精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题（Ⅱ卷）

黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题（Ⅱ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 5. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（ ）（单位：立方厘米） A. B. C. D. 6. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 8. 定义在上的函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象 11. “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……..”.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50………..记大衍数列为，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 当为偶数时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，且，则的周长为_______． 13. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则__________． 14. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上根的个数为______，且所有实根之和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 16. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小： （2）若，，求的面积． 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值. 18. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 19. 某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树.该地区统计局考察了四户不同人口（含家庭园丁等）的家庭种植情况，统计结果如下表： 家庭 人口人 3 4 5 6 种植果树数棵 10 20 40 50 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程. （2）假设该地区政府对种植果树的家庭发放100元每棵的净化环境补贴. （i）若该区家庭为大户人家，人口数为8人，根据（1）的结论估计该区政府要给家庭净化环境补贴的总金额； （ii）若将补贴细化到个人，且种植为个人独立完成，已知家庭中的两个小孩小明、小红至多种植一棵果树，且种植一棵果树的概率分别为，，若该地区政府对小明、小红两人的补贴总金额的期望不超过140元，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题（Ⅱ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法、虚部的概念即可求解. 【详解】由题意可得，故复数的虚部为. 故选：D. 2. 已知 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，化简集合，根据补集的定义求，结合交集定义求即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，， 又， 所以 故选：D 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】，， 当，有，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 已知向量在向量方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 5. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突．器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密．碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱．该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（ ）（单位：立方厘米） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆台体积公式直接求解即可. 【详解】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，，由题意，． 则该圆台的体积为立方厘米． 故选：D． 6. 已知函数，若实数，满足，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先证明函数的奇偶性和单调性，再利用函数性质将转化为， 最后设，将其转化为关于的一元二次方程，利用判别式求出的取值范围即可得解. 【详解】由题意，，则，所以函数为奇函数. 又，所以在上严格单调递减. 又知，则，故， 令，得，所以，整理得， 此时，解得，即的最大值为， 当且仅当时取等号. 故选：D. 7. 设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利于通项公式展开联立两个等式，求出等比数列的公比和首项，再利于等比数列的求和公式可求得的结果. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且， 故，联立可得，化简可得， 解得或， 当时，,不符合题意，舍去； 当时，， . 故选：. 8. 定义在上的函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数工具研究其单调性得到即可分析求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 所以在上单调递减. 因为，所以， 所以，即， 所以，但不一定成立；，但不一定成立； ，但不一定成立. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用作差法，举反例等方法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，若取，则，故A错误； 对于B，由可得，即可得，故B正确； 对于C，由可得，由不等式性质，可得，故C正确； 对于D，由， 因，，则，， 故，即得，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出和值，求出函数表达式，进而根据正弦函数的对称性及伸缩变换逐个判断即可. 【详解】由图象可知，， 由周期公式，选项A正确； 因为图象经过点，代入函数得：， 所以， 因为，所以，即，故B错误； 因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 可得，故D正确. 故选：ACD. 11. “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……..”.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50………..记大衍数列为，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 当为偶数时， 【答案】CD 【解析】 【分析】根据所给数列，总结猜想通项公式，进而用通项公式求解A，利用裂项相消可求B，直接求和可求C，根据归纳所得通项公式可求D. 【详解】解：根据数列前项依次是， 则奇数项为：，，，，，， 偶数项为：，，，，，， 所以通项公式为， 所以，A错误， 为奇数且时，， 所以， B错误； 对于C，，C正确； 对于D，当n为偶数时，，D正确， 故选:CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，且，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，列出方程求求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由中，，且， 可得，解得， 又由余弦定理得，即， 可得，则，所以， 所以的周长为． 故答案为：． 13. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥补成为正方体，然后确定出以及的位置，再通过向量法求解出，由此可求的结果. 【详解】在正三棱锥中，，又， 所以，所以，同理可得，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以． 故答案为：. 14. 定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上根的个数为______，且所有实根之和为______． 【答案】6;30 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和已知条件求得函数的图象关于对称，周期为4，进而画出函数的图象判断函数的零点个数. 【详解】因为函数是奇函数，所以，且， 又因为，所以，即，且函数的图象关于对称， 由得，所以，周期为4． 由函数在上单调递减，方程在上有实根可知方程在上有且仅有一个实根， 作出函数的大致图象如图所示： 由图可知函数的图象与直线在区间上有6个交点，且两两关于对称， 故方程在区间上根的个数为6， 所有实根之和为． 故答案为：①6；②30. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【小问1详解】 在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小： （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，利用三角函数恒等式整理化简方程，可得答案. （2）根据余弦定理建立方程，结合三角形的面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由，根据正弦定理可得， 由，则， 可得， 由，即，则，即， 根据，解得. 【小问2详解】 根据余弦定理可得， 由，，，则，解得， 所以的面积. 17. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值. 【答案】（1） （2）最大值为；最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【小问1详解】 依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 18. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 19. 某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树.该地区统计局考察了四户不同人口（含家庭园丁等）的家庭种植情况，统计结果如下表： 家庭 人口人 3 4 5 6 种植果树数棵 10 20 40 50 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程. （2）假设该地区政府对种植果树的家庭发放100元每棵的净化环境补贴. （i）若该区家庭为大户人家，人口数为8人，根据（1）的结论估计该区政府要给家庭净化环境补贴的总金额； （ii）若将补贴细化到个人，且种植为个人独立完成，已知家庭中的两个小孩小明、小红至多种植一棵果树，且种植一棵果树的概率分别为，，若该地区政府对小明、小红两人的补贴总金额的期望不超过140元，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）7900元；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由已知求，利用最小二乘法求，，由此可得回归方程， （2）①由（1）所求回归方程，取求对应的预测值可得， ②设小明、小红两人中种植果树的人数为，确定的可能取值，再求取各值的概率，利用期望公式求期望，结合条件列不等式求的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，， ，，， 所以，故得关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 （i）将代入，得， 所以估计该地区政府要给家庭净化环境补贴的总金额为元. （ii）设小明、小红两人中种植果树的人数为，则的所有可能值为，，， 则， ， . . ，且，，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $