第4章 相似三角形（复习课件）数学浙教版九年级上册

该初中数学《相似三角形》单元复习课件系统梳理了比例线段、相似三角形判定与性质、位似等核心知识，通过单元知识图谱串联三角形分类、全等与相似关系，结合考点串讲明确A/X型等基本图形，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“知识点-题型-训练”三阶复习模式，题型剖析涵盖比例计算、相似判定等9类题型，如黄金分割证明题培养推理能力，矩形面积计算渗透几何直观，针对训练分层设计满足不同学情。这种设计既巩固知识又发展核心素养，教师可直接用于课堂，提升复习效率。

单元复习课件 第4章 相似三角形 浙教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握比例线段、相似三角形判定与性质及位似定义，能识别相关基本图形 . 3. 体会数形结合思想，感受相似的生活应用，培养严谨数学态度． 2.运用相似知识解决线段计算、相似证明等问题，提升逻辑推理能力 . 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一：比例线段 四条线段中，若两组线段的比相等，则这四条线段成比例，且线段顺序对比例关系有重要影响 四条线段 a，b，c，d 中，若 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比（即 ）， 则这四条线段叫做成比例线段（简称比例线段） 成比例线段 考点串讲 知识点一：比例线段 等比性质 若 ()，则 . 等比性质 若 ()，则 (为任意常数). 考点串讲 知识点二：比例中项 一般地，如果三个数 a,b,c 满足比例式 (或 a:b=b:c) ，则b就叫做 a,c 的比例中项。 考点串讲 知识点三：黄金分割 A B C D E F 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ( 如图 )，如果， 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割， 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比. 考点串讲 知识点四：平行线分线段成比例 几 何 语 言 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称“平行线分线段成比例”） ， 考点串讲 知识点四：平行线分线段成比例 平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。 A B C D E 即：在△ABC中，如果DE∥BC. 那么 （上比全，全比上.） （上比下，下比上.） （下比全，全比下.） 考点串讲 温馨提示 熟悉该定理及推论的几种基本图形 A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E A B C D E 知识点四：平行线分线段成比例 考点串讲 知识点五：相似三角形 全等是一种特殊的相似 定义: 我们把这些形状相同的图形叫做相似图形。 全等的两个图形是否相似？ 考点串讲 知识点五：相似三角形 如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，，即△ABC 与△ A′B′C′相似. 记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC 相似.△ABC与△ A′B′C′的相似比为k. C B A C’ B’ A’ 对应角相等 对应边成比例 考点串讲 知识点六：相似三角形的判定 “A”型 “X”型 （图2） D E A B C A B C D E （图1） 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 符号语言： ∵ DE//BC ∴△ADE∽△ABC． 考点串讲 知识点六：相似三角形的判定 在△ABC和△A′B′C′中， ∵ ∠A=∠A' ，∠B=∠B' ， ∴ △ABC ∽△A'B'C' . 数学语言： C A B A' B' C' 两角分别相等的两个三角形相似. 考点串讲 知识点六：相似三角形的判定 类型 正A型 斜A型 8字型 射影定理 图示 特点 结论 C E B D A DE∥AC ∠ADE = ∠B AB∥CD Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC △ADE∽△ABC △ADE∽△ABC △AOB∽△COD △ABC∽△DBA △ABC∽△DAC △DBA∽△DAC 常见的相似三角形类型 考点串讲 知识点六：相似三角形的判定 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 数学语言： ∵ ，∠A=∠A′， ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 如图，在△ABC 与 △A′B′C′中， B A C B' A' C' 考点串讲 知识点六：相似三角形的判定 三边成比例的两个三角形相似. 数学语言： 如图，在△ ABC ∽ △A′B′C′中 ∵ ， ∴△ ABC ∽ △A′B′C′. B A C B' A' C' 考点串讲 对应角_________, 对应边___________; 对应________、对应__________、对应______________等于相似比. 知识点七：相似三角形的性质 相等 成比例 高的比 中线的比 角平分线的比 相似三角形对应线段的比等于相似比. 三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段. 考点串讲 ④ 面积比等于_______________. 周长比等于_________. 知识点七：相似三角形的性质 相似比的平方 相似比 C A B C′ A′ B′ D D′ 考点串讲 知识点八：相似多边形 相似多边形 （对应边的比相等） 相似比 相似多边形对应边的比。 （k > 0） 若相似比k =1 ， 相似图形有什么关系？ 对应角相等，对应边成比例。 全等 考点串讲 知识点九：位似 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行或者在同一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 相似 对应顶点的连线相交一点 对应边互相平行 (或在同一直线上) 明确 注：三者缺一不可！ 考点串讲 知识点九：位似 位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 两个位似图形的位似中心只有一个。 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。 它们的对应边平行． 考点串讲 题型一、比例线段 1. 已知 = ，那么 、 各等于多少？ 【解答1】 = +1= +1= ∵ = ∴ = ∴ = 1 = ∴= 3 【解答2】 设a = 3x，b = 2x ∴ = ∴ = = 3 题型剖析 题型一、比例线段 2.在△ABC 与△DEF 中，已知 ，且△ABC 的周长为 18 cm，求△DEF 的周长. 【解答】∵，∴ . ∴ 4( AB + BC + CA ) = 3( DE + EF + FD ). 即 DE + EF + FD =( AB + BC + CA ) ， 又∵△ABC 的周长为 18 cm，即 AB + BC + CA = 18 cm. ∴DE + EF + FD =( AB + BC + CA ) =×18 = 24 cm. 即 △DEF 的周长为 24 cm. 题型剖析 题型二、比例中项 4. 若 x 是8和4的比例中项，则 x 的值是（ ） A. 4 B. 4 C. 4 D. 以上答案均不对 【点拨】在求两个数的比例中项的时候，常用等积式来解. 对两个数来说，他们的比例中项有两个，且互为相反数. 【解析】根据比例中项的定义可知8:x=x:4，得x2=32，故x4. C 题型剖析 题型三、黄金分割 5.已知直线 l 将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果＝，那么我们称直线l为该图形的黄金分割线. 如图，在△ABC中，D是AB边上一点(AD>BD)，且D是AB的黄金分割点，连接CD. (1)求证：直线CD是△ABC的黄金分割线； 证明：设△ABC的边AB上的高为h，则 S△ACD＝AD·h，S△DBC＝DB·h，S△ABC＝AB·h， ∴＝，＝. ∵D是AB的黄金分割点，∴＝，∴＝， ∴直线CD是△ABC的黄金分割线； 题型剖析 题型三、黄金分割 (2)若S△ABC＝10，求△BCD的面积．(结果保留根号) 解：由(1)得＝， 设S△ACD＝x，则S△BCD＝10－x，∴＝. 解得x1＝－5＋5，x2＝－5－5(舍去)， 经检验，x＝－5＋5是原方程的解． ∴S△ACD＝－5＋5， ∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝15－5. 题型剖析 题型四、平行线分线段成比例 3.如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F. (1)已知AB = BC = 4，DE = 5，求EF的长； (2)已知AB = 5，BC = 6，DE = 7，求EF的长. 【解答】(1)AD∥BE∥CF AB = BC = 4，DE = 5 EF=5 题型剖析 题型四、平行线分线段成比例 4. 如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则AC = ； 若 FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = . A B C E D F G 7.5 6 由 ,可得到 CE 的长 可以通过 ，得到 AG 的长 题型剖析 题型五、相似三角形的判定 【解析】∵∠ADB＝∠ADE＋∠BDE＝∠C＋∠DAC， ∠ADE＝60°，∴∠BDE＝∠DAC， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ADC∽△DEB，∴ ∵BD＝BC=AC，∴可得AD=3. 5. 如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为(　　) A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2 C 题型剖析 题型五、相似三角形的判定 6.如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有(　　) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2. ∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC. ∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2. ∴AD：DC＝AE：BC. 又∵∠A＝∠C，∴△AED∽△CBD.故选B. B 题型剖析 题型五、相似三角形的判定 D 6.已知在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8.将下列选项中的△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是(　　) 题型剖析 题型五、相似三角形的判定 7.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明：∵BE＝3，EC＝6，∴BC＝9， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°， ∵＝＝，＝，∴＝， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF. 题型剖析 题型五、相似三角形的判定 8.问题背景：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE. 证明：在矩形ABCD中， ∠EBF＝∠DCB＝90°，AB＝CD. ∵点E，F分别为AB和BC的中点， ∴CD＝AB＝2BE，即＝， BC＝2BF，即＝，∴＝， 又∵∠EBF＝∠DCB，∴△EBF∽△DCB； 题型剖析 题型五、相似三角形的判定 方法二： 证明：如解图，连接AC，交BD于点O. ∴EF∥AC， ∴∠EFB＝∠OCB， ∵BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EFB＝∠OBC， ∵∠EBF＝∠DCB， ∴△EBF∽△DCB. O 题型剖析 题型五、相似三角形的判定 9.如图是边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在网格点上． (1)在AB上找出一点P．连接PC，使得△BCP∽△BAC； 解：∵网格是由边长为1的小正方形组成的， ∴ BC= ，BA=5， ∵△BCP∽△BAC ∴ 即BP=1， 则在AB上找出一点P．连接PC，如解图所示. P 题型剖析 题型五、相似三角形的判定 9.如图是边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在网格点上． (2)利用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明(1)中结论． 解：∵网格是由边长为1的小正方形组成的， 在△BAC中，BC= ， AC= ，AB=5. 在△BCP中，BP=1，PC＝ , BC= . ∵. ∴△BCP∽△BAC． P 题型剖析 题型六、相似三角形的性质 10.如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗? 解：情况一：SR=2SP； ∵四边形PQRS是矩形，∴SR∥BC， ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C， ∴△ASR∽△ABC. ∵AD是△ABC的高，∴AE是△ABC的高. 设SP=xcm，则SR=2xcm，得到：， ∴x=2，2x=4，∴ S矩形PQRS=2×4=8cm². A S E R B D Q C P 温馨提示 注意分类思想的运用 题型剖析 题型六、相似三角形的性质 10.如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗? 情况二：SP=2SR； ∵四边形PQRS是矩形，∴SR∥BC， ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C， ∴△ASR∽△ABC. ∵AD是△ABC的高，∴AE是△ABC的高. 设SR=xcm，则SP=2xcm，得到：， ∴x=2.5，2x=5，∴ S矩形PQRS=2.5×5=12.5 cm². A S E R B D Q C P 题型剖析 题型六、相似三角形的性质 11.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若AA′＝1，则A′D等于(　　) A．2 B．3 C．4 D． 设A′B′交BC于点E，A′C′交BC于点F. 由题意得，S△ABC＝16，S△A′EF＝9， E F 易得S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8. ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A′B′C′， ∴A′E∥AB.∴△DA′E∽△DAB. ∴＝，即＝＝， 解得A′D＝3或A′D＝－(不符合题意，舍去)．故选B. B 题型剖析 题型七、相似多边形 12.如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度． 5 3 2 c d 7.5 b a 6 9 解：由相似多边形的对应边的比相等，可得 解得 a = 3，b = 4.5，c = 4，d = 6. 题型剖析 题型七、相似多边形 13. 下列图形中能够确定相似的是 [多选] ( ) A. 两个半径不相等的圆 B. 所有的等边三角形 C. 所有的等腰三角形 D. 所有的正方形 E. 所有的等腰梯形 F. 所有的正六边形 ABDF 形状相同的平面图形叫做相似图形 题型剖析 题型八、位似 【解】如图所示，△A1B1C1即为所求． 14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2)，B(2，－1)，C(4，－3)． (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； 题型剖析 题型八、位似 (2)以点O为位似中心，在第一象限中画出△A1B1C1的位似△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1. 【解】如图所示，△A2B2C2即为所求． 题型剖析 题型九、位似 24 15.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，且OD＝3OA，若△ABC的面积为3，则阴影部分的面积是________． 题型剖析 1. 已知 a,b,c 是 △ ABC 的三边，且满足 ，a+b+c=12 ，请你探索△ ABC 的形状. 解：由等比性质得 ∴ a=5, b=3, c=4 ∴ b²+c²=3²+4²=25=a² ∴ △ABC 是直角三角形. 针对训练 2.若 a，b，c 都是不等于零的数，且 ，求 k 的值. 得，则 k = 2. ②当 a + b + c＝0 时，则有 a + b = -c. 此时. 综上所述，k 的值是 2 或－1. 解：①当 a + b + c ≠ 0 时，由， 注意分类讨论 针对训练 3.已知线段AB＝10，C是直线AB上一点，D为线段AC的中点，＝，且m，n满足|m-3|＋5(m+2n-7)2＝0，则线段BD的长为____________． 8或20 解：∵|m-3|＋5(m+2n-7)2＝0 ∴m=3,n=2. ∵＝ 设BC=3k,AC=2k, ①若C在AB中间 则3k+2k=10; k=2. ∴AC=4,BC=6. ∵D为线段AC的中点, ∴AD=CD=AC=2. ∴BD=8. ②若C在AB外侧 则3k–2k=10; k=10. ∴AC=20,BC=30. D为线段AC的中点, ∴AD=CD=AC=10. ∴BD=20. 针对训练 解:∵DE∥BC，EF∥CG， ∴ . 又 ∵ ，AF = 3， ∴ ，解得 AG = 9， ∴FG = AG - AF = 9 - 3 = 6.　 4.如图，DE∥BC，EF∥CG，AD:AB = 1:3，AF = 3，求 FG 的长. 针对训练 5.已知线段上一点P把线段AB分割为两条线段PA,PB,且PA2=PB.若AB=10,则线段PB得长约为（ ） A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.82 【解答】PA2=PB， =PB. AB=10, =10PB, 解得PB≈3.82 D 针对训练 6.黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“ ”的位置在AB的黄金分割点C处，且 .若NP＝2cm，则BC的长为 __________cm(结果保留根号). 分析：已知AB＝NP＝2cm，且 针对训练 7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长为 ⁠． 解：如图可得 = AB＝3 ∴BC＝ 针对训练 8.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点E为AC的中点,延长BC到点D,使得CD=CE,连接DE并延长交AB于点F,若∠A=60°,EF=2,求DF的长. 解：如解图,过点E作EG∥AB交BD于G, ∵AB=AC,∠A=60°, ∴△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°, ∵EG∥AB,∴∠CEG=∠A=60°, ∴△EGC为等边三角形, ∴EC=CG, ∵CD=CE,∴CD=CG,点E为AC的中点, ∴AE=EC, G 针对训练 8.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点E为AC的中点,延长BC到点D,使得CD=CE,连接DE并延长交AB于点F,若∠A=60°,EF=2,求DF的长. G ∵EG∥AB, ∴, ∴BG=GC,∴  , ∵EG∥AB, ∴  , ∵EF=2 , ∴DF=6 . 针对训练 9.如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE. (1)求证：△ABC∽△ADE； 证明：∵∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE， ∴△ABD∽△ACE， ∴，即． 又∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE． ∴△ABC∽△ADE. 针对训练 9.如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE. (2)若AB=AC，试判断△ADE的形状，并说明理由； 解：△ADE是等腰三角形． 理由：由①知． ∵AB=AC， ∴AD=AE，即△ADE是等腰三角形． 针对训练 10.在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在(　　) A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 由“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的 三边的长分别为2，2，4. “车”“炮”所在位置的格点之间的距离为1， “炮”“②”所在位置的格点之间的距离为， “车”“②”所在位置的格点之间的距离为2. ∵＝＝， ∴“马”应落在②处． B 针对训练 11.如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，垂足为O.若AB＝2，BC＝3，则EF：GH＝(　　) A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定 针对训练 如图，过点F作FM⊥AB于点M，过点H作HN⊥BC于点N，则∠4＝∠5＝90°＝∠AMF. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝90°＝∠AMF. ∴四边形AMFD是矩形．∴FM＝AD＝3. 同理可得四边形ABNH是矩形， ∴HN＝AB＝2，HN∥AB. ∴∠1＝∠2.∵HG⊥EF， ∴∠HOE＝90°.∴∠1＋∠GHN＝90°. ∵∠3＋∠GHN＝90°， ∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3. 又∵∠4＝∠5， ∴△FME∽△HNG.∴＝＝. ∴EF：GH＝3：2. 【答案】B 针对训练 12.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点O，E分别是AC，AB的中点，连接OE.在直线AD上是否存在一点F，使得△OCF与△EOA相似，如果存在，请你画出点F，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由． 【解】存在，如图，当OF⊥AC时，△CFO∽△OAE. 针对训练 证明：由题易知OA＝OC，AE＝BE， ∴OE是△ABC的中位线． ∴OE∥BC. ∵OA＝OC，OF⊥AC， ∴FA＝FC.∴∠AFO＝∠CFO. ∵∠BAD＝∠AOF＝90°， ∴∠EAO＋∠FAO＝90°，∠FAO＋∠AFO＝90°. ∴∠EAO＝∠AFO＝∠CFO. ∵OE∥BC，∠B＝90°，∴∠AEO＝∠B＝90°. 又∵∠FOC＝90°，∴∠AEO＝∠FOC. ∴△CFO∽△OAE. 针对训练 13. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； 证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE =∠AGC = 90° ， ∵∠EAF=∠GAC，∴ ∠AED=∠ACB， ∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC. 针对训练 13. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC. (2)若AD=3，AB=5，求的值. 解：由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴ ， ∵∠AFE =∠AGC = 90° ，∠EAF =∠GAC ， ∴△EAF∽△CAG， ∴， ∴. 针对训练 14． 如图1，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，BE与CD相交于点O. 　　(1)添加条件： ⁠，可使△ADE∽△ABC． 　　(2)在(1)的条件下，若AB＝6，AD＝2，AE＝1. 　　①CE＝ ⁠； 　　②当S△ADE＝1时，四边形BCED的面积为 ⁠． ∠ADE＝∠ABC(答案不唯一) 2 8 针对训练 (3)当点D，E分别为边AB，AC的中点时，判断OB与OE的数量关系，并说明理由． 　　解：OB＝2OE. 理由如下： 　　∵点D，E分别为边AB，AC的中点， 　　∴DE∥BC， ＝ . 　　∴△ADE∽△ABC，∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC． 　　∴△ODE∽△OCB． 　　∴ ＝ ， ＝ . 　　∴ ＝ ，即OB＝2OE. 针对训练 15.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)　 　　　　　　　　　　　　 A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 D 针对训练 16.如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大小和EH的长度 x. 在四边形中∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°. ∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°. 解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似 ∴ 它们的对应角相等．由此可得: D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° ∵ 四边形ABCD和EFGH相似 ∴它们的对应边成比例，由此可得: 解得x ＝ 28 . 即 . 针对训练 17.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AD，S△ABC＝4，则S△DEF等于(　　) A．6 B．8 C．9 D．12 ∵OA＝2AD，∴OA：OD＝2：3. 又∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位心中心， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：3. ∴△ABC与△DEF的面积比为4：9. 又∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为9.故选C. C 针对训练 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC. (1)以点C为位似中心，在图中画出△A₁B₁C，使△ABC与△A₁B₁C的对应边之比为1:2，且点A₁在AC的延长线上. A B C 解：∵△ABC与△A₁B₁C的对应边之比为1:2，且点A₁在AC的延长线上， 如图，延长AC至A₁，使A₁C=2AC， 延长BC至B₁，使CB₁=2BC，连接A₁B₁. △A₁B₁C即为所求. B₁ A₁ 针对训练 (2)在图中画出△ABD，使得△ABC∽△DAB，且点D在AB的下方，SDAB=2SABC· 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC. A B C 解：∵△ABC∽△DAB，且点D在AB的下方， SDAB=2SABC， ∴ ，∴ ， 在AB下方作以AB为直角边的等腰直角△ABD，△ABD即为所求. D 针对训练 相似 相似图形 位似 相似多边形 相似三角形 性质 平面直角坐标系中的位似 性质 判定 平行线分线段成比例 定义 定义、判定、性质 回顾比例线段（成比例、等比性质）、平行线分线段成比例定理，明确 A 型、X 型等基本图形。 梳理相似三角形的定义、4 种判定定理与 4 条性质，强调全等是特殊相似，及相似多边形知识。 明确位似图形三条件（相似、位似中心、对应边平行），掌握其性质与坐标系作图方法。 用相似知识解计算/证明题，注重分类讨论、数形结合等数学思想。 课堂总结 感谢聆听! ∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，且OD＝3OA，∴△ABC与△DEF的相似比为. ∴＝＝. ∵△ABC的面积为3，∴△DEF的面积为27. ∴阴影部分的面积是27－3＝24. $