b+c+a﹣b ＝a． 题型三 有理数混合运算与简便运算 解题技巧 1. 简便运算常用方法：乘法分配律a(b + c) = ab + ac、凑整法（如99 = 100 - 1）、分组法（将正数与正数、负数与负数分组）； 2. 注意运算符号：负号多的时候可先确定符号，再算绝对值； 3. 乘方运算先判断符号，再算绝对值的乘方 易错点拨 1.区分-an与(-a)n（如-3^2 = -9，(-3)2 = 9）； 2.简便运算时漏乘或符号错误。如-2×(3 - 5) = -6 + 10，易误算为-6 - 10。 【典例 5】（2024・成都期末）计算： 解法一：原式 解法二： . 【典例 6】（2024・四川绵阳期末）：计算： 详解：原式 【变式 5】（2024・陕西西安期末）：计算： 详解：原式 . 【变式 6 】（2025・湖南岳阳期中）：计算： 详解：原式 . 题型四 有理数的实际应用（温度、行程、收支等） 解题技巧 1. 符号建模法：明确 “正、负” 对应的实际意义，将实际量转化为有理数（如 “上升” 为正，“下降” 为负）； 2. 公式套用：根据场景套用核心公式（如温差 = 最高温 - 最低温，总利润 = 总收入 - 总支出）； 3. 数轴动态分析：动点问题中，设动点表示的数为x，利用 “距离 =|x1 - x2|” 列方程； 4. 验证结果：计算后结合实际意义检验（如 “人数”“重量” 不能为负） 。 易错点拨 1. 相反意义的量规定错误（如 “亏损” 记为正）； 2. 实际数据转化时符号遗漏（如 “支出 50 元” 误记为 50 元）； 3. 动点问题中忽略运动方向（如 “向左运动” 误按向右计算）； 4.结果未带单位或单位不统一（如 “千米” 与 “米” 混用） 。 【典例 7】（2024・四川达州期末）：一探险队从大本营出发，向南走了 5km，记作 + 5km，接着向北走了 8km，又向南走了 2km，最后向北走了 4km，此时探险队相对于大本营的位置是（　　） A. 向南 4km B. 向北 5km C. 向南 5km D. 向北 4km 详解：规定 “向南为正，向北为负”，将各段行程转化为有理数：向南 5km（+5）、向北 8km（-8）、向南 2km（+2）、向北 4km（-4），则(+5 + (-8) + (+2) + (-4) = -5。所以 - 5km表示相对于大本营向北 5km。 综上，答案选 B。 【典例 8】某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +41 ﹣34 ﹣52 +127 ﹣72 +36 ﹣29 （1）根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ （2）本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． 详解：（1）由表格中的数据可得，本周生产量最多的一天是周四，比计划量多127个，本周生产量最少的一天是周五，比计划量少72个， ∴两天的差值是127﹣（﹣72）＝199（个）， 答：本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产199个； （2）∵超出记为正，不足记为负， ∴本周的产量比计划量的差值为+41﹣34﹣52+127﹣72+36﹣29＝17（个）， ∴本周实际生产总量达到了计划数量，并比计划量多17个． 【变式 7】一辆出租车一天上午以某商场为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：km）如下：+9，﹣3，﹣5，+4，﹣8，+6，﹣3，﹣6，﹣4，+10． （1）将最后一名乘客送到目的地，相对于商场出租车的位置在哪里？ （2）这天上午出租车总共行驶了　58　 千米． （3）已知出租车每行驶1千米耗油0.08L，每升汽油的售价为6.5元，如果不计其它成本，出租车司机每千米收费2.5元，那么这半天出租车盈利（或亏损）了多少元？ 详解：（1）（+9）+（﹣3）+（﹣5）+（+4）+（﹣8）+（+6）+（﹣3）+（﹣6）+（﹣4）+（+10）＝0， 出租车回到了商场处， 答：将最后一名乘客送到目的地回到了商场处． （2）|+9|+|﹣3|+|﹣5|+|+4|+|﹣8|+|+6|+|﹣3|+|﹣6|+|﹣4|+|+10|＝58． 答：共行驶了58千米． 故答案为：58； （3）58×2.5﹣58×0.08×6.5＝114.84（元）， 答：那么这半天出租车盈利了114.84元． 【变式 8】同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|＝　7　 ； （2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝　　 ； （3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的正整数是　1，2　 ； （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 详解：（1）（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7， 故答案为：7； （2）由题意知，有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等， ∴， 故答案为：； （3）2﹣（﹣5）＝2+5＝7， 结合数轴知，当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝7， ∵x是正整数， ∴x的值为1，2， 故答案为：1，2； （4）|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值为6﹣3＝3． 题型五 科学记数法与近似数 解题技巧 1. 科学记数法与单位换算结合：如 1万= 104，1 亿 = 108，将 “万”“亿” 转化为 10 的幂再表示； 2. 近似数的精确位数判断：先还原科学记数法，再看末尾数字所在位置； 3. 有效数字计算：从左起第一个非 0 数字开始数，末尾的 0 需看是否在有效数字范围内。 易错点拨 1.单位换算时漏乘 10 的幂（如将 3.2 万表示为3.2×103，实际应为3.2×104； 2.近似数保留有效数字时漏算末尾的 0（如0.020)有 2 个有效数字，易误算为 1 个） 【典例 9】（2024・广东广州期末）（1）截至 2024 年 5 月，我国 5G 基站总数约为 386 万个，将 386 万用科学记数法表示为___3.86×106___； （2）用四舍五入法将\(2.3456\)精确到百分位，得到的近似数是___2.35___，该近似数有___3___个有效数字。 详解：（1）单位换算与科学记数法结合：1 万 = 104，故 386 万 = 386×104 = 3860000，确定a = 3.86（满足1≤3.86<10）；整数位数为 7，n = 7 - 1 = 6，所以科学记数法表示为3.86×106； （2）近似数的精确与有效数字：精确到百分位（小数点后第二位）：看千分位数字（小数点后第三位），千分位为 5，根据四舍五入原则向百分位进 1，百分位 4 变为 5，故2.3456 ≈ 2.35；有效数字：从左起第一个非 0 数字2开始，到末位数字5结束，共 3 个有效数字（2、3、5）。 