山东省济南第一中学2025-2026学年高二上学期期中学情检测数学试题

济南一中2024级高二期中学情检测 数学试题 说明：本试题分为第1卷和第川卷两部分，第1卷为第1页至第3页，共 11题，第川卷为第3贡至第4页，共8题。请将答案按要求填写在答题纸相应 位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交。试题满分150分，考试 时间120分钟。 第1卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项 中，只有一个选项符合题目要求， 1.己知向量a=（√5,1是直线1的方向向量，则直线1的倾斜角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 2.己知椭圆￥ 2+2=1(a≥b>O)的长轴长为4，离心率为V2 ,则该椭圆的方程为 2 82 42 +y2=1 4 c =1 168 3.“m=-1”是“直线l:x+(2m+3)y+1=0与直线12：x+y+3=0平行”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.正四棱柱ABCD-ABCD中，AA=2AB,E,F,G分别是CC,BD,AB的中点， 则直线CG与EF所成角的余弦值为 A. 8.v6 c.5 0.30 2 3 5 10 5.在平面直角坐标系0y中，己知圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),点A(-2,0),若圆C 上存在点M,满足MA+MOP=4，则r的取值范围是 A(0,2V2+1B.(0,22-1]c.「2W2-1,22+1 D.2V2+1,+∞ 高二数学试题第1页共4页 6.过点(-1，-2)的直线1与曲线y=-√4-x2有且仅有两个不同的交点，则1的斜率的取值 范围为 2引 a【2儿0 c[2) o 2,3ag1 7.己知菱形ABCD的边长为2，∠BAC=60°，现将△ACD沿AC折起，当BD=√5时，二 面角D-AC-B平面角的大小为 A.30° B.60° C.120° D.150° 8已知椭圆E: 示+6F=1(a>b>0)的左，右焦点分别为R,R,B上两动点M,N均 ，y2 b 位于x轴上方，且ME/NF,若M风与NE的交点在y轴上，且纵坐标为二，则椭圆E 的离心率为 &6 c.2W5 D. √5 3 3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分」 x2y2 工如椭图E元十Q>力>0)的离心率为长箱长为6，P,P?分别是椭园的 左、右焦点，A(1,1)是一个定点，P是椭圆E上的动点，则下列说法正确的是 A.焦距为2 B.椭圆E的标准方程为二+ 2 9 =1 5 C.AF=V2 D.|PA+PF到的最大值为6+√2 10.已知直线1：c-y+k=0,圆C:x2+y2-4x+3=0,P(x,)为圆C上任意一点，则 A.直线1过定点(1,0) B.若圆C关于直线1对称，则k=0 c之线大丝为9 D.x+y的最大值为3 高二数学试题第2页共4页 11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以 上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米 德体如图，这是一个棱数24，棱长为2√2的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的 表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有() A.AG⊥平面BCDG B.A,F,C,D四点共面 C点B到平面ACD的距离为V6 D.若E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余 1√2 弦值范围为 2’2 第川卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，底面是边长为1的正方形，若 ∠AAB=∠AAD=60°，且A4=4,则AC的长为■ D A D 13.已知两定点A(-3,0),B(1,0),若直线1：x+y-3=0上有一点M满足 MA=√2MB,则实数n的取值范围是 14.“若点P为椭圆上的一点，F,F,为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分∠FPF, 的外角”，这是椭圆的光学性质之一己知椭圆C:亡十上=1，点P是椭圆上的点，在点P 164 处的切线为直线1，过左焦点F作1的垂线，垂足为M,则M的最小值为 高二数学试题第3页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.已知空间三点A(1,0,1),B(2,1,1),C(0,0,3),设a=AB,b=AC (1)若G=5,且c/a,求c (2)若ka+b与ka-4b互相垂直，求k. 16.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点A(,n),B(2,1),C(-2,3) (1)求BC边所在直线的方程 (2)若BC边上高AH所在的直线方程为2x-y+4=0,且△ABC的面积为4，求点A的 坐标 17.已知圆C过点O(0,0),A(3,3),圆心C在直线2x+y-5=0上. (1)求圆C的方程： (2)过点B(0,-2)的直线1交圆C于M,N两点，且MW=3W2,求直线1的方程. 18.已知动圆P与圆M:(x+3)2+y2=1外切，与圆N:(x-3)+y2=81内切. (1)求动圆圆心P的轨迹方程： 2求PM十PN的取值范围。 19.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2,FA=FC. (1)求证：AC1平面BDEF; (2)P为线段DE上的动点，求FP与平面ABF所成角正弦值的最大值： (3)设EF中点为K,G为四边形ABCD内的动点（含边界）且GK=CF,求动点G的轨迹长度. 