第01讲 一元二次方程（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第01讲 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的概念 知识点2：一元二次方程的一般式 知识点3：一元二次方程的解 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【题型1一元二次方程的概念】 【典例1 】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【变式3】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【典例2】若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【变式1】方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【变式2】若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【变式3】已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2） 在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【典例3】把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【变式3】将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 2.一元二次方程的重要结论： （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【题型4 已知一元二次方程的解求参数】 【典例4】已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． 【变式1】关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 【变式2】已知关于x的方程的一个根为，则 ． 【变式3】已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【典例5】已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【变式1】是方程的根，则式子的值为 ． 【变式2】已知a是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【变式3】若a是一元二次方程的一个解，则的值为 ． 一、单选题 1．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知a是方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 二、填空题 5．关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 6．若是方程的根，则代数式的值是 ． 7．已知为方程的根，则 ． 8．已知是关于的方程的解，则的值 ． 三、解答题 9．已知一元二次方程． (1)将方程化成一般形式； (2)写出二次项系数、一次项系数和常数项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的概念 知识点2：一元二次方程的一般式 知识点3：一元二次方程的解 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【题型1一元二次方程的概念】 【典例1 】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故选项符合题意； C、，不是方程，故选项不符合题意； D、，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断，即可求解．只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A． ，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C． ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；     D． ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．未知数的次数是1次，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意． B．，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．，含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D．，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、原方程化简得：，不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】 【典例2】若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 【变式1】方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程定义确定方程中未知数的最高次数以及二次项系数的条件． 根据一元二次方程的定义，方程中未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此确定a的值． 【详解】根据题意可得： 未知数的最高次数，即， 二次项系数，即， 综合以上两个条件，只能取， 故答案为：． 【变式2】若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得，求出的值即可． 【详解】解：若是关于的一元二次方程，则， 解得． 故答案为：1． 【变式3】已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2） 在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【题型3 一元二次方程的一般形式】 【典例3】把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式1】将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 【变式2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 【变式3】将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 2.一元二次方程的重要结论： （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【题型4 已知一元二次方程的解求参数】 【典例4】已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式1】关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，解方程即可得解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知关于x的方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键．把代入原方程求． 【详解】解：把代入原方程： ， ， 故答案为：． 【变式3】已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．把代入方程，解之即可得到的值． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 故答案为：3． 【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【典例5】已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2031 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ， 故答案为：2031． 【变式1】是方程的根，则式子的值为 ． 【答案】2027 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知a是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键． 先根据一元二次方程的根的定义可得，再作为整体代入即可得． 【详解】解：由题意得：，即， 则 ， 故答案为：2023． 【变式3】若a是一元二次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式并求值即可． 本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，解题的关键是理解方程解的定义． 【详解】】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴， ∴， 故答案为：5 一、单选题 1．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键． 根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 4．已知a是方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据a是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴ 故选：C． 二、填空题 5．关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将代入得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键掌握一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 6．若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，先由一元二次方程根的定义得到，再将整体代入求解即可得到答案．熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解： 是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 7．已知为方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴ ∴． 故答案为：． 8．已知是关于的方程的解，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，代数式求值等知识，先把代入得出，再把代数式变形得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：把代入可得出：， 即， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．已知一元二次方程． (1)将方程化成一般形式； (2)写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项． （1）根据一般式的定义，先利用多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项，合并同类项即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得原方程的一般式为， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$