答案：（1）3.86×106；（2）2.35，3。 【典例 10】据统计，2024 年云南省旅游业总收入约为 2.68×10¹¹ 元，这个数表示的原数是（　　）A. 2680000000 元 B. 26800000000 元 C. 268000000000 元 D. 2680000000000 元． 详解：科学记数法还原：a×10n，n=11（正整数），需将 a=2.68 的小数点向右移 11 位； 小数点右移 1 位：26.8； 右移 2 位：268；... 右移 11 位：268000000000；选项 A 是2.68×109，选项 B 是2.68×1010，选项 D 是2.68×1012，均不符合. 综上，答案选 C。 【变式 9】“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为200cm2，如果3万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A．6×107cm2 B．0.6×106cm2 C．6×106cm2 D．60×106cm2 【变式 10】近似数2.019精确到___千分___位，有____4__个有效数字；近似数2.019×104精确到____十__位，有___4___个有效数字。 详解：近似数2.019：精确位数：小数点后第三位是千分位，故精确到千分位；有效数字：从左起第一个非 0 数字 2 起，到末位 9 止，共 4 个（2、0、1、9）；近似数2.019×104：先还原：2.019×10^4 = 20190；精确位数：2.019中末位 9 对应原数的十位（2 0 1 9 0），故精确到十位；有效数字：看a部分（2.019），共 4 个（2、0、1、9）；综上。 答案依次为：千分、4、十、4。 期末基础训练 1．在﹣2，0，250%，，﹣（﹣2），，﹣|+7|中，负有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 详解：在﹣2，0，250%，，﹣（﹣2），，﹣|+7|中，负有理数有﹣2、、﹣|+7|，共3个． 故选：C． 2．据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为（　　） A．0.4756×107 B．4.756×106 C．47.56×105 D．4.756×103 详解：4756000＝4.756×106， 故选：B． 3．若已知有理数x，y满足：|x|＝x，|y|＝﹣y，则下列说法中正确的是（　　） A．y一定是负数 B．x+y一定不小于0 C．x﹣y一定是正数 D．x一定是非负数 详解：若已知有理数x，y满足：|x|＝x，|y|＝﹣y， 则x≥0，y≤0， 那么y一定是负数说法错误，则A不符合题意， 当x＝0，y＝﹣2时，x+y＝﹣2＜0，则B不符合题意， 当x＝0，y＝0时，x﹣y＝0，既不是正数也不是负数，则C不符合题意， x一定是非负数，则D符合题意， 故选：D． 4．的倒数是 　　 ，﹣1.8的相反数是 　1.8　 ，的绝对值是 　　 ． 详解：∵， 的倒数是， ∴的倒数是； ﹣1.8的相反数是1.8； 的绝对值是． 故答案为：，1.8，． 5．若|x﹣y|+（y+1）2＝0，则x2+y2＝　2　 ． 详解：根据题意得，x﹣y＝0，y+1＝0， 解得x＝﹣1，y＝﹣1， 所以，x2+y2＝（﹣1）2+（﹣1）2＝1+1＝2． 故答案为：2． 6．如图，数轴上的点A，B对应有理数a，b，有以下四个结论：①a＜b；②﹣a＜b；③a＞b；④a＞﹣b，其中正确的是 　①　 .（填写序号） 详解：由数轴图可知，a＜﹣1＜0＜b，|a|＞b， ∴﹣a＞b，a＜﹣b， ∴①正确，②错误，③错误，④错误， ∴正确的是①． 故答案为：①． 7．计算： （1）； （2）； （3）． 详解：（1）原式＝﹣1﹣3+25×2 ＝﹣4+50 ＝46； （2）原式 ＝﹣3﹣9+6 ＝﹣6； （2）原式 （） ＝﹣2+0 ＝﹣2． 8．已知在数轴上有理数m所表示的点与1所表示的点的距离为4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：的值． 详解：∵在数轴上有理数m所表示的点与1所表示的点的距离为4个单位， ∴|m﹣1|＝4， 解得：m＝5或﹣3， ∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，1，cd＝1， ∴0﹣1+3﹣5＝﹣3或0﹣1+3+3＝5． 9．若有理数x，y满足条件：|x|＝10，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，求x﹣y的值． 详解：∵|x|＝10，|y|＝2， ∴x＝±10，y＝±2． 又∵|x﹣y|＝y﹣x， ∴x﹣y＜0，即x＜y． ∴x＝﹣10，y＝±2． 当x＝﹣10，y＝2时，x﹣y＝﹣10﹣2＝﹣12； 当x＝﹣10，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣10﹣（﹣2）＝﹣10+2＝﹣8． 综上所述，x﹣y的值为﹣12或﹣8． 10．对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝（n﹣m）﹣|m+n|． （1）若a＝﹣6，b＝7，求a⊕b的值； （2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x⊕y]⊕（﹣1）的值． 详解：（1）∵m⊕n＝（n﹣m）﹣|m+n|， ∴a⊕b＝（﹣6）⊕7＝[7﹣（﹣6]﹣|﹣6+7|＝13﹣1＝12， 即：a⊕b＝12； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7， ∴点B表示的数为﹣8或6， ∴x＝﹣8或6， ∵y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数， ∴y＝5， 当x＝﹣8时，x⊕y＝（﹣8）⊕5＝（5+8）﹣|﹣8+5|＝13﹣3＝10， ∴[x⊕y]⊕（﹣1）＝10⊕（﹣1）＝（﹣1﹣10）﹣|10+（﹣1）|＝﹣11﹣9＝﹣20， 当x＝6时，x⊕y＝6⊕5＝（5﹣6）﹣|6+5|＝﹣1﹣11＝﹣12， ∴[x⊕y]⊕（﹣1）＝（﹣12）⊕（﹣1）＝（﹣1+12）﹣|﹣12+（﹣1）|＝11﹣13＝﹣2， 综上所述，[x⊕y]⊕（﹣1）＝﹣20或﹣2． 期末重难点训练 1．有下列说法：①若a为有理数，则﹣a＜0；②0既不是正数，也不是负数；③若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x+y＝1；④若a为有理数，则a3＝（﹣a）3．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 详解：若a为有理数，则﹣a可能为0，也可能大于0，也有可能故①错误； 0既不是正数，也不是负数，故②正确； 若|x﹣3|+|y+2|＝0，则：x﹣3＝0，y+2＝0， 所以x＝3，y＝﹣2， 所以x+y＝1，故③正确； 若a为有理数，则a3，（﹣a）3不一定相等，例如23＝8，（﹣2）3＝﹣8，故④错误； 故选：B． 2．如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若a+b＜0且ab＜0，则原点的位置在（　　） A．点A左侧 B．点A与点C之间 C．点C与点B之间 D．点B右侧 详解：∵C与A，B两点的距离相等，且a+b＜0且ab＜0， ∴a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴中点C表示的数是负数， ∴原点的位置点C与点B之间， 故答案为：C． 3．按如图所示的程序计算：若开始输入的x值为﹣8，则最后输出的结果是（　　） A．80 B．56 C．16 D．1400 详解：若开始输入的x值为﹣8， 则（﹣8）2+6×（﹣8） ＝64﹣48 ＝16＜50，返回继续运算， 80＞50，输出结果， 故选：A． 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，则　4　 ． 详解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，n2＝4， ∴ ＝1﹣1+0+4 ＝4， 故答案为：4． 5．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，图中数轴的单位长度为1． （1）图中点C表示的数是 　1　 ； （2）若点D在数轴上，且CD＝3.5，则点D表示的数为 　﹣2.5或4.5　 ． 详解：（1）由条件可知AB的中点即为原点的位置， 如图所示： ∵图中数轴的单位长度为1， ∴点C表示的数为：1； 故答案为：1； （2）由（1）知，点C表示的数为：1， ∴当D在点C左侧时，点D表示的数为：1﹣3.5＝﹣2.5； 当D在点C右侧时，点D表示的数为：1+3.5＝4.5； 综上：点D表示的数为﹣2.5或4.5； 故答案为：﹣2.5或4.5． 6．下列结论：①若|x|＝|﹣3|，则x＝±3；②若|x|＝|y|，则x＝y；③若x+y＝0，则；④已知a、b、c均为非零有理数，若a＜0，a+b＜0，a+b+c＜0，则的值为2或﹣2．其中，正确的结论是　①④　 （填写序号）． 详解：因为|﹣3|＝3，所以|x|＝3，则x＝±3，故①正确； 若|x|＝|y|，则x＝y或x＝﹣y，不一定相等，例如x＝3，y＝﹣3时|x|＝|y|但x≠y，故②错误； 若x+y＝0，则y＝﹣x，但当y＝0时，|y|＝0，分母无意义；即使y≠0，成立，但结论未明确y≠0，故③错误； 由于a＜0，则，由a+b＜0和a+b+c＜0，讨论b和c的符号： 若b＞0，c＞0，需b＜|a|且b+c＜|a|，原式＝﹣1+1+1+1＝2； 若b＞0，c＜0，原式＝﹣1+1﹣1﹣1＝﹣2； 若b＜0，c＞0，原式＝﹣1﹣1+1﹣1＝﹣2； 若b＜0，c＜0，原式＝﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2． 所有情况均满足条件，表达式值为2或﹣2，故④正确． 故答案为：①④． 7．计算： ． 详解：原式 ＝6900﹣3 ＝6897． 8．阅读下列材料，完成后面任务： 计算：35解：原式＝35 （第一步） （第二步） ＝35×1（第三步） ＝35．（第四步） 任务：（1）材料中运用的数学运算律是　乘法分配律　 ． （2）利用材料中的方法计算：﹣3232． 详解：（1）由题可得： 将相同因数35提取，把剩余的部分合并为一个和，这是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2） ＝32×（﹣1） ＝﹣32， 答：原式的结果为﹣32． 9．在互联网平台的支撑下，松山区番茄小镇的村民安某在网上销售番茄，原计划每天卖200千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 三 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +8 ﹣6 +20 +5 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出　598　 千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按5元出售，每千克番茄的运费为0.8元，那么安某本周共计收入多少元？（总收入＝总销售额﹣总运费） 详解：（1）200×3+5﹣3﹣4 ＝600+5﹣3﹣4 ＝598（千克）， 故答案为：598． （2）20﹣（﹣6） ＝20+6 ＝26（千克）， 答：销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售26千克． （3）+5﹣3﹣4+8﹣6+20+5＝25（千克）， （25+200×7）×（5﹣0.8） ＝1425×4.2 ＝5985（元）， 答：安某本周共计收入5985元． 10．如图，边长是的正方形ABCD放在数轴上，点B与原点O重合，点C与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 （1）点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是　　 ． （2）点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是　12　 ． （3）点A落在（2）题表示的数时，以点O、B、D三点为顶点的三角形面积是　　 ． 详解：（1）由条件可知点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是， 故答案为：； （2）∵正方形的边长为，点B与原点O重合，点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是， ∴点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是， 故答案为：12； （3）由（2）知点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是12， 此时，点B在点A的正上方，D点所表示的数是，即， ∴以点O、B、D三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 期末拓展训练 1.如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，y是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 详解：由条件可知a+b＝0，cd＝1，x＝±3，y＝﹣1， 当x＝3时， 原式， ＝0+3﹣1+1， ＝3； 当x＝﹣3时， 原式， ＝0﹣3﹣1+1， ＝﹣3． 综上所述：代数式的值为3或﹣3． 2．已知|x|＝7，|y|＝3． （1）若y＞x，求x﹣y的值； （2）若|x+y|＝﹣（x+y），求y﹣x的值． 详解：∵|x|＝7，|y|＝3， ∴x＝±7，y＝±3， ∵y＞x， ∴x＝﹣7，y＝±3， ∴x﹣y＝﹣7﹣（﹣3）＝﹣7+3＝﹣4或x﹣y＝﹣7﹣3＝﹣10； （2）由题意可得：x＝±7，y＝±3， ∵|x+y|＝﹣（x+y）， ∴x+y≤0， ∴x＝﹣7，y＝±3， ∴y﹣x＝3﹣（﹣7）＝3+7＝10或y﹣x＝﹣3﹣（﹣7）＝﹣3+7＝4． 3．对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝（n﹣m）﹣|m+n|． （1）若a＝﹣6，b＝7，求a⊕b的值； （2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x⊕y]⊕（﹣1）的值． 详解：（1）∵m⊕n＝（n﹣m）﹣|m+n|， ∴a⊕b＝（﹣6）⊕7＝[7﹣（﹣6]﹣|﹣6+7|＝13﹣1＝12， 即：a⊕b＝12； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7， ∴点B表示的数为﹣8或6， ∴x＝﹣8或6， ∵y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数， ∴y＝5， 当x＝﹣8时，x⊕y＝（﹣8）⊕5＝（5+8）﹣|﹣8+5|＝13﹣3＝10， ∴[x⊕y]⊕（﹣1）＝10⊕（﹣1）＝（﹣1﹣10）﹣|10+（﹣1）|＝﹣11﹣9＝﹣20， 当x＝6时，x⊕y＝6⊕5＝（5﹣6）﹣|6+5|＝﹣1﹣11＝﹣12， ∴[x⊕y]⊕（﹣1）＝（﹣12）⊕（﹣1）＝（﹣1+12）﹣|﹣12+（﹣1）|＝11﹣13＝﹣2， 综上所述，[x⊕y]⊕（﹣1）＝﹣20或﹣2． 4．如图，数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a是最大的负整数，b是的倒数． （1）求线段AB的长． （2）在数轴上是否存在点P使PA+PB＝8？若存在，请求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 详解：（1）由a是最大的负整数，b是的倒数， 得：a＝﹣1，b＝2， ∴AB＝2﹣（﹣1）＝3． （2）设点P对应的数为x，当点P在点A左侧，根据PA+PB＝8， ∴﹣1﹣x+2﹣x＝8，解得：x＝﹣3.5， 当点P在点B右侧，根据PA+PB＝8， ∴x﹣（﹣1）+x﹣2＝8，解得：x＝4.5， 当点P在线段AB上时，可求PA+PB＝3，与题意不符， ∴点P对应的数为：﹣3.5和4.5． 5．以2厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C在数轴上所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． （1）若点A所表示的数是﹣1，则点C所表示的数是　3　 ． （2）若点A，B所表示的数互为相反数，求p的值． （3）若点C，O之间的距离为4厘米，求p的值． 详解：（1）由题可知A、C相距（10﹣2）÷2＝4个单位长度，且点C在点A的右边， 若点A所表示的数是﹣1，则点C所表示的数是﹣1+4＝3． 故答案为：3． （2）若A和B所表示的数互为相反数，则原点O为刻度5位置， 得A、B、C所表示的数分别为：﹣1.5，1.5，2.5， ∴p＝﹣1.5+1.5+2.5＝2.5． （3）∵C，O之间的距离为4厘米， ∴O在直尺刻度6或刻度14位置， ①O在刻度6位置时，记为“0”， 可得A、B、C所表示的数分别为﹣2，1，2， ∴p＝﹣2+1+2＝1； ②O在直尺刻度14位置时，记为“0”， 可得A、B、C所表示的数分别为﹣6，﹣3，﹣2， ∴p＝﹣6+（﹣3）+（﹣2）＝﹣11； 综上，p的值为1或﹣11． 6．如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足（b﹣9）2+|c﹣12|＝0，且BC＝CD．（1）a＝　﹣1　 ；b＝　9　 ；线段BC＝　3　 ； （2）若点P在线段AB上移动，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点P在数轴上表示的数为多少？请算出来． 详解：（1）由条件可知a＝﹣1， ∵（b﹣9）2+|c﹣12|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣12＝0， 解得b＝9，c＝12， ∴BC＝12﹣9＝3， 故答案为：﹣1，9，3； （2）由条件可知AB＝9﹣（﹣1）＝10， 当AP＝2BP时，则， ∴点P表示的数为； 当AB＝2PB时，则， ∴点P表示的数为9﹣5＝4； 当PB＝2AP时，则， ∴点P表示的数为； 综上所述，点P在数轴上表示的数为或4或． 7．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值； （2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 详解：（1）∵abc＜0， ∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， 则：1﹣1﹣1＝﹣3； ②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 则1+1+1＝1． （2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c中负数有2个，正数有1个， ∴abc＞0， ∴1． 8．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 详解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 9．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”； 再例如（﹣3）+（﹣3）+（﹣3）+（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；一般地，把，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：3④＝　　 ． （2）关于除方，下列说法正确的序号是　①②④　 ． ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何大于等于2的整数m，1ⓜ＝1； ③8⑨＝9⑧； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：　（﹣2）5 ． （4）计算：． 详解：（1）， 故答案为：； （2）①、，即任何非零数的圈2次方都等于1，故选项①正确， ②、1m＝1÷1÷…÷1＝1×1×…×1＝1，故选项②正确， ③、，， ∴8⑨≠9⑧，故选项③错误， ④、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确，故选项④正确， 故选：①②④； （3） ＝（﹣2）5， 故答案为：（﹣2）5； （4） ＝3÷729×4﹣1 ． 10．综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，因为原点表示的数是0，所以|a|＝|a﹣0|，由此可知，|7﹣（﹣2）|表示7与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与﹣2的两点之间的距离，所以|7﹣（﹣2）|＝9； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为acm的木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为17，再向左移动，当点N移动到A处时运动停止，点M与点C重合，此时点M对应的数为5． （1）由此可得，CD＝　12　 cm，a的值为　4　 cm． （2）图中点A所表示的数是　9　 ，点B所表示的数是　13　 ． （3）若木棒MN以每秒2个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？ 【拓展应用】 （4）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 详解：（1）由题知， CD＝17﹣5＝12（cm）， 所以a＝12÷3＝4（cm）， 故答案为：12，4； （2）因为AC＝AB＝BD＝4cm，且点C所表示的数是5， 则5+4＝9，9+4＝13， 所以点A所表示的数是9，点B所表示的数是13， 故答案为：9，13； （3）因为点N的运动路程为4+8＝12， 则（4+8）÷2＝6， 所以从运动开始到结束共需要6秒钟； （4）点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄，如图所示， ， 由上述过程可知， AB＝[109﹣（﹣35）]÷3＝48（岁）， 则﹣35+48＝13，13+48＝61， 所以小华现在的年龄13岁，奶奶现在的年龄61岁． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习 第二章 有理数及其运算 目录： 考情通览 知识点速览 题型全览 分层训练 核心知识点 复习目标 考点分类 有理数的相关概念与数轴 理解有理数的定义，掌握正负数、整数、分数的分类；明确数轴三要素，能借助数轴比较有理数大小 基础必考点，选择 / 填空占 3-4 分，有理数分类（含小数归属）、数轴上点的位置判断易错 相反数与绝对值 掌握相反数的定义（符号相反、和为 0），理解绝对值的几何意义（数轴上点到原点距离）及非负性 高频考点，选择 / 填空 / 解答题均涉及，绝对值的实际意义（如距离、最值）、非负性应用错误率高 有理数的运算 熟练掌握有理数加减乘除、乘方的运算法则，能准确进行混合运算（含简便运算） 核心计算考点，占 8-12 分，符号错误（如负负得正、乘方符号）、运算顺序混淆是主要失分点 科学记数法与近似数 掌握科学记数法表示形式（\(a×10^n\)，\(1≤a<10\)），能确定近似数的精确位数与有效数字 基础考点，选择 / 填空占 3 分，科学记数法中n的确定（整数位数减 1）、近似数精确位数判断易错 有理数的实际应用 运用有理数运算解决温度、利润、行程、数轴动点等实际问题，精准转化相反意义的量，结合数轴分析动态变化 高频考点，选择填空及解答题均有涉及，实际情境与数学模型转化易失分 知识点 01 有理数的相关概念与数轴 1. 定义与分类：​ 定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数。 分类方式： 2. 相关概念： 非负数：正数和 0 的统称（即a≥0），常见形式为|a|、a2（平方数均非负）。 非正数：负数和 0 的统称（即a≤0）。 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数；若a（a≠0）的倒数为，则a×=1。 3. 数轴及相关性质： 数轴：三要素：原点（0 的位置）、正方向（通常向右）、单位长度（统一尺度）；任意有理数都可在数轴上找到唯一对应点；数轴上右边的数总比左边的大；互为相反数的点关于原点对称；一个数的绝对值是数轴上该点到原点的距离。 4. 有理数大小比较方法 数轴法：将数在数轴上标出，右边的数＞左边的数。 法则法：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 作差法：若a - b > 0，则a > b；若a - b = 0，则a = b；若a - b < 0，则a < b。 5. 经典练习 典习1.（2024・辽宁本溪期末）：下列各数中，属于负分数的是（　　） A. -3  B． C．-0.25 D．0 典习 2（2024・山东烟台期中）：在数轴上，点 A 表示的数是-2，将点 A 向右移动 3 个单位长度后得到点 B，点 B 表示的数是（　　） A. -5 B．1  C．-或1  D．无法确定 易错点：混淆 “无限循环小数” 与 “无限不循环小数”（如是无限不循环小数，不属于有理数）；数轴上单位长度不统一导致读数错误。 知识点 02 相反数与绝对值 1. 相反数： 定义：只有符号不同的两个数互为相反数（0 的相反数是 0），若a与b互为相反数，则a + b = 0。 几何意义：数轴上互为相反数的两个点关于原点对称。 性质：①a的相反数是-a，即-(-a)=a；②互为相反数的两数和为 0，即a + (-a)=0；③互为相反数的两数绝对值相等，即|a|=|-a|。 2. 绝对值： 定义：数轴上表示数a的点到原点的距离，记为|a|； 性质：①非负性（|a|≥0)，当且仅当a=0时|a|=0； ②； ③若|a|=|b|，则a=b或a=-b； ④|a - b|表示数轴上a、b两点间的距离。 3. 经典练习 典习3（2024・广东深圳期末）：若|x - 2| + |y + 3| = 0，则x + y的值为（　　） A. -1  B．1  C．5  D．-5。 典习4（2023・成都期中）：已|a| = 5，|b| = 3，且a < b，则a + b的值为（　　） A．8或2  B．-8或-2 C．8或-2  D．-8或2 易错点：忽略绝对值的非负性；已知绝对值求原数时漏算负数值（如|a| = 5只考虑a = 5，忽略a = -5）；比较含绝对值的数时混淆符号（如误判|-5| < |3|）。 知识点 03 有理数的运算 1. 有理数的加减运算： 加法：同号相加：取相同符号，绝对值相加（如3 + 2 = 5，-3 + (-2) = -5。 异号相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值（如3 + (-2) = 1，-3 + 2 = -1）。 互为相反数相加：和为 0（如3 + (-3) = 0）。 加 0：任何数加 0 仍得原数（如5 + 0 = 5）。 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a - b = a + (-b)（如3 - 5 = 3 + (-5) = -2，-3 - (-2) = -3 + 2 = -1。 2. 有理数的乘除运算 乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘； 任何数乘 0 得 0；多个非 0 有理数相乘，负因数的个数为偶数时积为正，奇数时积为负。 除法法则：除以一个不为 0 的数等于乘这个数的倒数。 符号表示：a÷ b = a×，(b0\）； 同号得正，异号得负，绝对值相除。 3. 有理数的乘方定义： 求n个相同因数a的积的运算，记为an（a叫底数，n叫指数），如(-2)3 = (-2) ×(-2) ×(-2) = -8。 符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0 的任何正整数次幂都是 0。 4. 混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号）；同级运算从左到右依次进行。 5. 经典练习 典习 5（2024・成都期末）：计算-22 + (-3) × [(-4)2 + 2] - (-3)2 ÷ (-2) 典习6（2023・深圳期中）：用简便方法计算）. 详解：原式= ） 易错点：乘方符号判断错误（如-(-2)3 = 8，易误算为-8； 混合运算中跳过乘除直接算加减（如2 + 3×4误算为20，正确应为14）； 简便运算时漏变符号（如-2×(3 - 5)误算为-6 - 10，正确应为-6 + 10）。 知识点 04 科学记数法与近似数 1. 科学记数法： 定义：把一个数表示成a×10n的形式，其中(1≤|a|＜10，n为整数； 表示方法：n为正整数，n = 整数位数 - 1（3670000 = 3.67×106，整数位数 7，n=7-1=6）； 还原方法(a×10n，将a的小数点向右移n位；（如3.67×103 = 3670）。 2. 近似数： 定义：接近准确数但与准确数有差别的数（如用 “3.14” 近似表示 “π”）； 取近似值的方法：四舍五入法（看要精确到的数位的下一位，若≥5 则进 1，若＜5 则舍去）；精确度：精确到指定数位（如 “精确到十分位”“精确到千位”），（如3.1415精确到百分位是3.14，36700精确到千位是3.7×104）； 保留有效数字：从左边第一个非 0 数字起，到末位数字止的所有数字（如0.0314有 3 个有效数字：3、1、4；3.14×10^3有 3 个有效数字：3、1、4）。 3. 经典练习 典习7 （2024・湖南长沙期末）：2024 年我国粮食总产量约为 69500 万吨，将 69500 用科学记数法表示为（　　） A．6.95×104   B．6.95×105  C．69.5×103  D．0.695×105 典习8（2023・山东临沂期末）：近似数2.86×105精确到的位数是（　　） A. 百分位 B．千位 C．万位 D．十万位 知识点 05 有理数的实际应用 1.核心步骤 定方向：明确相反意义的量（如收入与支出、上升与下降、向东与向西），规定其中一个为正，另一个为负； 转数据：将实际情境中的量转化为有理数（如收入 300 元记为 + 300 元，支出 200 元记为 - 200 元）； 列算式：根据问题需求，列出有理数运算算式； 算结果：按运算法则计算，结合实际意义解释结果（如结果为正表示 “收入”，为负表示 “支出”）。 2.常见场景及解法 温度变化：温差 = 最高温度 - 最低温度；某时刻温度 = 初始温度 + 变化温度（上升为正，下降为负）； 财务收支：总盈利 / 亏损 = 总收入 - 总支出（或各笔收支相加，正为盈利，负为亏损）； 行程问题：总路程 = 各段路程绝对值之和；相对位置 = 初始位置 + 各段位移（规定方向为正，反方向为负）； 数轴动点：设动点表示的数为x，根据 “两点间距离 = |x1 - x2|” 列方程或算式，分析动点运动后的位置。 3. 经典练习 典习9（2024・广东深圳期末）：某超市一周内的盈亏情况如下（盈利为正）：+520 元、-260 元、+310 元、-150 元、+450 元、-120 元、+280 元，该超市这一周总的盈亏情况是（　　） A. 盈利 1030 元 B. 盈利 1080 元 C. 亏损 1060 元 D. 亏损 1080 元 典习10（2025・湖北宜昌期末）：某地一天的气温变化如下：早晨 6 时气温为 - 5℃，上午 9 时上升了 6℃，中午 12 时又上升了 3℃，下午 3 时下降了 4℃，傍晚 6 时又下降了 2℃，则傍晚 6 时的气温为多少？ 题型一 有理数的相关概念与数轴综合应用 解题技巧 1. 利用数轴比较有理数大小：右边的数＞左边的数，正数＞0＞负数； 2. 数轴上两点距离公式：若点 A 表示a，点 B 表示b则AB = |a - b|； 3. 结合相反数、绝对值的几何意义分析问题 易错点拨 1. 数轴上单位长度需统一； 2. 计算两点距离时忽略绝对值（如认为点-3到点 2 的距离是-3 - 2 = -5，实际应为 5） 【典例 1】（2025・江苏南京期中）：在 - 3、-1、0、2 这四个数中，最小的数是（　　） A. -3 B. -1 C. 0 D. 2 【典例 2】如图，数轴上有 A、B、C 三点，分别表示数a、b、c，且b是最小的正整数，a与c互为相反数，若点 B 与点 C 之间的距离为 4，则a的值为（　　） A． -3  B．-2 C．-1 D．0 【变式 1】下列说法正确的是（　　） A有理数分为正有理数和负有理数 B. 互为相反数的两个数一定不相等 C. 绝对值等于本身的数是正数 D. 数轴上表示 - a 的点可能在原点右侧 【变式 2】（2024・山东烟台期中）已知数轴上点 M 表示的数是−4，点 N 表示的数是 6，动点 P 从点 M 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t≥0）。 （1） 当t=2时，点 P 表示的数是______； （2） 当点 P 到点 M 的距离等于点 P 到点 N 的距离时，t的值为______。 题型二 相反数与绝对值综合 解题技巧 1. 利用绝对值的相关性质：①非负性（|a|≥0)，当且仅当a=0时|a|=0； ②； ③若|a|=|b|，则a=b或a=-b； ④|a - b|表示数轴上a、b两点间的距离。 2 . 利用相反数的性质：①互为相反数的两数和为 0，即a + (-a)=0； ②互为相反数的两数绝对值相等，即|a|=|-a|。 易错点拨 忽略绝对值的非负性；避免的错误；相反数的绝对值相等，但绝对值相等的两个数不一定是相反数。 【典例 3】（已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法： ①a+b﹣c＞0；②ab+ac＞0；③a|a|+b|b|+c|c|=1；④|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b． 其中正确结论序号是（　　） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【典例 4】点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 回答下列问题： （1）数轴上表示2和5两点之间的距离是 　　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 　　 ； （2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 　　 ； （3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【变式 3】下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若|a|＞|b|，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有 　　 ．（填序号） 【变式 4】已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： （1）用“＞”“＜”或“＝”填空：a+b　　 0，a﹣b　　 0，a+b+c　　 0； （2）化简：|a+c|﹣|a+b+c|+|a﹣b|． 题型三 有理数混合运算与简便运算 解题技巧 1. 简便运算常用方法：乘法分配律a(b + c) = ab + ac、凑整法（如99 = 100 - 1）、分组法（将正数与正数、负数与负数分组）； 2. 注意运算符号：负号多的时候可先确定符号，再算绝对值； 3. 乘方运算先判断符号，再算绝对值的乘方 易错点拨 1.区分-an与(-a)n（如-3^2 = -9，(-3)2 = 9）； 2.简便运算时漏乘或符号错误。如-2×(3 - 5) = -6 + 10，易误算为-6 - 10。 【典例 5】（2024・成都期末）计算： 【典例 6】（2024・四川绵阳期末）：计算： 【变式 5】（2024・陕西西安期末）：计算： 【变式 6 】（2025・湖南岳阳期中）：计算： 题型四 有理数的实际应用（温度、行程、收支等） 解题技巧 1. 符号建模法：明确 “正、负” 对应的实际意义，将实际量转化为有理数（如 “上升” 为正，“下降” 为负）； 2. 公式套用：根据场景套用核心公式（如温差 = 最高温 - 最低温，总利润 = 总收入 - 总支出）； 3. 数轴动态分析：动点问题中，设动点表示的数为x，利用 “距离 =|x1 - x2|” 列方程； 4. 验证结果：计算后结合实际意义检验（如 “人数”“重量” 不能为负） 。 易错点拨 1. 相反意义的量规定错误（如 “亏损” 记为正）； 2. 实际数据转化时符号遗漏（如 “支出 50 元” 误记为 50 元）； 3. 动点问题中忽略运动方向（如 “向左运动” 误按向右计算）； 4.结果未带单位或单位不统一（如 “千米” 与 “米” 混用） 。 【典例 7】（2024・四川达州期末）：一探险队从大本营出发，向南走了 5km，记作 + 5km，接着向北走了 8km，又向南走了 2km，最后向北走了 4km，此时探险队相对于大本营的位置是（　　） A. 向南 4km B. 向北 5km C. 向南 5km D. 向北 4km 【典例 8】某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +41 ﹣34 ﹣52 +127 ﹣72 +36 ﹣29 （1）根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ （2）本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． 【变式 7】一辆出租车一天上午以某商场为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：km）如下：+9，﹣3，﹣5，+4，﹣8，+6，﹣3，﹣6，﹣4，+10． （1）将最后一名乘客送到目的地，相对于商场出租车的位置在哪里？ （2）这天上午出租车总共行驶了　58　 千米． （3）已知出租车每行驶1千米耗油0.08L，每升汽油的售价为6.5元，如果不计其它成本，出租车司机每千米收费2.5元，那么这半天出租车盈利（或亏损）了多少元？ 【变式 8】同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|＝　7　 ； （2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝　　 ； （3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的正整数是　1，2　 ； （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 题型五 科学记数法与近似数 解题技巧 1. 科学记数法与单位换算结合：如 1万= 104，1 亿 = 108，将 “万”“亿” 转化为 10 的幂再表示； 2. 近似数的精确位数判断：先还原科学记数法，再看末尾数字所在位置； 3. 有效数字计算：从左起第一个非 0 数字开始数，末尾的 0 需看是否在有效数字范围内。 易错点拨 1.单位换算时漏乘 10 的幂（如将 3.2 万表示为3.2×103，实际应为3.2×104； 2.近似数保留有效数字时漏算末尾的 0（如0.020)有 2 个有效数字，易误算为 1 个） 【典例 9】（2024・广东广州期末）（1）截至 2024 年 5 月，我国 5G 基站总数约为 386 万个，将 386 万用科学记数法表示为______； （2）用四舍五入法将\(2.3456\)精确到百分位，得到的近似数是______，该近似数有______个有效数字。 【典例 10】据统计，2024 年云南省旅游业总收入约为 2.68×10¹¹ 元，这个数表示的原数是（　　）A. 2680000000 元 B. 26800000000 元 C. 268000000000 元 D. 2680000000000 元． 【变式 9】“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为200cm2，如果3万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A．6×107cm2 B．0.6×106cm2 C．6×106cm2 D．60×106cm2 【变式 10】近似数2.019精确到______位，有______个有效数字；近似数2.019×104精确到______位，有______个有效数字。 期末基础训练 1．在﹣2，0，250%，，﹣（﹣2），，﹣|+7|中，负有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．据新华社北京2025年1月7日电，2024年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达4756000件．将数据4756000用科学记数法表示应为（　　） A．0.4756×107 B．4.756×106 C．47.56×105 D．4.756×103 3．若已知有理数x，y满足：|x|＝x，|y|＝﹣y，则下列说法中正确的是（　　） A．y一定是负数 B．x+y一定不小于0 C．x﹣y一定是正数 D．x一定是非负数 4．的倒数是 　 　 ，﹣1.8的相反数是 　　 ，的绝对值是 　　 ． 5．若|x﹣y|+（y+1）2＝0，则x2+y2＝　　 ． 6．如图，数轴上的点A，B对应有理数a，b，有以下四个结论：①a＜b；②﹣a＜b；③a＞b；④a＞﹣b，其中正确的是 　　 .（填写序号） 7．计算： （1）； （2）； （3）． 8．已知在数轴上有理数m所表示的点与1所表示的点的距离为4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：的值． 9．若有理数x，y满足条件：|x|＝10，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，求x﹣y的值． 10．对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝（n﹣m）﹣|m+n|． （1）若a＝﹣6，b＝7，求a⊕b的值； （2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x⊕y]⊕（﹣1）的值． 期末重难点训练 1．有下列说法：①若a为有理数，则﹣a＜0；②0既不是正数，也不是负数；③若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x+y＝1；④若a为有理数，则a3＝（﹣a）3．