高二数学试题第4页共4页■■ ◆ 2024级高二上学期期中考试 高二数学 16(15分 姓名 考场 座号 准考证号 学校 年级班 953只 注意事项 答增信先将姓名、晓最。准考证号填写清 贴条形码区域 么第1卷用2组相笔将对应喜目的答案标号冷累。 扫成镇 3第Ⅱ卷使用侧色学缝签字毫书写，笔迹清是。 4保转卡面情法，厘缺断叠。严慧微标记， 系正确填涂：■ 考生禁填映书☐连妃口 选择题(58分) 1[A【B][C1[D 4[]【B)[C[D] 7][B[c1[D] 2[A】IB]【C】[D] 5[AJtB〕[c】[D] 8IA」[s1[c1[D] 11Ia】【B1[c】ID] 3[w]【B】ECI[D] 6【]tB][c][D] 9[w][B】[c][D] 填空题(15分】 12(5分] 135分) 145分 解容题(77分】 17015分) 1513分) ■ 清在各题目区域内作答，超出边框作答无效 ● 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 ■ 数学第1页供4圆) 数学第2页共4列 济南一中2024级高二期中学情检测 数学试题 说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题。请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交。试题满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为 A. B. C. D. 3 .“”是“直线与直线平行” A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 6. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为 A. B. C. D. 7.已知菱形的边长为2，，现将沿折起，当时，二面角平面角的大小为 A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是 A. 焦距为2 B. 椭圆的标准方程为 C. D. 的最大值为 10. 已知直线，圆，为圆上任意一点，则 A. 直线过定点 B. 若圆关于直线l对称，则 C. 的最大值为 D. 的最大值为3 11. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. ，，，四点共面 C. 点到平面的距离为 D. 若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为______ 13. 已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是__________. 14.“若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设. （1）若，且，求. （2）若与互相垂直，求. 16.在平面直角坐标系中，已知三个顶点. （1）求边所在直线的方程. （2）若边上高所在的直线方程为，且的面积为4，求点的坐标. 17. 已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 18.已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 19.如图，四边形与均为菱形，，，.   (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 高二数学试题第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】已知向量是直线的方向向量，则直线的斜率为，故直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即， 解得，故， 所以椭圆方程为， 故选：A 3 .“”是“直线与直线平行”（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，直线，直线，此时两直线斜率相等，且两截距， 所以两直线平行，故充分性成立； 当直线与直线平行时， 有，解得或3，故必要性不成立， 故选：B. 4. 正四棱柱中，，E，F，G分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 故， 故直线与所成角的余弦值为. 故选：D 5. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】设，则，. 因为，所以， 即，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以， 即，解得. 故选：C. 6. 过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】设过且有斜率的直线位， 曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆， 由直线与圆相切可得，解得或， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 由图象可得，或． 故选：C． 7.已知菱形的边长为2，，现将沿折起，当时，二面角平面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】设，菱形满足，， 则和都为等边三角形，所以，， 又，则，所以就是二面角的平面角， 由于，所以，所以是等边三角形， 所以，即二面角平面角的大小为. 故选：B. 8. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，E上两动点M，N均位于x轴上方，且，若与的交点在y轴上，且纵坐标为，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 详解】 如图，由于，与的交点在y轴上，结合椭圆的对称性， 知道则，代入， 求得，求得，故. 设与的交点在y轴上，为. 显然,,代入. 即，化简得，，即. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦距为2 B. 椭圆的标准方程为 C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【详解】由条件可知，，得， 所以椭圆的焦距，椭圆的标准方程为，故A错误，B正确； ，，，故C正确； ，当点三点共线，且点在之间时，等号成立，故D正确. 故选：BCD 10. 已知直线，圆，为圆上任意一点，则（ ） A. 直线过定点 B. 若圆关于直线l对称，则 C. 的最大值为 D. 的最大值为3 【答案】BC 【解析】 【详解】化为标准方程为，圆心为，半径为； A：因为，令，可得，所以过定点，故错误； B：若圆关于对称，则过圆心，所以，解得，故正确； C：表示连线的斜率，设，即，如下图， 当与相切时，此时取最值， 所以，解得，所以的最大值为，即的最大值为，故正确； D：表示，因为，所以，故错误； 故选：BC. 11. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. ，，，四点共面 C. 点到平面的距离为 D. 若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出“阿基米德体”对应的正方体，由图可判断AB选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量来判断CD选项. 【详解】“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点. A选项：由图可知平面，A选项正确； B选项：∵，，，四点均是正方体个棱上中点，∴，∴，，，四点共面，B选择正确； C选项：如图建立空间直角坐标系， ∵，∴正方体棱长为4，∴，，，， 所以，设平面的一个法向量为， 则，解得，即， ， ∴点到平面的距离，故C选项错误； 设且，所以， 设与的夹角为， 所以 当时，令， 因为当且仅当，即时取等号， 所以，即 当时，， 所以直线与直线所成角的余弦值范围为，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为______ 【答案】 【详解】因为， 所以 ， . 故答案为：. 13. 已知两定点，若直线上有一点满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据题意列出关于的关系式，化简可得点的轨迹方程，由此可得点的轨迹为圆.根据点在直线l上，知直线与该圆有公共点，据此求得实数的取值范围. 【详解】设点，化简得. 由此可知，点的轨迹为圆. 由于点在直线上，也在圆上，所以直线与圆有公共点. 所以，即，所以. 解得或. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14.“若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______. 【答案】 【详解】因为椭圆，所以，，即， 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则， 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设. （1）若，且，求. （2）若与互相垂直，求. 【答案】（1）或 （2）或 【小问1详解】 ，因为，则设， 故，则， 则，即或. 【小问2详解】 得，即， 则或 16.在平面直角坐标系中，已知三个顶点. （1）求边所在直线的方程. （2）若边上高所在的直线方程为，且的面积为4，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）或； 【小问1详解】 由已知，，根据直线的两点式斜率得， 则根据直线的点斜式方程，得，即； 【小问2详解】 因为点在直线：上，所以①， 又，所以， 又边上的高为点到直线的距离， 则， 所以 由①代入，则，则或，即或. 得或，故点的坐标为或； 17. 已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据已知条件，联立方程组，即可求得圆的方程； （2）由弦心距公式，求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式，求得直线的斜率，即可得到直线的方程. 【详解】（1）设圆的标准方程为：，由题意可得： ，解之得：， 所以圆的标准方程为：； （2）由弦心距公式可知，圆心到直线的距离为：. 当直线斜率不存在时，的方程为，显然此时圆心到直线的距离为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设的方程为：，即， 由点到直线的距离公式可得：， 解之得：或， 所以直线的方程为：或. 18.已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 【详解】（1）解：圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， ，所以圆内含于圆． 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． （2）解：设点，则，则， 则， 所以，，所以， ， . 所以的取值范围为． 19.如图，四边形与均为菱形，，，.    (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【详解】（1）因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. （2）连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. （3）因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■ ◆ 18(17分 19(17分) 清在各题目区域内作答，超出边框作答无效 ◆ 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 数学第3页共4 数学第4页共4页 ◆