21.1一元二次方程（基础篇）讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.1一元二次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 1 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 型 习 练 题 一元二次方程的定义 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：． 2．下列方程中，关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．含有两个未知数，故本选项不符合题意； B．含有两个未知数，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．，整理得：，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程需同时满足整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2”是解题的关键．根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数的最高次数为2、整式方程”的定义，逐一分析即可． 【详解】一元二次方程需同时满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A．，是整式方程，且的最高次数为2，符合题意； B．，化简得：，为一次方程，不符合题意； C．，分母含，不是整式方程，不符合题意； D．，为一次方程，不符合题意． 故选：A． 4．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，方程变为，的最高次数为，故不是一元二次方程，不符合题意； B、中含有两个未知数和 ，故不是一元二次方程，不符合题意； C、中含有分式 ，分母含未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、，移项、合并同类项得：，是整式方程，只含有一个未知数，且的最高次数为，故是一元二次方程，符合题意； 故选：D ． 5．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2）进行判断即可． 【详解】解：选项A：是一元一次方程，不符合题意； 选项B：，可化为，是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； 选项C：，不是整式方程（分母含未知数），不是一元二次方程，不符合题意； 选项D：，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 化成一元二次方程的一般形式 6．方程的一次项系数是（　　） A． B．4 C．0 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；一元二次方程的一般形式为，其中是一次项系数，给定方程中无项，因此一次项系数为0，因此问题可求解． 【详解】解：∵方程 可化为， ∴一次项系数为0； 故选C． 7．一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式．根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：∵ 方程 中， 项的系数为3， ∴ 二次项系数是3． 故选：C． 8．一元二次方程的二次项系数为2时，其一次项系数为（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是通过移项化为一般形式后确定各项系数．将方程化为一般形式 后，直接读取一次项系数． 【详解】解：∵ 原方程为， 移项得， ∴ 一次项系数为； 故选：A． 9．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程化为的形式即可得到答案． 【详解】解：原方程化为一般式为， ∴，，． 故选D． 10．一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，4，2 B．3，，2 C．3，4， D．3，， 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式， 根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，． 故选：D． 判断是否是一元二次方程 11．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 12．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 13．把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 14．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 15．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】A、若是一元二次方程，是常数，且，故此选项不符合题意； B、是分式方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：C 判断是否是一元二次方程的解 16．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 17．若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． 18．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 19．下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”，一元二次方程的解．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解，即可进行解答． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、，未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、，是一元二次方程，当时，，故该选项不符合题意； D、，是一元二次方程，当时，，故该选项符合题意； 故选：D． 20．若m是方程的根，则的值为（   ） A．28 B．27 C．26 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故选：B． 由一元二次方程的解求参数 21．已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（   ） A．2026 B． C．0 D．4052 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值．利用m满足原方程的条件，得到的值，然后代入所求表达式进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵为一元二次方程的一个根， ∴， 即， 则 ， 故选：A 22．若一元二次方程有一个根是a，则式子的值是（） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 利用方程根的定义，将代入方程得到等式，然后通过代数变换求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即． 两边同乘以2得： ． ∴的值为4． 故选A． 23．若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求解未知数，解决本题的关键是直接利用根代入方程求解． 根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求出参数值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 将代入方程得：， 即， ∴， 解得． 故选：A． 24．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义． 利用一元二次方程根的定义，得到的值，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵m是方程的实数根， ∴，   即， ∴． 故选：C． 25．已知关于的一元二次方程，若方程有一个实数根是3，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：关于x的方程的一个根为3， 把，代入方程，得 ， 解得：， 故选：C． 一元二次方程的解得估算 26．根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解．观察表，根据x的取值变化范围进行分析． 【详解】解：∵ 当 时，； 当时，， ∴ 方程的一个解在之间． 故选：C． 27．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 28．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：依题意， 时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：B． 29．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解．观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在和之间，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程根在和之间． 故选：C 30．根据下表中x与的对应值判断一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） x … 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 … … 0.0044 0.0269 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，找到相邻的两个的值，使的值分别大于0和小于0，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，； ∴当时，存在一个的值使， 故一元二次方程的一个解的取值范围是； 故选C． 由一元二次方程的定义求参数 31．若是一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．1或 【答案】B 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义求参数，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴； 故选：B． 32．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，熟练掌握“一元二次方程二次项系数不为0且常数项的概念”是解题的关键． 根据一元二次方程常数项为0和二次项系数不为0的条件来确定的值． 【详解】∵ 方程常数项为0， ∴ ，解得． 又∵ 方程是一元二次方程， ∴ 二次项系数，即． ∴ ， 故选：C． 33．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且为常数）．掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，且． 【详解】解：由题意，得且， 解得． 故选：D． 34．若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确理解计算是解题的关键． 一元二次方程的定义要求二次项系数不为零． 【详解】方程是一元二次方程， 二次项系数； 故满足的条件是． 故选． 35．方程是关于x的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1一元二次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 1 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 型 习 练 题 一元二次方程的定义 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 化成一元二次方程的一般形式 6．方程的一次项系数是（　　） A． B．4 C．0 D．9 7．一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B．1 C．3 D．4 8．一元二次方程的二次项系数为2时，其一次项系数为（   ） A． B．3 C．1 D． 9．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，4，2 B．3，，2 C．3，4， D．3，， 判断是否是一元二次方程 11．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 12．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 13．把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 14．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 15．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 判断是否是一元二次方程的解 16．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 17．若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 18．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 19．下列方程中，有根为1的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 20．若m是方程的根，则的值为（   ） A．28 B．27 C．26 D．25 由一元二次方程的解求参数 21．已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（   ） A．2026 B． C．0 D．4052 22．若一元二次方程有一个根是a，则式子的值是（） A．4 B．6 C．8 D．10 23．若关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2026 C．2027 D．2028 25．已知关于的一元二次方程，若方程有一个实数根是3，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 一元二次方程的解得估算 26．根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 28．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 30．根据下表中x与的对应值判断一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） x … 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 … … 0.0044 0.0269 … A． B． C． D． 由一元二次方程的定义求参数 31．若是一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．1或 32．若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（   ） A． B．1 C． D．0 33．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 34．若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 35．方程是关于x的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $