福建省同安第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

同安一中2025—2026学年高二上学期期中考数学科试卷 命题：何建明 审核：叶仲凯､黄其秒 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 10 3. 设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 4. 已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知右焦点为F的椭圆上两点A、B，满足直线AB过坐标原点，若，且，则E的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 过点且与圆相切的直线的方程为 C. 圆上存在两个点到直线的距离为2 D. 若圆与圆有唯一公切线，则 10. 如图，已知正方体的棱长为a，E是棱上的动点，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点E到直线的距离为 C. 直线与所成角的范围为 D. 二面角的大小为 11. 已知椭圆C：，左、右焦点分别为、，点P是C上的动点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为、直径圆经过点P，则满足条件的点P有2个 B. 的最小值为 C. 的最小值为5 D. 被点M平分的弦所在直线的斜率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的焦距为__________. 13. 在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为，且，则的值为____． 14. 我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”，如左图. 如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆为其左焦点，经过的直线与交于两点. （1）线段的取值范围__________. （2）为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数.的最小值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在直四棱柱中，的中点分别为. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 16. 如图，已知圆，点． （1）求圆心在直线上，且经过点和原点的圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程． 17. 已知椭圆，直线经过的上顶点及右焦点． （1）求方程； （2）若直线与交于点，，且直线与交于另外一点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，二面角的大小为，，分别为和的中点. （1）求证平面 （2）求与平面所成角的正弦值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，左焦点为F，左顶点为A，且． （1）求C的方程； （2）过点F且斜率不为0的直线与C交于D，E两点，求面积的最大值； （3）过点的直线与C交于M，N两点，点P是线段上异于M，N的一点，且，证明：． 同安一中2025—2026学年高二上学期期中考数学科试卷 命题：何建明 审核：叶仲凯､黄其秒 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四､解答题：本题共5小题，共77分. 【15题答案】 【答案】（1）在直四棱柱中，因为，所以两两垂直， 又因为，所以， 以为坐标原点，方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，所以， 则， 从而， 所以； （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）或. 【17题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ）存在，定点 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 当直线的斜率为时，不妨记、， 而，，由， 则，即，即，满足； 当直线的斜率不为时，设、、， 设直线的方程为， 联立，得， 则，即， ，， 由，则， 所以， 则，则，即， 则， ，则. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $