精品解析：天津市津南区十校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

九年级数学学科期中学业监测试卷 一、选择题 1. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2. 若一元二次方程的两个根是x1，x2，则的值是（ ） A. 8 B. C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，两根之和为，两根之积为．根据一元二次方程根与系数的关系求出，的值，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个根为， ，， ， 故选：B． 3. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，则五月份的绿化投入为万元，六月份的绿化投入为万元，据此即可获得答案． 【详解】解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x， 根据题意，可得． 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b 的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5. 某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排28场比赛，则为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． 设计划组织x支球队参加，根据计划安排28场比赛列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：计划组织支球队参加，每两个球队之间都要比赛一场， 则需比较场， 根据题意可知：， 整理得：， 解得：，（舍去） 则计划组织8支球队参加， 故选：C 6. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（　　） A. 向左平移个，再向下平移个单位 B. 向右平移个，再向下平移个单位 C. 向左平移个，再向上平移个单位 D. 向右平移个，再向上平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，由抛物线，得到顶点坐标为，而平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点坐标的变化寻找平移方法，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为；抛物线，的顶点坐标， 顶点坐标的平移规则是：先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移的方法是向左平移个单位，再向下平移个单位， 故选：． 7. 若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小， 关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵由旋转的性质可知；，， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 9. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为120． 故选：B 10. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了m． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 11. 已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线． 有下列结论： ①； ②若点均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，且，则； ④若m为任意实数，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，依据题意，由抛物线经过，对称轴为直线，得出，再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断③，由时取最大值可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ， 故①错误； ， 抛物线开口向下． 又点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ， 故②错误； ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线 ∴另一个交点坐标为， 方程可以看成与的交点，函数大致图象如下： ∴由图可得， 故③正确； ∵对称轴为直线，抛物线开口向下． ∴抛物线最大值为， 若为任意实数，则， ， 故④正确． 综上，正确的有③④． 故选：B． 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、填空题 13. 已知二次函数的图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程判别式的关系，解题的关键是熟练掌握根据题意得出． 【详解】解：∵二次函数中，图象的开口向上， 又∵二次函数的图象都在x轴的上方， ∴抛物线的图象与轴没有交点， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为． 故答案为： 15. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则代数式的值为_________． 【答案】2020 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，代数式求值．将代数式变形为的形式是关键． 根据根与系数的关系得出，由解的意义得，再将变形为，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ∴ ． 故答案为：2020． 16. 关于x 的一元二次方程不含常数项，则m的值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各项系数，，的位置与要求是解决本题的关键．由题可知，该一元二次方程的二次项系数，且常数项，由此可解得的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的常数项为， ，解得． 故答案为：． 17. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后滑行______才能停下来． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，有最大值为， ∴飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、， ∴对称轴直线为： ∴顶点C的坐标为， 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：， ∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值． 设的解析式为， 则， 解得： ∴的解析式为：， 当时，则， 则点P的坐标为 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, ∴ 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴ 解得，． 20. 已知一元二次方程． （1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； （2）当时，请判别方程根的情况． 【答案】（1），方程另外一个根为 （2）原方程有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将和方程的一个根为代入方程求出c值，再解方程即可； （2）根据判断出的取值范围，进而进行判断即可； 熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键． 【小问1详解】 时，若方程的一个根为， 解得：， 得到方程为，解得或， ，方程另外一个根为； 【小问2详解】 ， ∴ ， 原方程有两个不相等的实数根． 21. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1）二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象绘制以及利用图象求函数值的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式、五点法绘图步骤以及函数的增减性． （1）通过将二次函数解析式化为顶点式来求顶点坐标和对称轴； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）结合画出的函数图象，根据自变量范围确定函数值的取值范围． 【小问1详解】 解： ， 根据二次函数顶点式，其顶点坐标为，对称轴为直线． 所以该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：求与轴交点：令，即，变形为，因式分解得， 解得， 所以与轴交点为和． 求与轴交点：令，则， 所以与轴交点为． 找顶点：由（1）知顶点为． 再找一个对称点：根据对称轴，与对称的点，横坐标为，纵坐标不变为3，即点， 所以选取的五个点为，在平面直角坐标系中描出这五个点， 然后用平滑曲线连接起来，就得到二次函数的图象． 【小问3详解】 解：由图可知，的取值范围是． 22. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求抛物线解析式； （2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为_______，顶点坐标为_______； （3）根据图象，当时，y的取值范围是_______． 【答案】（1） （2）与y轴的交点坐标为，顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）将点，代入即可求解； （2）将代入解析式即可求出与y轴的交点坐标，然后将二次函数的解析式华为顶点式即可求出顶点坐标； （3首先画出图象，直接由图象可得出y的取值范围． 【小问1详解】 解：把点，代入得 ，解得 ， ∴； 【小问2详解】 解：当时， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为； ∵ ∴顶点坐标为； 【小问3详解】 解：如图所示， 当时，；当时，． ∴根据图象，当时，y的取值范围是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C． ①当点B的横坐标为1时，求树的高度； ②求树的高度的最大值． 【答案】（1） （2）①树的高度为2；②树的高度的最大值为 【解析】 【分析】本考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，难度适中利用数形结合是解题的关键． （1）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （2）①过点作轴的垂线，点在直线，求出直线的解析式，进而求B、的纵坐标，据此求解即可； ②设B点坐标为，则C的坐标为，，配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解 【小问1详解】 由点在抛物线上，得，解得． 由，得该抛物线的顶点坐标为 【小问2详解】 ①如图，过点分别作轴的垂线，垂足是点, 设直线的解析式为, 直线的解析式为, 点的横坐标为1， 点的横坐标为1. 将代入, 的坐标为点的坐标为 答：这棵树的高度是2． ②点B在直线上，且直线的解析式为 设B点坐标为，则C的坐标为 ∴， 当时，树的高度的最大值为． 24. 某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元； （2）设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】（1）2000 （2）①；②该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用． （1）根据“总利润每件的利润每天的销量”可得； （2）①根据“总利润每件的利润每天的销量”列出函数表达式即可求解； ②运用二次函数性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：商场经营该商品原来一天可获利润（元） 故答案为：2000． 【小问2详解】 ①依题意得： ∴y与x之间的函数关系式为 ②∵，且 ∴当时，商店所获利润最大为2250元． 即：该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润． 25. 如图，抛物线经过三点． （1）求b，c的值； （2）点P在抛物线上，当，求点P的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）先求出，再利用三角形面积公式得到，则，据此求解即可； （3）如图所示．连接，由抛物线的对称性可知，则当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，求出直线的解析式为，抛物线对称轴为直线，在中，当时，，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，，当时，解得或， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，解得或； 在中，当时，此时方程无解； ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图所示．连接， 由抛物线的对称性可知， ∴， ∴当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科期中学业监测试卷 一、选择题 1. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 若一元二次方程的两个根是x1，x2，则的值是（ ） A. 8 B. C. D. 16 3. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b 的取值有关 5. 某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排28场比赛，则为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（　　） A. 向左平移个，再向下平移个单位 B. 向右平移个，再向下平移个单位 C. 向左平移个，再向上平移个单位 D. 向右平移个，再向上平移个单位 7. 若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A. 60 B. 120 C. 180 D. 270 10. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m； ③当水面下降2m时，水面宽度增加了m． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线． 有下列结论： ①； ②若点均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，且，则； ④若m为任意实数，则． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 13. 已知二次函数的图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是______． 14. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________． 15. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则代数式的值为_________． 16. 关于x 的一元二次方程不含常数项，则m的值为______________ 17. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后滑行______才能停下来． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2） 20. 已知一元二次方程． （1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； （2）当时，请判别方程根的情况． 21. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 22. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求抛物线解析式； （2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为_______，顶点坐标为_______； （3）根据图象，当时，y的取值范围是_______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C． ①当点B的横坐标为1时，求树的高度； ②求树的高度的最大值． 24. 某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元； （2）设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润？ 25. 如图，抛物线经过三点． （1）求b，c的值； （2）点P在抛物线上，当，求点P的坐标； （3）在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $