24.1.4 圆周角 暑期衔接讲义（思维导图+知识梳理+巩固练习）-2025—2026学年人教版数学九年级上册

24.1.4 圆周角 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、圆周角的定义 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 特征： 顶点必须在圆上 两边必须与圆相交（即角的两边都是圆的弦） 注意：圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆上。 二、圆周角定理 1. 定理内容 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 几何语言：在 。 2. 定理证明思路 分三种情况证明： 1. 圆心在圆周角的一边上 2. 圆心在圆周角的内部 3. 圆心在圆周角的外部 辅助线：连接圆周角的顶点与圆心，转化为等腰三角形和外角性质进行证明。 三、圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 内容：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角 内容：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆内接四边形的性质 圆内接四边形定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 性质：圆内接四边形的对角互补。 四、圆周角的性质总结 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等； 2. 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 3. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 4. 90°的圆周角所对的弦是直径； 5. 圆内接四边形的对角互补。 五、圆周角相关的计算与证明 1. 角度计算 已知弧的度数求圆周角：圆周角度数 = 所对弧度数的一半 已知圆心角求圆周角：圆周角 = 圆心角 × 综合计算：利用三角形内角和、外角性质及圆周角定理进行角度转换 2. 证明思路 证明角相等：利用同弧或等弧所对的圆周角相等 证明线段是直径：证明该线段所对的圆周角是90° 证明四点共圆：证明四边形对角互补或一个外角等于其内对角 巩固练习 一、选择题 1．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．130° 【答案】B 【解析】【解答】解： ∠BOC＝130°，点A在上， 故答案为：B 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半，即可得出 2．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=25°， ∴∠BAC=90°-25°=65°， ∴∠BDC=∠BAC=65°， 故选：D． 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据两锐角互余求出∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等解答即可． 3．圆内接四边形 中， 是对角线， ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由条件可知 ， ， 故答案为： C. 【分析】先由等边对等角得 ， 再由三角形内角和定理得 再由圆内接四边形的性质得∠C的度数 . 4．如图，是的直径，垂直于弦于点D，的延长线交于点E．若，，则的长是（　　） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：设 ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵是的直径， ∴∠C=90°， ∴， ∴解得：， ∴， 故答案为：B． 【分析】设，则，从而可得，先根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后利用勾股定理计算可求出． 5．如图，是的直径，是上一点，连结，．若，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵在中，为所对的圆周角，为所对的圆心角， ∴， 故答案为：C． 【分析】根据圆周角定理解题即可． 6．如图，内接于，是的直径．若，的度数为，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接， 由题意知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C． 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，，求得，，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，计算求解即可. 7．如图，四边形内接于，已知点为的中点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝50°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°， ∵点C为的中点， ∴CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣130°）＝25°， 故答案为：D. 【分析】先根据圆内接四边形的性质求得∠BCD，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理求出∠CDB． 8．加图，四边形ABCD内接于交CB的延长线于点，若BA平分，则（　　） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD内接于， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∵∠ABE+ABC=180°， ∴∠ABE=∠ADC， ∵， ∴∠ABD=∠ACD， ∵BA平分∠DAE， ∴∠ABE=∠ABD， ∴∠ADC=∠ACD， ∴AC=AD， ∵AE⊥CB，AD=6，CE=4， ∴AC=6， ∴AE=. 故答案为：C. 【分析】连接AC，根据圆内接四边形对角互补即可知道∠ABE=∠ADC，根据同弧所对圆周角相等即可得到∠ABD=∠ACD，再结合角平分线的性质，利用勾股定理即可得到AE的长度. 二、填空题 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若，∠BDC=50°，则∠ADB的度数是　 　 【答案】80° 【解析】【解答】解：∵， ∴∠ABC＝∠BDC＝50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝130°， ∴∠ADB＝∠ADC−∠BDC＝80°， 故答案为：80°． 【分析】先利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠BDC＝50°，再利用圆内接四边形的性质可得∠ADC＝130°，最后利用角的运算求出∠ADB＝∠ADC−∠BDC＝80°即可. 10．如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是　 　． 【答案】90° 【解析】【解答】解：∵是的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， 即：， ∴的度数为， ∴所对的圆周角的度数是； 故答案为：90°． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及直径所对的弧是半圆得到的度数为，再根据等量加等量和相等可推出，得到的度数为，最后根据弧所对的圆周角度数等于弧的度数得一半即可得出结果． 11．如图，将直角三角板的锐角顶点放在上，边，与分别交于点，，连结．若，，则的半径为　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：连接、， ∵的锐角顶点A在上，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：3． 【分析】由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知，连接OE、OD后，等腰三角形OED的顶角，则三角形ODE是等边三角形，即半径等于弦DE。 12．如图，AB是⊙O的直径，C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA的大小为　 　 【答案】30° 【解析】【解答】解：∵点C是半径OA的中点， ∴OC＝OD， ∵DE⊥AB， ∴∠CDO＝30°， ∴∠DOA＝60°， ∴∠DFA＝30°， 故答案为：30°． 【分析】先利用解直角三角形的方法求出∠CDO＝30°，再利用三角形的内角和求出∠DOA＝60°，最后利用圆周角的性质求出∠DFA＝30°即可. 13．如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为　 　 ． 【答案】 【解析】【解答】解：四边形为的内接四边形，， ， 是的内接四边形的外角， ． 故答案为：． 【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角即可求出答案. 14．如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，E是直径上一动点，则最小值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：作点D关于的对称点，连接，，，. 可知，根据“两点之间线段最短”得当C，E，三点共线时，最小，即． ∵点C在上，，点D是的中点，即， ∴， ∴， ∴，则是等腰直角三角形． ∵， ∴． 故答案为：． 【分析】作点D关于的对称点，连接，，，，可知，当C，E，三点共线时，最小，即，根据圆周角定理可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案. 三、解答题 15．如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 【答案】（1）解：∵为的直径， ， ∵， ． （2）解：， ， ， ， ， 【解析】【分析】（1）因为为的直径 ，所以，又因为 ，可得的度数． （2）在直角三角形ABC中，根据勾股定理：，代入数据求出的长，在直角三角形ADC中，根据勾股定理：，代入数据求出的长。 （1）解：∵为的直径， ， ∵， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 16．如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，由弧与圆心角的关系得，然后再根据圆周角定理求得的度数； （2）设，则，然后求出，根据含30°的直角三角形的性质得到，于是得关于的方程，解方程得的值，利用勾股定理得到的值，最后根据垂径定理得的值. （1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E． （1）求证：E为BC的中点． （2）若BC＝10，DE＝3，求AB的长度． 【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠C＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠OEB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC，- ∵OD是⊙O的半径， ∴BE＝CE， ∴E为BC的中点 （2）解：∵BC＝10，DE＝3， ∴设圆O的半径为x，OB＝OD＝x，OE＝x﹣3，． 在Rt△BOE中，OB2＝BE2+OE2，即x2＝52+（x﹣3）2， 解得， ∴ 【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角求出根据平行线的性质求出即 ，根据垂径定理即可证得结论； (2)设圆的半径为x，则 根据勾股定理求出答案. 18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E． （1）若∠B=70°，求∠CAD的度数； （2）若AB=4，AC=3，求DE的长． 【答案】解：（1）∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， 又∵OD∥BC， ∴∠AEO=90°，即OE⊥AC. ∵∠B=70°， ∴∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°． ∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO=55°， ∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°； （2）在Rt△ABC中，BC=． ∵OE⊥AC， ∴AE=EC， 又∵OA=OB， ∴OE=BC=． 又∵OD=AB=2， ∴DE=OD﹣OE=2﹣． 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得∠ACB=90°，即可得到∠CAB的度数，然后根据等边对等角得到∠DAO的度数，再根据角的和差求出∠CAD解题. （2）先证明OE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理得到OE长，解题即可． 19．如图，AB是的直径，，于点E，连接BD交CE于点F. （1）求证：. （2）若，，求弦BD的长. 【答案】（1）证明：∵AB是的直径， ∴，∴ ∵，∴， ∴， ∴ 又∵，∴， ∴， ∴，∴； （2）解：连接OC，交BD于点G， ∵，∴，， ∵，，， ∴， ∴的半径为10， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴ 【解析】【分析】(1)根据∠ACB=90°，∠CEB=90°，可推出∠ECB=∠A，再根据等弧所对的圆周角相等可知∠DBC=∠A，从而可求证； （2）根据垂径定理和勾股定理可求解. 20．如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结． （1）求证：； （2）当时，求线段的长． 【答案】（1）证明：为的中点， ， 是直径， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）利用等角对等边证明即可。 （2）利用勾股定理分别求出BD ， PB 再利用等腰三角形的性质即可解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.4 圆周角 暑期衔接讲义-2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、圆周角的定义 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 特征： 顶点必须在圆上 两边必须与圆相交（即角的两边都是圆的弦） 注意：圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆上。 二、圆周角定理 1. 定理内容 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 几何语言：在 。 2. 定理证明思路 分三种情况证明： 1. 圆心在圆周角的一边上 2. 圆心在圆周角的内部 3. 圆心在圆周角的外部 辅助线：连接圆周角的顶点与圆心，转化为等腰三角形和外角性质进行证明。 三、圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 内容：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角 内容：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆内接四边形的性质 圆内接四边形定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 性质：圆内接四边形的对角互补。 四、圆周角的性质总结 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等； 2. 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 3. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 4. 90°的圆周角所对的弦是直径； 5. 圆内接四边形的对角互补。 五、圆周角相关的计算与证明 1. 角度计算 已知弧的度数求圆周角：圆周角度数 = 所对弧度数的一半 已知圆心角求圆周角：圆周角 = 圆心角 × 综合计算：利用三角形内角和、外角性质及圆周角定理进行角度转换 2. 证明思路 证明角相等：利用同弧或等弧所对的圆周角相等 证明线段是直径：证明该线段所对的圆周角是90° 证明四点共圆：证明四边形对角互补或一个外角等于其内对角 巩固练习 一、选择题 1．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．130° 2．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　） A． B． C． D． 3．圆内接四边形 中， 是对角线， ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，垂直于弦于点D，的延长线交于点E．若，，则的长是（　　） A．1 B．2 C． D．4 5．如图，是的直径，是上一点，连结，．若，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，内接于，是的直径．若，的度数为，则等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，已知点为的中点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．加图，四边形ABCD内接于交CB的延长线于点，若BA平分，则（　　） A．5 B．4 C． D． 二、填空题 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若，∠BDC=50°，则∠ADB的度数是　 　 10．如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是　 　． 11．如图，将直角三角板的锐角顶点放在上，边，与分别交于点，，连结．若，，则的半径为　 　． 12．如图，AB是⊙O的直径，C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA的大小为　 　 13．如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为　 　 ． 14．如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，E是直径上一动点，则最小值为　 　． 三、解答题 15．如图，四边形内接于，为的直径，． （1）求的度数． （2）若，，求的长度． 16．如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）在（1）的条件下，若，求的长． 17．如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E． （1）求证：E为BC的中点． （2）若BC＝10，DE＝3，求AB的长度． 18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E． （1）若∠B=70°，求∠CAD的度数； （2）若AB=4，AC=3，求DE的长． 19．如图，AB是的直径，，于点E，连接BD交CE于点F. （1）求证：. （2）若，，求弦BD的长. 20．如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结． （1）求证：； （2）当时，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$