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若a+b＜0且ab＜0，则原点的位置在（　　） A．点A左侧 B．点A与点C之间 C．点C与点B之间 D．点B右侧 3．按如图所示的程序计算：若开始输入的x值为﹣8，则最后输出的结果是（　　） A．80 B．56 C．16 D．1400 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，则　　 ． 5．如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，图中数轴的单位长度为1． （1）图中点C表示的数是 　1　 ； （2）若点D在数轴上，且CD＝3.5，则点D表示的数为 　 　 ． 6．下列结论：①若|x|＝|﹣3|，则x＝±3；②若|x|＝|y|，则x＝y；③若x+y＝0，则；④已知a、b、c均为非零有理数，若a＜0，a+b＜0，a+b+c＜0，则的值为2或﹣2．其中，正确的结论是　 　 （填写序号）． 7．计算： ． 8．阅读下列材料，完成后面任务： 计算：35解：原式＝35 （第一步） （第二步） ＝35×1（第三步） ＝35．（第四步） 任务：（1）材料中运用的数学运算律是　　 ． （2）利用材料中的方法计算：﹣3232． 9．在互联网平台的支撑下，松山区番茄小镇的村民安某在网上销售番茄，原计划每天卖200千克，但实际每天的销量与计划销量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：千克）： 星期 一 三 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +5 ﹣3 ﹣4 +8 ﹣6 +20 +5 （1）根据表中的数据可知前三天共卖出　598　 千克； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售多少千克？ （3）若每千克按5元出售，每千克番茄的运费为0.8元，那么安某本周共计收入多少元？（总收入＝总销售额﹣总运费） 10．如图，边长是的正方形ABCD放在数轴上，点B与原点O重合，点C与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 （1）点A第一次落在数轴上时，A点所表示的数是　　 ． （2）点A第五次落在数轴上时，A点所表示的数是　12　 ． （3）点A落在（2）题表示的数时，以点O、B、D三点为顶点的三角形面积是　　 ． 期末拓展训练 1.如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，y是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 2．已知|x|＝7，|y|＝3． （1）若y＞x，求x﹣y的值； （2）若|x+y|＝﹣（x+y），求y﹣x的值． 3．对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝（n﹣m）﹣|m+n|． （1）若a＝﹣6，b＝7，求a⊕b的值； （2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x⊕y]⊕（﹣1）的值． 4．如图，数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a是最大的负整数，b是的倒数． （1）求线段AB的长． （2）在数轴上是否存在点P使PA+PB＝8？若存在，请求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 5．以2厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C在数轴上所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． （1）若点A所表示的数是﹣1，则点C所表示的数是　3　 ． （2）若点A，B所表示的数互为相反数，求p的值． （3）若点C，O之间的距离为4厘米，求p的值． 6．如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足（b﹣9）2+|c﹣12|＝0，且BC＝CD．（1）a＝　﹣1　 ；b＝　9　 ；线段BC＝　3　 ； （2）若点P在线段AB上移动，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点P在数轴上表示的数为多少？请算出来． 7．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值； （2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 8．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 9．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”； 再例如（﹣3）+（﹣3）+（﹣3）+（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；一般地，把，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：3④＝ ． （2）关于除方，下列说法正确的序号是 ． ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②对于任何大于等于2的整数m，1ⓜ＝1； ③8⑨＝9⑧； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：　 ． （4）计算：． 10．综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，因为原点表示的数是0，所以|a|＝|a﹣0|，由此可知，|7﹣（﹣2）|表示7与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与﹣2的两点之间的距离，所以|7﹣（﹣2）|＝9； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为acm的木棒MN放在一条数轴（单位长度为1cm）上，它的两端M，N分别落在点A，B处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点M移动到B处时，点N与点D重合，此时点N对应的数为17，再向左移动，当点N移动到A处时运动停止，点M与点C重合，此时点M对应的数为5． （1）由此可得，CD＝　　 cm，a的值为　　 cm． （2）图中点A所表示的数是　　 ，点B所表示的数是　　 ． （3）若木棒MN以每秒2个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？ 【拓展应用】 （4）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $