专题02 有理数及其运算（知识&考点&公式&8高频&4易错&5重难&4模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材北师大版

专题02 有理数及其运算 目 录 识记类 思维导图 知识清单(13类) 考点清单(9类) 公式清单(19类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 正数与负数 相反意义的量： · 生活中出现的具有相反意义的量，如：零上温度与零下温度、收入与支出、上升与下降、盈利与亏损、向东与向西等。 · 为了表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量规定为__________，用过去学过的数（0除外）表示；把与它意义相反的量规定为__________，用在前面放上"−"（读作负）号来表示。 正数与负数的定义： · 正数：像 +3、+15、+2.4% 这样的数，正数前面的"__________"可以省略不写。 · 负数：像 −3、−8、−0.5% 这样的数，负数前面的"__________"不能省略。 · 0：既不是__________，也不是__________。0是正数与负数的分界。 注意： · 0不仅表示"没有"，它还是一个基准量，如0℃表示一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度。 · 带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数（如−(−3)=3是正数）。 知识点02 有理数的分类 1. 定义：整数和分数统称为有理数； 1. 分类方式 1（按定义） 整数：__________、__________、__________； 分数：__________、__________；有限小数、无限循环小数都能化为分数，属于有理数； 1. 分类方式 2（按正负符号） __________（正整数、正分数）、__________、__________（负整数、负分数）； 1. 注意：无限不循环小数（如 ）不能写成分数，不属于有理数。 重要概念： · 整数与分数统称__________。 · 有限小数和无限循环小数都可以化为__________，因此都是有理数。 · 无限不循环小数（如π）不是有理数。 知识点03 相反数 定义：像3与−3、3/2与−3/2、5与−5这样，符号__________、数量__________的两个数，其中一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 特别地：0的相反数是__________。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的__________相等。 表示方法： · 数a的相反数是−a（a可以是正数、负数或0）。 · 多重符号化简：−(+5) = −5；−(−5) = +5 = 5；−0 = 0。 · 化简规律：奇负偶正（一个数前面有偶数个"−"号，结果为正；有奇数个"−"号，结果为负）。 性质： · 若a与b互为相反数，则 a + b = 0；反之，若 a + b = 0，则a与b互为相反数。 知识点04 绝对值 定义：一个数表示的__________多少叫作这个数的绝对值。在数轴上，一个数所对应的点与原点的__________叫做这个数的绝对值。记作__________。 绝对值的性质： · 正数的绝对值是它本身：若 a > 0，则 |a| = __________ · 负数的绝对值是它的相反数：若 a < 0，则 |a| = __________ · 0的绝对值是0：|0| = __________ 重要结论： · 任何有理数的绝对值都是__________，即 |a| __________ 0。 · 绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数。 · 互为相反数的两个数的绝对值相等：|a| = |−a|。 知识点05 数轴 定义：规定了__________、__________和__________的直线叫做数轴。 数轴的三要素： 1. 原点：在直线上取一点表示__________ 2. 单位长度：选取某一长度作为单位长度 3. 正方向：规定直线上向__________的方向为正方向 数轴上的点与有理数的关系： · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 · 正数在原点的右边，负数在原点的左边。 · 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 知识点06 有理数的大小比较 法则1（数轴比较法）：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的__________。 法则2（代数比较法）： · 正数大于__________，负数小于__________，正数__________负数。 · 两个负数，绝对值大的反而__________。 比较两个负数大小的步骤： 1. 先求两个数的绝对值 1. 比较绝对值的大小 1. 根据"绝对值大的反而小"写出结论 知识点07 有理数的加法法则 法则内容： 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相__________。 · 例：(−2) + (−3) = −(2+3) = −5 1. 异号两数相加： · 绝对值相等时和为__________（互为相反数的两个数相加得0）。 · 绝对值不等时，取绝对值较______的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 · 例：(−5) + 3 = −(5−3) = −2；5 + (−3) = +(5−3) = 2 1. 一个数同0相加：仍得这个数。 加法运算律： · 加法交换律：a + b = __________ · 加法结合律：(a + b) + c = __________ 简便运算技巧： · 相反数结合法（互为相反数的先加） · 同号结合法（同号的先加） · 同分母结合法 · 凑整凑零法（能凑成整数的先加） 知识点08 有理数的减法法则 法则内容：减去一个数，等于加这个数的相反数。 字母表示：a − b = __________ 减法统一成加法的步骤： 1. 把减号变成加号 1. 把减数变成它的相反数 1. 按照加法法则计算 加减混合运算： · 有理数的加减混合运算可以统一成加法运算。 · 例如：4.5 − 3.2 + 1.1 − 1.4 = 4.5 + (−3.2) + 1.1 + (−1.4) · 可以省略加号和括号，写成：4.5 − 3.2 + 1.1 − 1.4 · 读作："正4.5、负3.2、正1.1、负1.4的和"或"4.5减3.2加1.1减1.4" 知识点09 有理数的乘法法则 法则内容： 1. 两数相乘，同号得__________，异号得__________，并把绝对值相__________。 1. 任何数与0相乘，积仍为0。 多个有理数相乘： · 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： · 当负因数有奇数个时，积为__________； · 当负因数有偶数个时，积为__________。 · 几个数相乘，有一个因数为0时，积为__________。 倒数： · 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 · 注意：0没有__________。 · 倒数等于它本身的数是1和−1。 乘法运算律： · 乘法交换律：ab = __________ · 乘法结合律：(ab)c =__________ · 乘法对加法的分配律：a(b + c) =__________ 知识点10 有理数的除法法则 法则内容： 1. 两数相除，同号得__________，异号得__________，并把绝对值相__________。 1. 0除以任何非0的数都得__________。 1. 注意：0不能作__________。 除法转化为乘法： · 除以一个数等于乘这个数的倒数。 · 字母表示：a ÷ b = __________（b ≠ 0） 乘除混合运算： · 先将除法统一成乘法 · 确定积的符号 · 最后算出结果 知识点11 有理数的乘方 定义：求n个相同因数a的__________的运算叫做乘方，乘方的结果叫做__________。 各部分名称： · a叫做底数 · n叫做指数 · aⁿ读作"a的n次幂"（或"a的n次方"） 符号规律： · 正数的任何次幂都是正数。 · 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 · 0的任何正整数次幂都是0。 注意： · (−2)⁴ 与 −2⁴ 的区别： · (−2)⁴ = (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = 16 · −2⁴ = −(2×2×2×2) = −16 · 分数的乘方要加括号：(1/2)³ ≠ 1/2³ 知识点12 科学记数法 定义：一般地，一个大于10的数可以表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。 n的确定方法： · n等于原数的整数位数减1。 · 例：1 440 000 000 是10位数，n = 9，即 1.44 × 10⁹ 负数的科学记数法： · 小于−10的数也可以用类似方法表示，如 −2 590 000 = −2.59 × 10⁶ 知识点13 有理数的混合运算 运算顺序： 1. 先算__________，再算__________，最后算__________； 1. 如果有括号，先算括号里面的； 1. 同级运算，从左到右进行。 简便运算优先： · 能使用运算律简化计算的，应该先用运算律。 考点01 正负数的意义与相反意义的量 考查形式：给出生活情境，用正负数表示相反意义的量；判断正负数。 解题关键： · 先确定哪个方向为正，另一个方向就为负。 · 注意0的特殊意义。 典型考法： · 零上5℃记作+5℃，零下3℃记作什么？ · 向东走4m记作+4m，那么−2m表示什么？ · 净含量：10kg ± 50g 表示什么意思？ 考点02 有理数的分类 考查形式：把一组数填入相应的集合（正数集合、负数集合、整数集合、分数集合等）。 解题技巧： · 先化简所有数（多重符号、绝对值） · 再按标准分类 · 注意：0是整数，但既不是正数也不是负数 易错点： · 有限小数和无限循环小数都是分数 · π不是有理数 考点03 相反数与绝对值的概念 考查形式：求一个数的相反数或绝对值；已知|a|求a；绝对值非负性的应用。 解题关键： · 相反数：符号__________，数值__________ · 绝对值：距离，一定是__________的 · 已知|a| = 3，则a = 3或a = −3（两个答案！） 高频考点： · |a|__________ 0（绝对值的非负性） · 若|a| + |b| = 0，则a = 0且b = 0 考点04 数轴与有理数大小比较 考查形式：数轴上点表示的数；比较有理数大小；数轴上两点间的距离。 解题技巧： · 画数轴 → 标点 → 比较位置 · 两个负数比较：先求绝对值，绝对值大的反而小 数轴上两点间距离公式： · 点A表示a，点B表示b，则AB = |a − b| 考点05 有理数的加减运算 考查形式：直接计算；加减混合运算；简便运算；实际应用（温差、水位变化等）。 解题步骤： 1. 减法统一成__________法（减号变加号，减数变相反数） 1. 省略加号和括号 1. 用运算律简便计算（同号结合、相反数结合、同分母结合） 1. 算出结果 高频易错： · 减法变加法时，只改变减号，忘记改变减数的符号 · 符号错误 考点06 有理数的乘除运算 考查形式：直接计算；乘除混合运算；分配律的应用；倒数的概念。 解题关键： · 先定__________，再算__________ · 多个数相乘：数负因数的个数，奇__________偶__________ · 除法变乘法：除以一个数 = 乘它的__________ 分配律易错： · (−+ ) × (−24) = (−)×(−24) + ×(−24) · 注意：分配律要分配到每一项，不要漏乘 考点07 有理数的乘方 考查形式：辨析底数和指数；计算乘方；判断幂的符号；乘方的实际应用（折纸、分裂）。 解题关键： · 注意括号的有无：(−2)⁴ vs −2⁴ · 符号规律：负数偶次幂为正，奇次幂为负 考点08 科学记数法 考查形式：用科学记数法表示大数；把科学记数法还原成原数。 解题技巧： · 原数 → 科学记数法：数整数位数，位数−1 = n · 科学记数法 → 原数：把a的小数点向右移动n位 考点09 有理数的混合运算（难点） 考查形式：综合计算；简便运算；24点游戏；实际应用。 解题步骤： 1. 观察算式结构，确定运算顺序 1. 先算乘方 1. 再算乘除（从左到右） 1. 最后算加减（有括号先算括号内） 1. 能简算的用运算律简算 序号 公式/结论 说明 1 a的相反数是 −a a可以是正数、负数或0 2 若a、b互为相反数，则 a + b = 0 反之亦然 3 正数的绝对值是它本身 若 a > 0，则 |a| = a 4 负数的绝对值是它的相反数 若 a < 0，则 |a| = −a 5 0的绝对值是0 |0| = 0 6 任何数的绝对值都是非负数 |a| ≥ 0 7 数轴上两点间距离：AB = |a − b| a、b分别是两点表示的数 8 加法交换律：a + b = b + a 9 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 10 减法法则：a − b = a + (−b) 减法统一成加法 11 乘法交换律：ab = ba 12 乘法结合律：(ab)c = a(bc) 13 分配律：a(b + c) = ab + ac 14 除法法则：a ÷ b = a × (1/b) b ≠ 0，除以一个数等于乘倒数 15 多个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定 奇负偶正 16 乘方定义：aⁿ = a × a × … × a（n个a） 17 负数的偶次幂为正，奇次幂为负 18 科学记数法：a × 10ⁿ，1 ≤ |a| < 10 n = 原数整数位数 − 1 19 混合运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减 有括号先算括号内 辨析01 相反数与倒数概念的辨析 对比项 相反数 倒数 定义 符号不同，数量相等 乘积为1 表示方法 a的相反数是 −a a的倒数是 特例 0的相反数是0 0没有倒数 性质 a + (−a) = 0 a ×= 1 等于本身的数 0 1和−1 辨析02 (−2)⁴ 与−2⁴ 表达式 含义 结果 (−2)⁴ 4个(−2)相乘 (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = 16 −2⁴ 2⁴的相反数 −(2×2×2×2) = −16 辨析03 绝对值等于3的数 问题 答案 易错提醒 |x| = 3，x = ? x = 3 或 x = −3 有两个解！不要漏掉−3 |x| = 0，x = ? x = 0 只有一个解 |x| = −3，x = ? 无解 绝对值不可能是负数 辨析04 两个负数比较大小 错误做法 正确做法 因为 6 > 5，所以 −6 > −5 因为 |−6| = 6 > |−5| = 5，所以 −6 < −5 口诀：两个负数比大小，绝对值大的反而小。 辨析05 减法变加法的符号变化 错误示例 正确示例 3 − (−5) = 3 − 5 = −2 3 − (−5) = 3 + 5 = 8 −3 − 5 = −3 + 5 = 2 −3 − 5 = −3 + (−5) = −8 关键：减号变加号的同时，减数必须变号！"两变"：变运算符号，变减数性质符号。 辨析06 分配律的漏乘问题 错误示例 正确示例 2(x + 3) = 2x + 3 2(x + 3) = 2x + 6 (−24)×(−) = −12 − 8 (−24)×(−) = −12 + 8 = −4 关键：分配律要分配到括号里的每一项，包括符号！ 辨析07 乘除混合运算的顺序 错误做法 正确做法 15 ÷ (−) × (−4) = 15 ÷ [(−)×(−4)] = 15 ÷ 3 = 5 乘除是同级运算，从左到右算！ 15 ÷ (−) × (−4) = 15 × (−) × (−4) = 80 关键：乘除同级，从左到右，不能先算后面的乘法！ 辨析08 “0”的特殊身份 概念 0的情况 易错提醒 0是正数吗？ ❌ 不是 0既不是正数也不是负数 0是负数吗？ ❌ 不是 0是整数吗？ ✅ 是 0是有理数吗？ ✅ 是 0的相反数是？ 0本身 0的绝对值是？ 0 0有倒数吗？ ❌ 没有 0不能作除数 0乘任何数？ 都得0 0除以任何数？ 都得0 注意：0不能作除数 【题型一】正负数的意义与相反意义的量 【例1-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的是（     ） A．任何数前面加上“”号，结果都是负数 B．是正数 C．若是正数，则可能是正数 D．0既不是正数，也不是负数 【例1-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）在，2，，0，0.0123中，负数有（     ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（25-26七年级上·福建三明·期中）某小卖部一天卖货盈利元，记作元，则同一天进货采购花费元，应记作_____． 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）我国是最早认识和使用负数的国家．早在公元3世纪，我国数学家刘徽就说“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：在计算过程中遇到相反意义的量，以正数和负数来区分它们，足球比赛中，如果我们记进球数5个为，那么失球数3个应记为_____． 【题型二】有理数的定义与分类 【例2-1】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填入相应的集合里． ，，，，0，，，． (1)正数集合：{                          …}； (2)负分数集合：{                …}； (3)非正数集合：{                         …}． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（） A．所有的整数都是正数 B．是最大的负整数 C．0是最小的有理数 D．整数、0和分数统称为有理数 【变式2-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内； ，，0，，，，，，，． 正有理数集：{                …}； 负有理数集：{                …}； 正整数集：{                  …}； 负整数集：{                  …}； 自然数集：{                  …}． 【题型三】相反数、绝对值的定义与性质 【例3-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例3-2】（25-26七年级上·河南安阳·期中）若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖南·期中）下列各数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和3 D．和 【变式3-2】（25-26九年级下·福建福州·期中）实数、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D． 【题型四】倒数的定义与性质 【例4-1】（25-26七年级上·青海西宁·期中）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列各对数中，互为倒数的一对是（   ） A．和 B．和4 C．和 D．0和0 【变式4-1】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）已知和互为倒数，，那么____________ 【变式4-2】（25-26七年级上·内蒙古兴安·期中）的倒数与的倒数的和的相反数______． 【题型五】数轴与有理数比较大小 【例5-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各图中，表示数轴的是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26七年级上·湖南湘西·期中）在数轴上表示下列各数：，，，，及它们的相反数． 【变式5-1】（25-26七年级上·广西崇左·期中）下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【题型六】有理数的加减运算 【例5-1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． (1)； (2) 【例5-2】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）计算： (1)； (2)． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算∶ (1) (2) 【变式5-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【题型七】有理数的乘除运算 【例5-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【例5-2】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）阅读下面的解题过程并解决问题：计算：． 解：原式…① …② …③ (1)上述的解题步骤从第__________步开始错误； (2)请写出这个计算题正确的解题步骤． 【变式5-1】（25-26六年级上·上海黄浦·期中）计算：． 【变式5-2】（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)． 【题型八】有理数的乘方与科学记数法 【例5-1】（25-26七年级上·新疆·期中）下列各组中的两个数，运算后结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例5-2】（25-26七年级上·广西·期中）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级上·贵州·期中）将按从小到大的顺序排列是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级上·四川德阳·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一． 例：． 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一． 例：把二进制数10010转换为十进制数为，其他进制也有类似的算法… 根据以上信息，将二进制数1011换算成十进制数的结果为（ ） A．22 B．17 C．11 D．10 【题型一】带“非”字的有理数 【例1】（25-26七年级上·新疆哈密·期中）下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错警示 · 非负数 = 正数 + 0 · 非正数 = 负数 + 0 · 非负整数 = 正整数 + 0（即自然数） · 非正整数 = 负整数 + 0 · 口诀：凡带"非"，必含零 【变式1-1】（25-26七年级上·山东淄博·期中），，，，0，，6，， 分数集合：__________ …； 非负整数集合：__________ …； 非正数集合：__________ …； 正有理数集合：__________ …； 自然数集合：__________ … 【变式1-2】（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·期中）有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-3】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）把下列各数填在相应的集合中： ． 正有理数集合：{_________……}        负分数集合：{_________……} 非负整数集合：{_________……}      非正数集合：{_________……} 【题型二】有理数的混合运算 【例2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 易错警示 · 乘方运算优先级最高，如 -2² 是 -(2²) = -4，不是 (-2)² = 4 · 同级运算从左到右，不能随便交换 · 有括号从内到外逐层算 · 负号个数：奇数个负号结果为负，偶数个为正 · 去括号：括号前是"-"号，括号内每一项都要变号 · 减法统一成加法：a - b = a + (-b)，再判断符号 【变式2-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）计算： (1) (2) 【变式2-2】（25-26七年级上·河南焦作·期中）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三】有理数混合运算的实际应用 【例3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 易错警示 · 先明确"正方向"，与正方向相同为正，相反为负 · 求总路程时全部取绝对值相加；求最终位置时带符号运算 · 两种问题不要混淆：路程=绝对值之和，位置=代数和 · 水费、出租车费分段计费时超过部分一定要减基数：如起步价3公里8元，超过部分每公里2元，走了10公里→8 + (10-3)×2 【变式3-1】（25-26七年级上·广东惠州·期中）每年6月是樱桃旺季．某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，不足部分记作负数．下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况． 员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5 采摘质量/ (1)员工2采摘樱桃_____，员工3比员工5多采摘樱桃_____； (2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明这5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量． 【变式3-2】（25-26七年级上·四川泸州·期中）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期____________； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【变式3-3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中） 怎样邮寄柚子更经济？ 冬季盛产柚子．小温家的柚子每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了12箱柚子，每箱以12千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.5 0.2 箱数 2 5 5 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）3元/千克，不足1千克按1千克计．不足30千克的包裹免包装费，超过30千克的包裹需要额外支付包装费50元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，柚子受损率越高．一个包裹在30千克以内，柚子几乎无受损；一个包裹质量在100千克至150千克之间，柚子的受损率估计为5%，受损部分由小温家按售价退还相应现金． 任务1 （1）计算这12箱柚子的总质量． 任务2 （2）方案一：分12箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：12箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 （3）今年柚子的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄12箱柚子哪种方案利润更高？ 【题型四】绝对值的非负性及其几何意义 【例4】（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 易错警示 · |a| ≥ 0，绝对值具有非负性 · 若 |a| + |b| = 0，则 a = 0 且 b = 0 · 同理：|a| + (b-1)² = 0 → a=0 且 b=1 · |a|：数轴上点a到原点的距离 · |x-a|：数轴上点x到点a的距离 · |x-1| + |x-3| 的最小值 = 2（1到3的距离），当x在1和3之间时取到 【变式4-1】（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 【变式4-2】（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【变式4-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）式子的最小值是______． 【题型一】有理数加减法的运算律与简便运算 【例1-1】（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______． 【例1-2】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）计算： (1) (2) 【变式1-1】（25-26七年级上·四川内江·期中）计算：_______． 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【题型二】有理数乘除法的运算律与简便运算 【例2-1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）计算______． 【例2-2】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在下列算式每一步后面填上这一步应用的运算律： （( )） （__________） （__________） 【变式2-2】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【题型三】数轴上的动点问题 【例3-1】（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【例3-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）数轴上点的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点 ，将点C向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是 ． (2)在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和． (3)将，0，，这四个数用“”号连接起来． 【变式3-1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 【题型四】数轴上的规律探究问题 【例4-1】（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【例4-2】（25-26七年级上·重庆·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为、、、，点落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式4-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【题型五】有理数混合运算的新定义问题 【例5-1】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【例5-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）定义一种新运算“@”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如： (1)； (2)当，时，计算的值． 【变式5-1】（25-26七年级上·广东江门·期中）定义一种新运算：对于任意有理数都满足，例如：， (1)求的值： (2)计算：．（有括号先算括号） 【变式3-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：_____； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）； (3)若，计算：． 【题型一】多重符号化简模型 【模型解读】 一个数前面有多个正负号（如−(−(+5))），不需要一层一层算，直接数"−"号的个数，用"奇负偶正"一秒出结果。 【结论】 · 一个数前面有偶数个"−"号 → 结果为正 · 一个数前面有奇数个"−"号 → 结果为负 · "−"号的个数只数负号，正号不影响 【例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）化简：________． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）计算：________． 【变式1-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）___________． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）比较大小：______；______（选填“>”、“=”或“<”）． 【题型二】绝对值化简分类讨论模型 【模型解读】 遇到含绝对值的式子（如|a|、|x−2|），先判断绝对值里面的表达式是正、是负还是零，再根据性质去掉绝对值符号。这是有理数部分最核心的分类讨论模型。 【结论】 绝对值内表达式 化简结果 若 a > 0 |a| = a 若 a = 0 |a| = 0 若 a < 0 |a| = −a 【例2】（25-26七年级上·山东威海·期中）已知，，且，则__________． 【变式2-1】（25-26七年级上·广东清远·期中）若，则 ______． 【变式2-2】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知与互为相反数，求的值． 【变式2-3】（25-26七年级上·山东潍坊·期中）（1）若，n的相反数是3，求m，n的值； （2）若，求． 【题型三】乘法分配律正逆两用模型 【模型解读】 分配律是有理数运算中最常用的简便工具。正向用：a(b+c) = ab+ac，拆开算更简单；逆向用：ab+ac = a(b+c)，提取公因数更简单。关键是找对可以约分的数。 【结论】 方向 公式 适用场景 正向分配 a(b + c) = ab + ac 括号外的数能分别约掉括号内分母 逆向提取 ab + ac = a(b + c) 各项有相同因数 拆数分配 a×(b + c) = ab + ac 把接近整十整百的数拆开 【例3】（25-26七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 【变式3-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 【变式3-2】（25-26七年级上·上海浦东新区·期中）计算：． 【变式3-3】（25-26七年级上·吉林辽源·期中）计算：． 【题型四】混合运算三步定序模型 【模型解读】 有理数混合运算容易出错，核心是运算顺序不能乱。记住三步：先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号里的；同级运算从左到右。做完一步定一步，不要跳步。 【结论】 模型结论： 第一步：先算乘方（从高到低，从内到外） 第二步：再算乘除（同级，从左到右） 第三步：最后算加减（同级，从左到右） 特殊：有括号 → 先算括号里面的（小→中→大） 运算优先级：括号 > 乘方 > 乘除 > 加减 简便优先原则： · 能使用运算律简算的，优先简算，不一定按顺序硬算 · 分配律、结合律能大幅减少计算量 【例4】（25-26七年级上·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式4-1】（25-26七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-2】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)． 【变式4-3】（25-26七年级上·山西运城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 技巧 一句话要点 用正负数表示相反意义的量——"基准定位法" 先选一个基准定为0，规定正方向，另一侧就为负；注意0是基准，不是"没有"。 判断有理数分类——"先化简再归类法" 先把多重符号、绝对值全部化简，再按标准逐一归类；0是整数，不归正也不归负。 多重符号化简——"奇负偶正法" 数负号的个数：偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负；正号不影响。 求一个数的相反数——"符号翻转法" 只改符号不改数值，正变负、负变正；0的相反数还是0。 求绝对值——"去判留号法" 正数直接写本身，负数去掉负号写正数，0就是0；绝对值一定非负。 已知|a|=m求a——"双解检验法" 绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数；不要漏掉负的那个解。 比较有理数大小——"数轴标点法" 画数轴，把数标上去，右边的数总比左边大；位置一摆，大小自见。 两个负数比较大小——"绝对值反较法" 先比绝对值，绝对值大的那个负数反而小；正好和正数比大小相反。 有理数加法计算——"先号后值法" 先定符号（同号同号、异号跟大），再算绝对值（同号加、异号减）。 减法变加法——"两变一不变法" 减号变加号，减数变相反数，被减数不变；a−b = a+(−b)。 加减混合运算——"统一省略法" 全部减法变加法后，省略加号和括号，写成省略形式再用运算律简算。 加法简便运算——"四凑结合法" 相反数先凑零、同号先凑堆、同分母先凑整、能凑整的先凑一起算。 多个乘法定符号——"奇负偶正法" 数负因数个数：奇数个负号积为负，偶数个负号积为正；有一个零积为零。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数及其运算 目 录 识记类 思维导图 知识清单(13类) 考点清单(9类) 公式清单(19类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 正数与负数 相反意义的量： · 生活中出现的具有相反意义的量，如：零上温度与零下温度、收入与支出、上升与下降、盈利与亏损、向东与向西等。 · 为了表示具有相反意义的量，把其中一种意义的量规定为正，用过去学过的数（0除外）表示；把与它意义相反的量规定为负，用在前面放上"−"（读作负）号来表示。 正数与负数的定义： · 正数：像 +3、+15、+2.4% 这样的数，正数前面的"+"可以省略不写。 · 负数：像 −3、−8、−0.5% 这样的数，负数前面的"−"不能省略。 · 0：既不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界。 注意： · 0不仅表示"没有"，它还是一个基准量，如0℃表示一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度。 · 带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数（如−(−3)=3是正数）。 知识点02 有理数的分类 1. 定义：整数和分数统称为有理数； 1. 分类方式 1（按定义） 整数：正整数、0、负整数； 分数：正分数、负分数；有限小数、无限循环小数都能化为分数，属于有理数； 1. 分类方式 2（按正负符号） 正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）； 1. 注意：无限不循环小数（如 ）不能写成分数，不属于有理数。 重要概念： · 整数与分数统称有理数。 · 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此都是有理数。 · 无限不循环小数（如π）不是有理数。 知识点03 相反数 定义：像3与−3、3/2与−3/2、5与−5这样，符号不同、数量相等的两个数，其中一个数叫做另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 特别地：0的相反数是0。 几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等。 表示方法： · 数a的相反数是−a（a可以是正数、负数或0）。 · 多重符号化简：−(+5) = −5；−(−5) = +5 = 5；−0 = 0。 · 化简规律：奇负偶正（一个数前面有偶数个"−"号，结果为正；有奇数个"−"号，结果为负）。 性质： · 若a与b互为相反数，则 a + b = 0；反之，若 a + b = 0，则a与b互为相反数。 知识点04 绝对值 定义：一个数表示的数量多少叫作这个数的绝对值。在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。记作 |a|。 绝对值的性质： · 正数的绝对值是它本身：若 a > 0，则 |a| = a · 负数的绝对值是它的相反数：若 a < 0，则 |a| = −a · 0的绝对值是0：|0| = 0 重要结论： · 任何有理数的绝对值都是非负数，即 |a| ≥ 0。 · 绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数。 · 互为相反数的两个数的绝对值相等：|a| = |−a|。 知识点05 数轴 定义：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。 数轴的三要素： 1. 原点：在直线上取一点表示0 2. 单位长度：选取某一长度作为单位长度 3. 正方向：规定直线上向右的方向为正方向 数轴上的点与有理数的关系： · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 · 正数在原点的右边，负数在原点的左边。 · 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 知识点06 有理数的大小比较 法则1（数轴比较法）：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 法则2（代数比较法）： · 正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 · 两个负数，绝对值大的反而小。 比较两个负数大小的步骤： 1. 先求两个数的绝对值 1. 比较绝对值的大小 1. 根据"绝对值大的反而小"写出结论 知识点07 有理数的加法法则 法则内容： 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 · 例：(−2) + (−3) = −(2+3) = −5 1. 异号两数相加： · 绝对值相等时和为0（互为相反数的两个数相加得0）。 · 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 · 例：(−5) + 3 = −(5−3) = −2；5 + (−3) = +(5−3) = 2 1. 一个数同0相加：仍得这个数。 加法运算律： · 加法交换律：a + b = b + a · 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 简便运算技巧： · 相反数结合法（互为相反数的先加） · 同号结合法（同号的先加） · 同分母结合法 · 凑整凑零法（能凑成整数的先加） 知识点08 有理数的减法法则 法则内容：减去一个数，等于加这个数的相反数。 字母表示：a − b = a + (−b) 减法统一成加法的步骤： 1. 把减号变成加号 1. 把减数变成它的相反数 1. 按照加法法则计算 加减混合运算： · 有理数的加减混合运算可以统一成加法运算。 · 例如：4.5 − 3.2 + 1.1 − 1.4 = 4.5 + (−3.2) + 1.1 + (−1.4) · 可以省略加号和括号，写成：4.5 − 3.2 + 1.1 − 1.4 · 读作："正4.5、负3.2、正1.1、负1.4的和"或"4.5减3.2加1.1减1.4" 知识点09 有理数的乘法法则 法则内容： 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 1. 任何数与0相乘，积仍为0。 多个有理数相乘： · 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： · 当负因数有奇数个时，积为负； · 当负因数有偶数个时，积为正。 · 几个数相乘，有一个因数为0时，积为0。 倒数： · 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。 · 注意：0没有倒数。 · 倒数等于它本身的数是1和−1。 乘法运算律： · 乘法交换律：ab = ba · 乘法结合律：(ab)c = a(bc) · 乘法对加法的分配律：a(b + c) = ab + ac 知识点10 有理数的除法法则 法则内容： 1. 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 1. 0除以任何非0的数都得0。 1. 注意：0不能作除数。 除法转化为乘法： · 除以一个数等于乘这个数的倒数。 · 字母表示：a ÷ b = a × (1/b) （b ≠ 0） 乘除混合运算： · 先将除法统一成乘法 · 确定积的符号 · 最后算出结果 知识点11 有理数的乘方 定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 各部分名称： · a叫做底数 · n叫做指数 · aⁿ读作"a的n次幂"（或"a的n次方"） 符号规律： · 正数的任何次幂都是正数。 · 负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 · 0的任何正整数次幂都是0。 注意： · (−2)⁴ 与 −2⁴ 的区别： · (−2)⁴ = (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = 16 · −2⁴ = −(2×2×2×2) = −16 · 分数的乘方要加括号：(1/2)³ ≠ 1/2³ 知识点12 科学记数法 定义：一般地，一个大于10的数可以表示成 a × 10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。 n的确定方法： · n等于原数的整数位数减1。 · 例：1 440 000 000 是10位数，n = 9，即 1.44 × 10⁹ 负数的科学记数法： · 小于−10的数也可以用类似方法表示，如 −2 590 000 = −2.59 × 10⁶ 知识点13 有理数的混合运算 运算顺序： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 1. 如果有括号，先算括号里面的； 1. 同级运算，从左到右进行。 简便运算优先： · 能使用运算律简化计算的，应该先用运算律。 考点01 正负数的意义与相反意义的量 考查形式：给出生活情境，用正负数表示相反意义的量；判断正负数。 解题关键： · 先确定哪个方向为正，另一个方向就为负。 · 注意0的特殊意义。 典型考法： · 零上5℃记作+5℃，零下3℃记作什么？ · 向东走4m记作+4m，那么−2m表示什么？ · 净含量：10kg ± 50g 表示什么意思？ 考点02 有理数的分类 考查形式：把一组数填入相应的集合（正数集合、负数集合、整数集合、分数集合等）。 解题技巧： · 先化简所有数（多重符号、绝对值） · 再按标准分类 · 注意：0是整数，但既不是正数也不是负数 易错点： · 有限小数和无限循环小数都是分数 · π不是有理数 考点03 相反数与绝对值的概念 考查形式：求一个数的相反数或绝对值；已知|a|求a；绝对值非负性的应用。 解题关键： · 相反数：符号相反，数值相等 · 绝对值：距离，一定是非负的 · 已知|a| = 3，则a = 3或a = −3（两个答案！） 高频考点： · |a| ≥ 0（绝对值的非负性） · 若|a| + |b| = 0，则a = 0且b = 0 考点04 数轴与有理数大小比较 考查形式：数轴上点表示的数；比较有理数大小；数轴上两点间的距离。 解题技巧： · 画数轴 → 标点 → 比较位置 · 两个负数比较：先求绝对值，绝对值大的反而小 数轴上两点间距离公式： · 点A表示a，点B表示b，则AB = |a − b| 考点05 有理数的加减运算 考查形式：直接计算；加减混合运算；简便运算；实际应用（温差、水位变化等）。 解题步骤： 1. 减法统一成加法（减号变加号，减数变相反数） 1. 省略加号和括号 1. 用运算律简便计算（同号结合、相反数结合、同分母结合） 1. 算出结果 高频易错： · 减法变加法时，只改变减号，忘记改变减数的符号 · 符号错误 考点06 有理数的乘除运算 考查形式：直接计算；乘除混合运算；分配律的应用；倒数的概念。 解题关键： · 先定符号，再算绝对值 · 多个数相乘：数负因数的个数，奇负偶正 · 除法变乘法：除以一个数 = 乘它的倒数 分配律易错： · (−+ ) × (−24) = (−)×(−24) + ×(−24) · 注意：分配律要分配到每一项，不要漏乘 考点07 有理数的乘方 考查形式：辨析底数和指数；计算乘方；判断幂的符号；乘方的实际应用（折纸、分裂）。 解题关键： · 注意括号的有无：(−2)⁴ vs −2⁴ · 符号规律：负数偶次幂为正，奇次幂为负 考点08 科学记数法 考查形式：用科学记数法表示大数；把科学记数法还原成原数。 解题技巧： · 原数 → 科学记数法：数整数位数，位数−1 = n · 科学记数法 → 原数：把a的小数点向右移动n位 考点09 有理数的混合运算（难点） 考查形式：综合计算；简便运算；24点游戏；实际应用。 解题步骤： 1. 观察算式结构，确定运算顺序 1. 先算乘方 1. 再算乘除（从左到右） 1. 最后算加减（有括号先算括号内） 1. 能简算的用运算律简算 序号 公式/结论 说明 1 a的相反数是 −a a可以是正数、负数或0 2 若a、b互为相反数，则 a + b = 0 反之亦然 3 正数的绝对值是它本身 若 a > 0，则 |a| = a 4 负数的绝对值是它的相反数 若 a < 0，则 |a| = −a 5 0的绝对值是0 |0| = 0 6 任何数的绝对值都是非负数 |a| ≥ 0 7 数轴上两点间距离：AB = |a − b| a、b分别是两点表示的数 8 加法交换律：a + b = b + a 9 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 10 减法法则：a − b = a + (−b) 减法统一成加法 11 乘法交换律：ab = ba 12 乘法结合律：(ab)c = a(bc) 13 分配律：a(b + c) = ab + ac 14 除法法则：a ÷ b = a × (1/b) b ≠ 0，除以一个数等于乘倒数 15 多个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定 奇负偶正 16 乘方定义：aⁿ = a × a × … × a（n个a） 17 负数的偶次幂为正，奇次幂为负 18 科学记数法：a × 10ⁿ，1 ≤ |a| < 10 n = 原数整数位数 − 1 19 混合运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减 有括号先算括号内 辨析01 相反数与倒数概念的辨析 对比项 相反数 倒数 定义 符号不同，数量相等 乘积为1 表示方法 a的相反数是 −a a的倒数是 特例 0的相反数是0 0没有倒数 性质 a + (−a) = 0 a ×= 1 等于本身的数 0 1和−1 辨析02 (−2)⁴ 与−2⁴ 表达式 含义 结果 (−2)⁴ 4个(−2)相乘 (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = 16 −2⁴ 2⁴的相反数 −(2×2×2×2) = −16 辨析03 绝对值等于3的数 问题 答案 易错提醒 |x| = 3，x = ? x = 3 或 x = −3 有两个解！不要漏掉−3 |x| = 0，x = ? x = 0 只有一个解 |x| = −3，x = ? 无解 绝对值不可能是负数 辨析04 两个负数比较大小 错误做法 正确做法 因为 6 > 5，所以 −6 > −5 因为 |−6| = 6 > |−5| = 5，所以 −6 < −5 口诀：两个负数比大小，绝对值大的反而小。 辨析05 减法变加法的符号变化 错误示例 正确示例 3 − (−5) = 3 − 5 = −2 3 − (−5) = 3 + 5 = 8 −3 − 5 = −3 + 5 = 2 −3 − 5 = −3 + (−5) = −8 关键：减号变加号的同时，减数必须变号！"两变"：变运算符号，变减数性质符号。 辨析06 分配律的漏乘问题 错误示例 正确示例 2(x + 3) = 2x + 3 2(x + 3) = 2x + 6 (−24)×(−) = −12 − 8 (−24)×(−) = −12 + 8 = −4 关键：分配律要分配到括号里的每一项，包括符号！ 辨析07 乘除混合运算的顺序 错误做法 正确做法 15 ÷ (−) × (−4) = 15 ÷ [(−)×(−4)] = 15 ÷ 3 = 5 乘除是同级运算，从左到右算！ 15 ÷ (−) × (−4) = 15 × (−) × (−4) = 80 关键：乘除同级，从左到右，不能先算后面的乘法！ 辨析08 “0”的特殊身份 概念 0的情况 易错提醒 0是正数吗？ ❌ 不是 0既不是正数也不是负数 0是负数吗？ ❌ 不是 0是整数吗？ ✅ 是 0是有理数吗？ ✅ 是 0的相反数是？ 0本身 0的绝对值是？ 0 0有倒数吗？ ❌ 没有 0不能作除数 0乘任何数？ 都得0 0除以任何数？ 都得0 注意：0不能作除数 【题型一】正负数的意义与相反意义的量 【例1-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的是（     ） A．任何数前面加上“”号，结果都是负数 B．是正数 C．若是正数，则可能是正数 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】D 【分析】根据相反数的意义和零的性质，结合正负数的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如前加负号，则，结果为正数，故A选项错误，不符合题意； B、是负数，故B选项错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，故C选项错误，不符合题意； D、0既不是正数，也不是负数，故D选项正确，符合题意． 【例1-2】（25-26七年级上·广东茂名·期中）在，2，，0，0.0123中，负数有（     ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：和是负数，故有2个． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建三明·期中）某小卖部一天卖货盈利元，记作元，则同一天进货采购花费元，应记作_____． 【答案】元 【分析】盈利被记作正，根据相反意义的量的表示规则，与盈利意义相反的花费支出应记作负． 【详解】解：盈利元记作元， 说明规定正数表示盈利，负数表示与盈利意义相反的支出花费， 进货采购花费元，应记作元． 【变式1-2】（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）我国是最早认识和使用负数的国家．早在公元3世纪，我国数学家刘徽就说“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：在计算过程中遇到相反意义的量，以正数和负数来区分它们，足球比赛中，如果我们记进球数5个为，那么失球数3个应记为_____． 【答案】 【详解】解：如果我们记进球数5个为，那么失球数3个应记为. 【题型二】有理数的定义与分类 【例2-1】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的定义，相反数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义判断各说法的正误． 【详解】解：∵ 非负数包括正数和零，故①错误； ∵ 整数和分数统称为有理数，故②正确； ∵ 0既不是正数也不是负数，故③正确； ∵ 相反数等于本身的数只有0，故④正确． ∴ 错误的说法有1个，故选A． 【例2-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）把下列各数填入相应的集合里． ，，，，0，，，． (1)正数集合：{                          …}； (2)负分数集合：{                …}； (3)非正数集合：{                         …}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先化简所有含绝对值的数，再根据正数、负分数、非正数的定义对各数进行分类即可． 【详解】（1）解： 先对含绝对值的数化简，得 ，，，， ∴正数集合为； （2）解：负分数集合：； （3）解：非正数集合：． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（） A．所有的整数都是正数 B．是最大的负整数 C．0是最小的有理数 D．整数、0和分数统称为有理数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的基本概念，需熟练掌握整数的分类和有理数的定义． 根据有理数的定义和性质，逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵整数包括正整数、负整数和0，故A错误； ∵是最大的负整数，故B正确； ∵有理数包括负数，负数小于0，故C错误； ∵有理数是整数和分数的统称，整数已包含0，故D错误． 故选：B． 【变式2-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内； ，，0，，，，，，，． 正有理数集：{                …}； 负有理数集：{                …}； 正整数集：{                  …}； 负整数集：{                  …}； 自然数集：{                  …}． 【答案】 正有理数集：； 负有理数集：； 正整数集：； 负整数集：； 自然数集：. 【分析】本题考查有理数的分类，解题关键是先化简含多重符号和绝对值的数，再根据各类数的定义分类，掌握有理数的分类标准即可正确求解． 【详解】解：先化简题目中需要化简的数，得 ， 正有理数集：{，} 负有理数集：{ ，} 正整数集：{ ，} 负整数集：{，} 自然数集：{ ，} 【题型三】相反数、绝对值的定义与性质 【例3-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【例3-2】（25-26七年级上·河南安阳·期中）若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3-1】（25-26七年级上·湖南·期中）下列各数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和3 D．和 【答案】A 【分析】通过计算每个选项中两个表达式的值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可． 【详解】解：A、，，故和互为相反数，符合题意； B、，，故和不互为相反数，不符合题意； C、，故和3不互为相反数，不符合题意； D、，，故和不互为相反数，不符合题意． 【变式3-2】（25-26九年级下·福建福州·期中）实数、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可． 【详解】解：根据图示，可得，，，， 所以这四个数中，绝对值最大的是． 【题型四】倒数的定义与性质 【例4-1】（25-26七年级上·青海西宁·期中）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的倒数是． 【例4-2】（25-26七年级上·广西南宁·期中）下列各对数中，互为倒数的一对是（   ） A．和 B．和4 C．和 D．0和0 【答案】A 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；根据倒数的定义，两个数乘积为1则互为倒数，计算各选项的乘积即可判断． 【详解】解：∵倒数定义：两数乘积为1则互为倒数； 计算各选项： A.，符合； B.，不符合； C.，不符合； D.，不符合； 故选A． 【变式4-1】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）已知和互为倒数，，那么____________ 【答案】 【分析】根据倒数定义得到，将除法转化为乘法化简后代入计算即可． 【详解】解：∵和互为倒数，， ∴． ∴． 【变式4-2】（25-26七年级上·内蒙古兴安·期中）的倒数与的倒数的和的相反数______． 【答案】 【分析】本题考查倒数和相反数，有理数的加法运算，正确的翻译句子，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，； 故答案为：． 【题型五】数轴与有理数比较大小 【例5-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各图中，表示数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上． 根据数轴三要素判断即可． 【详解】解：A． 无原点，不是数轴； B． 无原点，不是数轴； C． 符合数轴三要素，是数轴； D． 无正方向，不是数轴； 故选：C． 【例5-2】（25-26七年级上·湖南湘西·期中）在数轴上表示下列各数：，，，，及它们的相反数． 【答案】各数的相反数依次为，，，，，原数与相反数在数轴上的表示如下： 【分析】先根据相反数的定义求出所有给定数的相反数，再将原数与相反数按大小对应标注在数轴上即可． 【详解】详解见答案． 【变式5-1】（25-26七年级上·广西崇左·期中）下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确． 【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意； B、没有正方向，故此选项错误，不符合题意； C、位置错误，故此选项错误，不符合题意． D、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【分析】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 【题型六】有理数的加减运算 【例5-1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）先去括号，然后进行有理数加减运算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【例5-2】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先统一成分数，再利用有理数加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先将减法转化为加法，再利用有理数的加法法则计算即可； （2）先将小数化为带分数，再所有的带分数进行拆分，紧接着将减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型七】有理数的乘除运算 【例5-1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)51 (2)5 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． （2）运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【例5-2】（25-26七年级上·陕西渭南·期中）阅读下面的解题过程并解决问题：计算：． 解：原式…① …② …③ (1)上述的解题步骤从第__________步开始错误； (2)请写出这个计算题正确的解题步骤． 【答案】(1)① (2) 正确的解题步骤为： ． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算的运算法则判断作答即可； （2）从左到右依次进行计算即可． 【详解】（1）解：上述的解题过程从第①步开始错误，因为乘除运算应该从左到右依次进行，不能先计算后面的乘法， 故答案为：①； （2）略 【变式5-1】（25-26六年级上·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再进行计算即可﹒ 【详解】解：﹒ 【变式5-2】（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握分数的乘除法法则、符号规则以及带分数与假分数的相互转换是解题的关键．解题时需先将带分数转换为假分数，并将除法转换为乘法．注意符号规则：负负得正，最后通过约分简化得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【题型八】有理数的乘方与科学记数法 【例5-1】（25-26七年级上·新疆·期中）下列各组中的两个数，运算后结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：A、，，不相等，不符合题意； B、，，相等，符合题意； C、，，不相等，不符合题意； D、，，不相等，不符合题意． 【例5-2】（25-26七年级上·广西·期中）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：亿． 【变式5-1】（25-26七年级上·贵州·期中）将按从小到大的顺序排列是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方法则计算各数，再根据有理数大小比较的法则比较即可． 【详解】解：，，， ， ． 【变式5-2】（25-26七年级上·四川德阳·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一． 例：． 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一． 例：把二进制数10010转换为十进制数为，其他进制也有类似的算法… 根据以上信息，将二进制数1011换算成十进制数的结果为（ ） A．22 B．17 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确二进制数转化为十进制数的方法．根据二进制转十进制的方法，将二进制数每位乘以对应的2的幂次后求和． 【详解】解：二进制数1011换算成十进制数为： ． 故选：C． 【题型一】带“非”字的有理数 【例1】（25-26七年级上·新疆哈密·期中）下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：∵非负数是指大于等于的数， ∴在给出的数，，，，，，，中，非负数为，，，，，共个． 易错警示 · 非负数 = 正数 + 0 · 非正数 = 负数 + 0 · 非负整数 = 正整数 + 0（即自然数） · 非正整数 = 负整数 + 0 · 口诀：凡带"非"，必含零 【变式1-1】（25-26七年级上·山东淄博·期中），，，，0，，6，， 分数集合：__________ …； 非负整数集合：__________ …； 非正数集合：__________ …； 正有理数集合：__________ …； 自然数集合：__________ … 【答案】 ，，， 【分析】根据有理数的分类标准，分数指非整数的有理数，非负整数指大于等于零的整数，非正数指小于等于零的数，正有理数指正数且有理数，自然数指非负整数（包括零）．对每个数进行化简和判断，归类到相应集合． 【详解】解：，， 分数集合． 非负整数集合． 非正数集合． 正有理数集合． 自然数集合． 故答案为：；；；； 【变式1-2】（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·期中）有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先明确非负整数的定义是和正整数，将题目中需要化简的数化简后，逐一判断即可统计出符合要求的数的个数． 【详解】解：非负整数包含和正整数， 先化简各数：，，， 属于非负整数的数为，，，，共个 ． 【变式1-3】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）把下列各数填在相应的集合中： ． 正有理数集合：{_________……}        负分数集合：{_________……} 非负整数集合：{_________……}      非正数集合：{_________……} 【答案】；，，；，0，2；，，0，，， 【分析】本题考查有理数分类，正负数的概念，绝对值，多重符号化简，掌握相关知识是解决问题的关键．根据各类数的定义分类即可． 【详解】解：正有理数集合：｛｝ 负分数集合：｛，，｝   非负整数集合：｛，0，2｝ 非正数集合：｛，，0，，，｝ 故答案为：；，，；，0，2；，，0，，，． 【题型二】有理数的混合运算 【例2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2)34 (3)0 【分析】（1）根据有理数的加减法运算计算即可； （2）使用乘法运算律求解即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 易错警示 · 乘方运算优先级最高，如 -2² 是 -(2²) = -4，不是 (-2)² = 4 · 同级运算从左到右，不能随便交换 · 有括号从内到外逐层算 · 负号个数：奇数个负号结果为负，偶数个为正 · 去括号：括号前是"-"号，括号内每一项都要变号 · 减法统一成加法：a - b = a + (-b)，再判断符号 【变式2-1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)16 (2)8 【分析】（1）根据乘法的分配律求解即可； （2）根据含有乘方的有理数混合运算计算即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2-2】（25-26七年级上·河南焦作·期中）计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)35 (4)576 (5)2 (6) 【分析】本题主要考查了有理数相关运算． （1）按照有理数除法和乘法法则，从左到右依次计算即可； （2）先按照“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，将除法转化为乘法，再按照有理数乘法法则，从左到右依次计算即可； （3）先按照“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，将除法转化为乘法，再运用乘法分配律进行简便运算； （4）先计算括号里的有理数减法运算，再按照有理数除法法则计算即可； （5）先计算有理数乘方运算并化简绝对值，再根据有理数乘法和除法运算法则进行计算，最后计算有理数的加法； （6）先计算小括号里的有理数减法以及有理数的乘方运算，再计算中括号里的乘法及减法运算并化简括号外的绝对值，最后根据有理数除法法则进行计算． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式=； （3）解：原式= ； （4）解：原式=； （5）解：原式=； （6）解：原式= ． 【变式2-3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3) (4) 【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算； （2）先确定积的正负，再按照乘除法的运算法则进行计算； （3）逆用乘法分配律进行计算； （4）根据有理数混合运算的运算法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型三】有理数混合运算的实际应用 【例3】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 易错警示 · 先明确"正方向"，与正方向相同为正，相反为负 · 求总路程时全部取绝对值相加；求最终位置时带符号运算 · 两种问题不要混淆：路程=绝对值之和，位置=代数和 · 水费、出租车费分段计费时超过部分一定要减基数：如起步价3公里8元，超过部分每公里2元，走了10公里→8 + (10-3)×2 【变式3-1】（25-26七年级上·广东惠州·期中）每年6月是樱桃旺季．某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，不足部分记作负数．下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况． 员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5 采摘质量/ (1)员工2采摘樱桃_____，员工3比员工5多采摘樱桃_____； (2)该农场预计采摘樱桃，通过计算说明这5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量． 【答案】(1)， (2)能够达到预计数量 【分析】（）根据正负数的意义列式计算即可； （）列式求出5位员工樱桃采摘实际数量，进而比较即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加减和混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：员工2采摘樱桃，员工3比员工5多采摘樱桃， 故答案为：，； （2）解：（）， ∵， ∴这5位员工樱桃采摘实际数量能够达到预计数量． 【变式3-2】（25-26七年级上·四川泸州·期中）某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期____________； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？ (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)四 (2)19只 (3)14275元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减和乘法运算的实际应用．解决本题的关键是理解题意正确列式． （1）根据正负数的大小比较方法比较出记录中最大数即可判断； （2）最高一天的产量减去最少一天的产量求解即可； （3）根据“每周计件工资制”的方法列式计算解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该厂生产风筝最多的一天是星期四． 故答案为：四； （2）解：（只）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝． （3）解：∵（只）， ∴ （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是14275元． 【变式3-3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中） 怎样邮寄柚子更经济？ 冬季盛产柚子．小温家的柚子每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了12箱柚子，每箱以12千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.5 0.2 箱数 2 5 5 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）3元/千克，不足1千克按1千克计．不足30千克的包裹免包装费，超过30千克的包裹需要额外支付包装费50元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，柚子受损率越高．一个包裹在30千克以内，柚子几乎无受损；一个包裹质量在100千克至150千克之间，柚子的受损率估计为5%，受损部分由小温家按售价退还相应现金． 任务1 （1）计算这12箱柚子的总质量． 任务2 （2）方案一：分12箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：12箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 （3）今年柚子的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄12箱柚子哪种方案利润更高？ 【答案】（1）；（2）方案二邮费更省，支付邮费490元，省23元；（3）选择方案一利润更高． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）根据表格求出12箱柚子超出或不足的总质量，再加上标准总质量，计算即可； （2）根据两种方案结合快递公司的收费标准，分别列式进行计算即可； （3）分别求出两种方案各自的利润，进行判断即可． 【详解】解：（1）； 答：这12箱柚子的总质量为； （2）方案一：（元） 方案二：（元） （元） 答：方案二邮费更省，省23元． （3）选择方案一利润更高，理由： 方案一：（元） 方案二：（元）； ∵， ∴选择方案一利润更高． 【题型四】绝对值的非负性及其几何意义 【例4】（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 易错警示 · |a| ≥ 0，绝对值具有非负性 · 若 |a| + |b| = 0，则 a = 0 且 b = 0 · 同理：|a| + (b-1)² = 0 → a=0 且 b=1 · |a|：数轴上点a到原点的距离 · |x-a|：数轴上点x到点a的距离 · |x-1| + |x-3| 的最小值 = 2（1到3的距离），当x在1和3之间时取到 【变式4-1】（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义考虑求解更简便． 利用绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点和点7的距离之和，当x在与7之间时，距离之和最小，为两点之间的距离． 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 【变式4-2】（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质和绝对值的非负性．熟练掌握非负数的性质和绝对值的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零，则每个项必须为零． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， ∴ ，即 ，∴ ，即 ， ∴ ． 故选A． 【变式4-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）式子的最小值是______． 【答案】 0.25/ 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．将原式化简为，令，求出，令，求出，令，求出，根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可进行解答． 【详解】解：原式， 令，则，令，则，令，则， ①当时，则， ， ； ②当时，则， ， ； ③当时，则； ④当时，则， ， ； 综上，，即式子的最小值是． 故答案为：． 【题型一】有理数加减法的运算律与简便运算 【例1-1】（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______． 【答案】1008 【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1008． 【例1-2】（25-26七年级上·湖北孝感·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2)7 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则，进行计算即可； （2）变减法为加法，根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】（25-26七年级上·四川内江·期中）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法，掌握有理数加法交换律和结合律是解题的关键． 先根据有理数的加法运算律，把互为相反数结合，再计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为： 【变式1-2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【题型二】有理数乘除法的运算律与简便运算 【例2-1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了利用乘法分配律进行计算，熟练掌握有理数运算的运算法则及运算律是解题的关键． 根据乘法分配律，将分别与括号内的各项相乘，再求和即可． 【详解】解：原式   ， 故答案为：． 【例2-2】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）在下列算式每一步后面填上这一步应用的运算律： （( )） （__________） （__________） 【答案】 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【分析】本题考查了乘法交换律、结合律以及分配律，熟练掌握乘法的运算法则及运算规律是解决本题的关键． 【详解】解： （乘法交换律， （乘法结合律 （乘法分配律 故答案为：乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律． 【变式2-2】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 【题型三】数轴上的动点问题 【例3-1】（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1) 如图所示； (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）略 （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 【例3-2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）数轴上点的位置如图所示．请回答下列问题： (1)表示有理数的点是点 ，将点C向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是 ． (2)在数轴上标出点、，其中点、分别表示有理数和． (3)将，0，，这四个数用“”号连接起来． 【答案】(1)A， (2) 解：如图，点D，E即为所求； (3) 【分析】本题主要考查了数轴表示数、数轴上两点间的距离、数轴上平移计算、数轴比较数的大小等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴的意义，确定表示有理数的点；根据“左减右加”即可确定表示的有理数； （2）直接在数轴上表示点、即可； （3）根据数轴上越靠近右边的数越大，据此比较即可解答． 【详解】（1）解：表示有理数的点是点A， ∵点C对应的有理数为2， ∴将点C向左移动4个单位长度得到点表示的有理数是． 故答案为：A，． （2）略 （3）解：将，0，，这四个数用“”号连接的结果是． 【变式3-1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数；    (1)_____，_____，_____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． (4)在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)1,10 (4)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． 【变式3-2】（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 【答案】(1) 如图，点O为原点； (2)4 (3)点B在数轴上对应的数为7 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间距离，掌握数轴相关知识是解题的关键． （1）根据点A表示的数及每个刻度的单位长度，可找出原点； （2）根据点B所在数轴位置即可求解； （3）先求出点A运动路程，根据两点运动路程相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点B表示的数是4， 故答案为：4； （3）解：由题意知，点A运动路程为：， 又A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动， 所以此时点B表示的数为：． 【题型四】数轴上的规律探究问题 【例4-1】（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 【例4-2】（25-26七年级上·重庆·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为、、、，点落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和周期规律，正确理解数轴的相关知识是解题关键． 根据圆的周长为4个单位长度，且、、、为圆的四等分点，可得、、、四点依次循环出现，求得2025到2的距离，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得，点的运动规律是循环的，循环周期为4， ∴， ∴落在数轴上2025的点是， 故选：B． 【变式4-1】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 【变式4-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、图形类规律探索，由题意可得，由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.，再根据各个选项逐项判断即可得解． 【详解】解：由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A. A、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； B、，，故2019与三角形上的B重合，符合题意； C、，，故2020与三角形上的C重合，不符合题意； D、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； 故选：B． 【题型五】有理数混合运算的新定义问题 【例5-1】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）小亮同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)若，，请你分别求出m、n的值； (2)试计算的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）利用绝对值的定义及相反数的定义求得m，n的值即可； （2）结合（1）中所求结果，根据定义的新运算列式计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 解得：； （2）解：，， ． 【例5-2】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）定义一种新运算“@”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如： (1)； (2)当，时，计算的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查定义新运算、有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据规定的运算列式计算即可； （2）将已知数值代入原式，根据规定的运算列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当，时， ． 【变式5-1】（25-26七年级上·广东江门·期中）定义一种新运算：对于任意有理数都满足，例如：， (1)求的值： (2)计算：．（有括号先算括号） 【答案】(1)5 (2)2 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3-2】（25-26七年级上·广东深圳·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：_____； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中作用一致，写出必要的运算步骤）； (3)若，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： = ； （3）∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 【题型一】多重符号化简模型 【模型解读】 一个数前面有多个正负号（如−(−(+5))），不需要一层一层算，直接数"−"号的个数，用"奇负偶正"一秒出结果。 【结论】 · 一个数前面有偶数个"−"号 → 结果为正 · 一个数前面有奇数个"−"号 → 结果为负 · "−"号的个数只数负号，正号不影响 【例1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）化简：________． 【答案】 【分析】根据负负得正的规则，从内到外逐步化简多重符号即可． 【详解】解：先化简最内层符号，得：， 将结果代入原式，得：． 【变式1-1】（25-26七年级上·福建福州·期中）计算：________． 【答案】2 【分析】本题考查相反数的概念，解题的关键是理解“一个数的相反数的相反数等于它本身”． 根据相反数的定义，分析的含义，进而计算出结果． 【详解】根据相反数的定义： 因为表示的相反数， 又因为的相反数是2， 所以． 故答案为：2． 【变式1-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）___________． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号． 从内向外逐步化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川成都·期中）比较大小：______；______（选填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 > < 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握两个负数比较大小的方法：绝对值大的反而小． 第一个先分别求出两个负数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”得出结果；第二个比较需先化简表达式，再比较数值大小． 【详解】解：∵，， 且， ∴． ∵，， 且， ∴． 【题型二】绝对值化简分类讨论模型 【模型解读】 遇到含绝对值的式子（如|a|、|x−2|），先判断绝对值里面的表达式是正、是负还是零，再根据性质去掉绝对值符号。这是有理数部分最核心的分类讨论模型。 【结论】 绝对值内表达式 化简结果 若 a > 0 |a| = a 若 a = 0 |a| = 0 若 a < 0 |a| = −a 【例2】（25-26七年级上·山东威海·期中）已知，，且，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想是解题的关键． 根据题意可得，，由得到，即，再分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，符合题意； 当，时，此时，符合题意； ∴综上所述，； 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级上·广东清远·期中）若，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得，， ， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义以及绝对值非负性，由题意得：，推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， 解得：； ∴ 【变式2-3】（25-26七年级上·山东潍坊·期中）（1）若，n的相反数是3，求m，n的值； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）根据绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离）和相反数的定义（是只有符号不同的两个数互为相反数）求解即可； （2）根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：（1） ∵， ∴， ∵n的相反数是3， ∴； （2）∵， ∴， 解得：， 故． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性和相反数的定义，准确的计算是解决本题的关键． 【题型三】乘法分配律正逆两用模型 【模型解读】 分配律是有理数运算中最常用的简便工具。正向用：a(b+c) = ab+ac，拆开算更简单；逆向用：ab+ac = a(b+c)，提取公因数更简单。关键是找对可以约分的数。 【结论】 方向 公式 适用场景 正向分配 a(b + c) = ab + ac 括号外的数能分别约掉括号内分母 逆向提取 ab + ac = a(b + c) 各项有相同因数 拆数分配 a×(b + c) = ab + ac 把接近整十整百的数拆开 【例3】（25-26七年级上·陕西西安·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据乘法分配律将括号内的分数依次乘后再相加，约分后转化为计算有理数加减法，得出答案． 【详解】解： 【变式3-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】利用乘法分配律进行简单计算即可． 【详解】解：原式           ． 【变式3-2】（25-26七年级上·上海浦东新区·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律展开计算乘法，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式3-3】（25-26七年级上·吉林辽源·期中）计算：． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的混合运算（乘法分配律的应用），解题的关键是利用乘法分配律简化计算． 运用乘法分配律，将括号内的每一项分别与12相乘，再计算加减得到结果． 【详解】解：原式 ． 【题型四】混合运算三步定序模型 【模型解读】 有理数混合运算容易出错，核心是运算顺序不能乱。记住三步：先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号里的；同级运算从左到右。做完一步定一步，不要跳步。 【结论】 模型结论： 第一步：先算乘方（从高到低，从内到外） 第二步：再算乘除（同级，从左到右） 第三步：最后算加减（同级，从左到右） 特殊：有括号 → 先算括号里面的（小→中→大） 运算优先级：括号 > 乘方 > 乘除 > 加减 简便优先原则： · 能使用运算律简算的，优先简算，不一定按顺序硬算 · 分配律、结合律能大幅减少计算量 【例4】（25-26七年级上·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-1】（25-26七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2)3 (3) (4) 【分析】（1）按照加法结合律求解即可； （2）先将除法变为乘法，再按顺序进行计算即可； （3）按照乘法分配律进行展开计算即可； （4）先算乘方，再按照乘法分配律去括号，最后按顺序进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4-2】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)16 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-3】（25-26七年级上·山西运城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 技巧 一句话要点 用正负数表示相反意义的量——"基准定位法" 先选一个基准定为0，规定正方向，另一侧就为负；注意0是基准，不是"没有"。 判断有理数分类——"先化简再归类法" 先把多重符号、绝对值全部化简，再按标准逐一归类；0是整数，不归正也不归负。 多重符号化简——"奇负偶正法" 数负号的个数：偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负；正号不影响。 求一个数的相反数——"符号翻转法" 只改符号不改数值，正变负、负变正；0的相反数还是0。 求绝对值——"去判留号法" 正数直接写本身，负数去掉负号写正数，0就是0；绝对值一定非负。 已知|a|=m求a——"双解检验法" 绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数；不要漏掉负的那个解。 比较有理数大小——"数轴标点法" 画数轴，把数标上去，右边的数总比左边大；位置一摆，大小自见。 两个负数比较大小——"绝对值反较法" 先比绝对值，绝对值大的那个负数反而小；正好和正数比大小相反。 有理数加法计算——"先号后值法" 先定符号（同号同号、异号跟大），再算绝对值（同号加、异号减）。 减法变加法——"两变一不变法" 减号变加号，减数变相反数，被减数不变；a−b = a+(−b)。 加减混合运算——"统一省略法" 全部减法变加法后，省略加号和括号，写成省略形式再用运算律简算。 加法简便运算——"四凑结合法" 相反数先凑零、同号先凑堆、同分母先凑整、能凑整的先凑一起算。 多个乘法定符号——"奇负偶正法" 数负因数个数：奇数个负号积为负，偶数个负号积为正；有一个零积为零。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $