24.1.4 圆周角 预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角 预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解圆周角的定义，能准确区分圆周角与圆心角。 2. 掌握圆周角定理及其推论，并能运用其解决几何问题。 3. 能证明圆周角定理，理解其与圆心角定理的关系。 4. 会利用圆周角定理计算角度或证明弧、角相等关系。 知识点梳理 1. 圆周角的定义 · 顶点在圆上，两边都与圆相交的角称为圆周角（如∠ACB）。 · 特征：顶点在圆周，两边为圆的弦。 2. 圆周角定理（核心定理） · 内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 · 几何语言：若弧AB所对的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB，则∠ACB=½∠AOB。 · 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 · 推论2：直径所对的圆周角是直角（即90°）。 3. 圆周角与弧的关系 · 在同圆或等圆中，圆周角相等⇨所对的弧相等⇨所对的弦相等。 · 应用：通过圆周角相等证明弧或弦的相等关系。 4. 解题方法 · 遇圆周角问题，优先连接圆心与圆周角顶点，构造圆心角辅助分析。 · 直径相关的圆周角问题，直接应用“直径对直角”推论。 易错点提醒 1. 概念混淆 · 误将圆心角当作圆周角，或混淆两者的倍数关系（圆周角=½圆心角）。 · 忽略“同弧或等弧”条件，直接比较不同弧的圆周角。 2. 定理误用 · 未区分弧的优劣（如误用劣弧所对的圆周角分析优弧）。 · 直径推直角时，未验证圆周角顶点是否在直径两端。 3. 证明疏漏 · 忽略圆周角位置的三种情况（圆心在角的一边、内部或外部），需分类讨论。 · 计算时未利用圆心角与圆周角的定量关系，导致角度求解错误。 4. 作图问题 · 辅助线遗漏：未连接圆心与相关点构造圆心角。 · 误判弧的对应关系，导致圆周角与圆心角匹配错误。 知识点小结 1. 核心定理 · 圆周角定理是圆的性质的核心，揭示了圆周角与圆心角的定量关系。 · 推论“直径对直角”是证明直角三角形的重要工具。 2. 应用要点 · 解题时先标注已知圆周角及对应弧，再转化为圆心角分析。 · 复杂图形中，优先寻找同弧所对的多个圆周角或圆心角。 3. 注意事项 · 所有推论必须基于“同圆或等圆”的前提。 · 涉及多组圆周角时，需明确每条弧的对应关系，避免交叉混淆。 注：本节内容需结合图形动态理解圆周角与圆心角的关系，通过典型例题掌握证明与计算方法，为后续学习圆内接四边形奠定基础。 巩固练习 一、选择题 1．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，，，则的直径等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（　　） A．48° B．96° C．114° D．132° 4．如图，点A，在上，且，点是劣弧上一个动点（点不与点A，重合），在点运动的过程中，=（　　） A． B． C．或 D．不能确定大小 5．如图，内接于，是的直径，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，线段AB是半圆O直径。分别以点A和点O为圆心，大于AO的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE=1，则BC的长是（　　） A． B．4 C．6 D． 二、填空题 7．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于M，N两点，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的直径是　 　 8．如图，OM为半圆的直径，观察图中的尺规作图痕迹，若，则的度数为　 　. 9．若四边形为内接四边形，，则　 　°． 10．如图，四边形为的内接四边形，是延长线上一点，已知，则的度数为　 　 ． 11．如图，已知点 O 是四边形ABCD 内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO=　 　度. 12．如图，正方形ABCD 的边长为2，点 E 为射线CD 上一动点，以CE 为边在正方形ABCD 外作正方形CEFG，连接 BE，DG，两直线 BE，DG 相交于点P，连接AP，当线段 AP 的长为整数时，AP 的长为　 　. 三、解答题 13．如图，AB是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E． （1）求证：E为BC的中点． （2）若BC＝10，DE＝3，求AB的长度． 14．已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接． （1）当点E是的中点时，求的度数； （2）当时，求的值； （3）求证：． 15．如图，四边形内接于是直径，为的中点，延长交于，连结． （1）求证：； （2）当时，求线段的长． 参考答案 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．10cm 8．70° 9．或 10． 11．150 12．1或2 13．（1）证明：∵AB是半圆O的直径， ∴∠C＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠OEB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC，- ∵OD是⊙O的半径， ∴BE＝CE， ∴E为BC的中点 （2）解：∵BC＝10，DE＝3， ∴设圆O的半径为x，OB＝OD＝x，OE＝x﹣3，． 在Rt△BOE中，OB2＝BE2+OE2，即x2＝52+（x﹣3）2， 解得， ∴ 14．（1）解： ∵，点E是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴设，，，设的半径为， ∴， 在中，，即， 解得， 在中，， ∴； （3）证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图， ∵， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵为直径，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（1）证明：为的中点， ， 是直径， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$