精品解析：湖北省武汉市水果湖第一中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

八年级数学试题 一、单选题（每小题3分，共10小题） 1. 中秋节是我国四大传统节日之一，下列中秋祝福中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 秋 C. 快 D. 乐 2. 下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. 5，5，5 B. 3，4，5 C. 3，4，8 D. 2，4，5 3. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 7. 某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 8. 如图，，，若，则的度数是（  ） A. B. C. D. 9. 等腰中，，D是的中点，交延长线于E，交的延长线于F，若，则的面积为（　　） A. 42 B. 36 C. 48 D. 58 10. 如图，在中,，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共6小题） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_______． 12. 计算的结果等于________． 13. 如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 14. 计算：___________． 15. 汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，________度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 16. 如图，已知在中，，，D，E分别为，上的点，°，，则_______． 17. 计算： （1）． （2） 18. 如图，已知，．求证：． 19. 如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 20. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）在轴上找一点P，使得的值最小，此时点P的坐标为________； （3）已知点Q为y轴上一点，若为等腰三角形，则点Q有________个． 22. 规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______，______． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的证明： 设，则，即． 所以，即， 所以． 试解决下列问题： ①计算； ②若令，，，试探索与的大小关系． 23. 以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． （1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； （2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 24. 如图，在中，，，过点作，点在上（不与点，重合），作，的边交直线于点，连接． （1）如图1，当点在射线上时，作，交于点，求证：； （2）如图2，当点在射线上时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的基础上，若与交于点，当为的中点，且四边形的面积比的面积大10时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 一、单选题（每小题3分，共10小题） 1. 中秋节是我国四大传统节日之一，下列中秋祝福中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 秋 C. 快 D. 乐 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义分析各选项汉字的结构，只有“中”字具有垂直对称轴． 【详解】解： "中"字沿垂直中线对折后，左右部分能完全重合， "中"是轴对称图形， "秋"、"快"、"乐"字均无对称轴，对折后不能重合， 它们不是轴对称图形， 故选：A． 2. 下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. 5，5，5 B. 3，4，5 C. 3，4，8 D. 2，4，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解决本题的关键． 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴不能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴能构成三角形，不符合题意； 故选C． 3. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，即两个锐角互余，其和为． 根据在直角三角形中，两个锐角互余，其和为，即可解答． 【详解】解：∵直角三角形中两个锐角互余， ∴另一个锐角为． 故选D． 4. 计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂运算法则，解题的关键是能熟练运用该法则． 根据指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：A． 5. 如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 6. 已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 7. 某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定，如图，过点作于点，于点，再结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， ，， 平分． 故选：A． 8. 如图，，，若，则的度数是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用等边对等角及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 等腰中，，D是的中点，交延长线于E，交的延长线于F，若，则的面积为（　　） A. 42 B. 36 C. 48 D. 58 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可利用证明得到，进而由线段中点的定义得到，再求出线段的长即可得到答案． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中,，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（三线合一）、轴对称的性质、等边三角形的判定（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）、全等三角形的判定与性质、垂线段最短定理及三角形面积公式，解题的关键是通过轴对称转化折线为垂线段，利用全等和等边三角形性质求出等腰三角形的边长与高，进而计算面积． 由、为中点，得垂直平分，故；作关于的对称点，得、，且由、得，将转化为；根据垂线段最短，当、、、共线且垂直时和最小，由得；因、，故为等边三角形，得，即；由对称得且，最后用面积公式计算． 【详解】解：连接，过点C作的对称点O，连接，过点F作 ⊥ 于点N，作 于点P， ∴， ∵，点D为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点，P共线时，取得最小值，如图： 记交于点Q， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵关于对称， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共6小题） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴对称， 的横坐标变为相反数，纵坐标不变， 关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 计算的结果等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方运算法则：． 根据幂的乘方运算法则运算法则计算，注意符号，负数的偶次方是正数． 【详解】． 故答案为：． 13. 如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂线的基本作图，与三角形的高有关的计算． 根据基本作图，可得，利用三角形的面积计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 计算：___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握积的乘方运算法则．根据积的乘方逆运算运算法则计算即可． 【详解】解：原式 = ． 故答案为：． 15. 汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时，________度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键．根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线得交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角，即可求解． 【详解】解：①如图所示，， ， ， ， ， ， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ＝， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，或或； 综上所述，或或 故答案为：或或． 16. 如图，已知在中，，，D，E分别为，上的点，°，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出，过点B作，连接，则，根据等角对等边得出，可求出，则是等边三角形，得出，，然后导角可求出，根据等角对等边得出，最后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 过点B作，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘和整式的减法运算，准确的计算是解决本题的关键， （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （2）先计算积的乘方和同底数幂相乘，再按照整式的减法运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知，．求证：． 【答案】 证明：∵在和中， ∴（） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】略 19. 如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 【答案】 证明：∵， ∴∠B=∠C， ∵，， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴． 【解析】 【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）在轴上找一点P，使得的值最小，此时点P的坐标为________； （3）已知点Q为y轴上一点，若为等腰三角形，则点Q有________个． 【答案】（1） 如图所示，就是所求作的图形； （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，等腰三角形定义，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的特征画图即可； （2）连结，交x轴于点P，由于点C关于x轴的对称点为点，所以的最小值为的长，然后求出直线的解析式，再求其与x轴的交点坐标即可； （3）分为等腰三角形的腰和底两种情况讨论，通过作图即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连结，交x轴于点P， 由于点C关于x轴的对称点为点，所以的最小值为的长； 设直线的解析式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， 点P的坐标为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：当为腰时，如图，，， 当为底时，如图， 因此，满足题意的点Q有4个． 故答案为：4． 22. 规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______，______． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的证明： 设，则，即． 所以，即， 所以． 试解决下列问题： ①计算； ②若令，，，试探索与的大小关系． 【答案】（1）2，-3 （2）①0；② 【解析】 【分析】(1)根据规定即可求得； (2)根据证明的过程，通过变式即可分别求得． 【小问1详解】 解： 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：① ②，，， ，，， ， ，从而, ， 即． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算的变式，理解题意，熟练掌握幂的乘方运算是解题的关键． 23. 以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． （1）如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； （2）如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 【答案】（1） 证明：在中，， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ； （2） 证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. 如图，在中，，，过点作，点在上（不与点，重合），作，的边交直线于点，连接． （1）如图1，当点在射线上时，作，交于点，求证：； （2）如图2，当点在射线上时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的基础上，若与交于点，当为的中点，且四边形的面积比的面积大10时，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：，，， ，， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2） ，理由如下： 过点作，交延长线于点，则， 同（1）得， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质和角的和差证明和，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）证明，，再根据全等三角形对应边相等得出，，即可求解； （3）先证明，得出，再根据，，得出，，根据，可得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作，垂足为，则， ， ， ， 为中点， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 和等底等高， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $