24.1.4圆周角讲义（基础篇）2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.1.4圆周角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 圆周角定理 （1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。 （3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质：(1)圆内接四边形的对角互补。 (2)四个内角的和是360° (3)圆内接四边形的外角等于其内对角 型 习 练 题 圆角周的概念辨析 1．下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的基本概念及性质，根据圆周角与圆心角的基本概念及性质逐一分析即可，掌握圆周角与圆心角的基本概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； 、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； 、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 2．下列说法正确的是（   ） A．顶点在圆周上的角叫做圆周角 B．两边都和圆相交的角叫做圆周角 C．等于圆心角一半的角叫做圆周角 D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定义，熟记圆周角定义是解决问题的关键． 根据圆周角定义：顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意； D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 5．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 圆周角定理 6．如图，点、、在上，，连接、．则大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆心角度数是圆周角度数的2倍即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 7．如图，内接于，是的直径．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，理解圆周角与圆心角的关系是解题关键． 根据圆周角与圆心角的关系求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 8．如图，在中，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，首先根据圆周角定理求出，，求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 9．如图，，，都是上的点，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，理解相关知识是解答关键．在优弧上取一点D，连接，利用同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半求出的度数，再利用圆内接四边形内对角互补来求解． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接， 则． ∵点四点共圆， ， ． 故选：B． 10．如图，为的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 同弧或等弧所对的圆周角相等 11．如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵内接于，为的直径， ∴， ∴； 故选B． 12．如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据直角所对的圆周角是直角得到的度数，则可求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 13．如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 14．如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 15．如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故， 故选A． 半圆所对的圆周角是周角 16．如图，在中，为直径，为圆上的点，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选：A． 17．如图，是的直径，点C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C． 18．如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 由是⊙O的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 【详解】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）， ． 故选：C． 19．如图，，分别是的直径和弦，于点，连接，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理和勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】是的直径， ， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， ， 故选：． 20．如图，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用直角三角形的性质求出，再利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 90度的圆周角所对的弦是直径 21．如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是得出，，，四点共圆． 连接，，根据且为中点，证明是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，，进而可得出结论． 【详解】连接，，如图， ，且为中点， ， ， ， 为中点， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得 ， ， ， 故选A． 22．下列图形中的线段是圆的直径的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 23．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 24．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 25．如图，内接于，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接．则四边形的面积（    ） A．只与的长有关 B．只与的长有关 C．只与的长有关 D．只与的长有关 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形与圆的综合，掌握角所对的边为圆的直径，几何图形面积的计算方法是关键．连接，过点作于点，作点作于点，得到是直径，，四边形的面积为，结合计算得到，是直径，是定值，的面积与的乘积有关，或与的长有关，当点的位置变换，即线段的长改变，则的长改变，随之改变，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，作点作于点， ∵将绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上， ∴，， ∴是直径，， ∴四边形的面积为， ∵， ∴点重合， ∴， ∴， ∵是直径，是定值， ∴的值是定值， ∵是直径，且， ∴， ∴， ∴的面积与的乘积有关，或与的长有关， ∴当点的位置变换，即线段的长改变，则的长改变，随之改变， ∴四边形的面积改变， ∴四边形的面积只与的长有关， 故选：B ． 求四边形外接圆的直径 26．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 27．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 29．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 30．如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 【详解】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理和等腰三角形性质，熟练掌握各个定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $24.1.4圆周角 (30分提至70分使用) 讲 概 览 圆周角定理 新课探索 圆内接四边形及其性质 讲义内容 圆角周的概念辨析 圆周角定理 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型练习 半圆所对的圆周角是周角 90度的圆周角所对的弦是直径 求四边形外接圆的直径 新 课 探 索 圆周角定理 (1)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半。 (2)圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对弦是直径。 (3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关 系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不 成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质：（1)圆内接四边形的对角互补。 (2)四个内角的和是360 (3)圆内接四边形的外角等于其内对角 题 型 练 国具 圆角周的概念辨析 1.下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是() A.圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B.顶点在圆周上的角叫做圆周角 C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D.在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 2.下列说法正确的是() A.顶点在圆周上的角叫做圆周角 B.两边都和圆相交的角叫做圆周角 C.等于圆心角一半的角叫做圆周角 D.顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角 3.下列圆中既有圆心角又有圆周角的是() 4.如图，点A,B,C在⊙O上，点D在⊙O外，CD与⊙O交于点E,AC,BE于点F.下 列角中，弧AE所对的圆周角是() B A.∠ADE B.∠ABE C.∠AFE D.∠AOE 5.下列图形中的角是圆周角的是() 圆周角定理 6.如图，点、8、C在o0上，B=35, OA OC 上， 连接 、 ·则<Aoc 大小为() B A.17.5° B.35 C.70° D.90° 7.如图，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径.若∠CAD=50°，则∠ABC的度数是 (). A.250 B.40° C.50 D.80° ⊙0 ∠BAC=22°∠ACB=42° 8.如图，在中，若 ∠ACO 则 的度数为() B A A.22° B.24° C.26° D.32 9.如图，1,8，C都 0上的点，点C在B上，若108=80，则<4C ⊙ 的度数 为() B A.120 B.140° C.100° D.80 10.如图，AC,BC为⊙0的弦，连接OA,OB,OC,若∠AOB=40°，∠OCA=30°，则 ∠BCO的度数为() B A A.40° B.450 C.50° D.55° 同弧或等弧所对的圆周角相等 11.如图，△ABC内接于⊙0，AB=BC,∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=8,那 么AB的值为() D 0 B A.35 B.4 c.25 D.3 12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD的度 数为() A.40° B.45° C.50° D.55 13.如图，AB是⊙O的直径，C,D,E是⊙O上三点，连接AD,CD,CE,EB,若 ∠CEB=25°，则∠D的度数是() D B A.50 B.60° C.65 D.70° 14.如图，四边形ABDC内接于直径是AB的⊙O.若∠BED=25°，则∠ACD的度数为 () R 0 A.105° B.115° C.125o D.135° 15.如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，若∠D=65°，则∠BAC的度数为 () D A.25° B.35° C.45° D.65° 半圆所对的圆周角是周角 16.如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上的点，若∠CAB=59°，则∠CBA的大小为 () 6 A.31° B.41° C.49° D.90° 17.如图，AB是⊙0的直径，点C,D是圆上两点，连接AC,AD,CD.若∠BAD=74°， 则∠C的度数为() A A.14° B.15 C.16 D.37 BD⊙O 18.如图， 是 的直径，么，C在圆上，∠A=5°，∠DBC 的度数是() B A D A.55 B.45° C.35° D.25° 19.如图，AB,AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D,连接BD,BC,且 BD=5,BC=4,则△ABD的面积为() D B A.24 B.6 C.12 D.4.5 20.如图.4C是O0的直径，∠4CD=37°，则<B的度数为() B D A.53° B.62° C.63° D.64° 90度的圆周角所对的弦是直径 21.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，F是BD的中点， 若∠BAC=15°，∠DAC=45°，CD=4,则EF的长为() E B A.v B.2V2 C.2 D.25 22.下列图形中的线段AB是圆的直径的是() B CB C.B D 23.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边 B重合，点D为斜边MB上一点，作射线CD交B于点E,如果点F所对应的读数为 A 0° 那么∠BCD=() A.65° B.70° C.50° D.45o 24.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC和BD交于点E,若 AE=4,CE=2 BD ,则 长的最小值为() B A.6 B.4v2 C.4 D.2V2 25.如图，△ABC内接于⊙O,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,点C的对应 点F在00上，连接E.则四边 ACBE 的面积() E A.只与AC的长有关 B.只与AB的长有关 C.只与BC的长有关 D.只与BE的长有关 求四边形外接圆的直径 26.正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是() A.2 B.4 c.② D.2V2 27.如图，⊙C过原点0，且与两坐标轴分别交于点A、B,点A的坐标为0，，点M 是第三象限内圆上一点，∠BM0=120°，则⊙C的半径为() A 0 M A.4 B.5 C.63 D.2 28.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径，∠C=120°.若AD=2,则AB的长为( A ⊙ 0 B.2 C.26 D.4 29,如图，四边形BCD内接于O0,∠1BC:∠ADC=2:1AB=2 BD ,点C为b的中点， 延长4B,DC交于点E,且∠E=60,则 0 的面积是()