精品解析：广东省深圳市宝安中学集团龙津中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

广东省深圳市宝安中学集团龙津中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 命题人：卢少江 审题人：张盼盼 一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 正方体中，化简（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 设，，，则的中点M到点C的距离（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 7. 已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2 8. 已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或者错选不得分. 9. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称 C. 半径为 D. 直线与圆M相切 10. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 点是它的一个焦点 D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 圆关于直线的对称圆的方程为_____. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，且，若在椭圆上存在点，使得过点可作以为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算过程. 15. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求△ABC的周长． 16. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 17. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 18. 已知圆O经过，，三点． （1）求圆O的标准方程； （2）若P是圆O上的动点，点P在x轴上的射影为H，点Q满足，求点Q的轨迹的方程； （3）设，记M为在（2）的条件下得到的曲线上的动点，以线段为直径作圆，请判断圆与圆O的位置关系，并说明理由． 19. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市宝安中学集团龙津中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 命题人：卢少江 审题人：张盼盼 一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2. 正方体中，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程直接进行求解. 【详解】的渐近线方程为， 即. 故选：A 4. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可. 【详解】当时，，所以或， 当时，直线：，直线：，两直线不重合， 当时，直线：，即， 直线：，两直线不重合， 所以当或时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 5. 设，，，则的中点M到点C的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间两点间距离公式计算． 【详解】由已知中点为，. 故选：C． 6. 已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 7. 已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（ ） A. 1 B. -1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线恒过定点，结合圆的性质得到当时，取得最小值，再根据垂直关系求解即可. 【详解】直线化简为，即直线恒过定点. 当时，取得最小值. ，则直线的斜率为，解得. 故选：B 8. 已知是椭圆的两个焦点， P 为 C 上一点，且△的内切圆半径为 若 P 在第一象限，则= （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根据向量的数量积的坐标公式求出结果. 【详解】根据题意知，. 因为的内切圆半径为， 所以. 设，所以， 所以，解得. 因为在椭圆上，且在第一象限，所以满足， 解得，所以. 所以，所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或者错选不得分. 9. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称 C. 半径为 D. 直线与圆M相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解. 【详解】整理得：， ∵，时，∴点在圆M外，A错； ∵圆心M在直线上，∴圆M关于对称，B对； ∵圆M半径为1，故C错； ∵圆心到直线的距离为，与半径相等， ∴直线与圆M相切，D对. 故选：BD. 10. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ） A. 是它的一条对称轴 B. 它的离心率为 C. 点是它的一个焦点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及即可逐一判断求解. 【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为， 容易知道是实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心， 联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点， 所以，其中一个焦点坐标应为而不是， 由双曲线定义可知． 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项，统一变量，结合向量的线性运算关系判断动点的位置可得出结果；C选项可做反解验证，以垂直为条件运算；D选项为探究，可假设存在，以线面垂直为条件求解验证判别. 【详解】 对于A，若，则，则点在线段上，如上图. 因平面平面，且平面平面，平面平面， 故因平面，平面，故平面，同理可证平面， 因平面，平面，且，故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，若，则（为的中点）如上图. 又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，若，则，所以. ，所以点在线段上（如上图）.假设，则， 即，化简得， 该方程无解，所以不存在，故C错误； 对于D，如上图，设为的中点， 当时，则，即， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 所以. 假设平面，则， 即，解得.故D正确. 故选： . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解. 【详解】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 13. 圆关于直线的对称圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【详解】的圆心为，关于对称点设为， 则有: ，解得， 所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为. 故答案为： 【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，且，若在椭圆上存在点，使得过点可作以为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】 如图所示，根据题意知为正方形，，故，解得答案. 【详解】如图所示，根据题意知：为正方形，故，故， 故，解得，又，故，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了椭圆离心率的范围，意在考查学生的计算能力和转化能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算过程. 15. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求△ABC的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得 因为，故． 又∵ 为锐角三角形，所以． 【小问2详解】 由余弦定理， ∵，得 解得：或 ∴ 的周长为． 16. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【小问1详解】 由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 17. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：平面PAB； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 18. 已知圆O经过，，三点． （1）求圆O的标准方程； （2）若P是圆O上的动点，点P在x轴上的射影为H，点Q满足，求点Q的轨迹的方程； （3）设，记M为在（2）的条件下得到的曲线上的动点，以线段为直径作圆，请判断圆与圆O的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 位置关系：圆与圆O相内切． 显然为曲线的左焦点，设的右焦点为，如图． 由椭圆的定义可得， 由题意，以为直径作圆，所以为的中点． 因为O为的中点，所以为的中位线，所以， 所以， 所以，即圆心距等于两圆半径的差，所以圆与圆O相内切． 【解析】 【分析】（1）方法一：设圆O的标准方程为，然后将三个点的坐标代入形成方程组，求出参数即可得到圆的标准方程；方法二：设圆O的方程为，然后将三个点的坐标代入形成方程组，求出参数即可得到圆的标准方程. （2）用向量线性的坐标表示，即可求得轨迹的方程. （3）根据椭圆的定义，结合几何图形即可确定圆与圆的关系. 【小问1详解】 方法一：设圆O的标准方程为， 则，解得 所以圆O的标准方程为. 方法二：设圆O的方程为， 则，解得， 所以圆O的标准方程为. 【小问2详解】 设，因为，所以，如图． 因为点P在圆O上，所以，即． 所以点Q的轨迹，即曲线的方程为. 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 显然圆的切线的斜率存在， 设切线的方程为， 由于切线不平行的渐近线，则. 由圆心到切线的距离，得. 由消去得， 由题意知.设， 则， 而 . 则， 则. 所以，即. （ii）， 【解析】 【分析】（1）由点到直线距离公式结合题意可得，据此可得答案； （2）（ⅰ）设切线的方程为，由圆心到切线的距离，可得，再将切线方程与双曲线方程联立，由韦达定理结合可得，据此可完成证明； （ⅱ）方法1，注意到，由（ⅰ）可得，据此可得答案； 方法2，设切线与圆的切点为，则可得，据此可得答案； 方法3，由题可得，又设切线与圆的切点为，由，结合，可得，由基本不等式可得，据此可得答案. 【小问1详解】 由于双曲线的右焦点为，所以. 双曲线的渐近线方程为，即为， 由于点到的一条渐近线的距离为，则. 解得所以的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为，则， . 由（ⅰ）得， 又， 则. 当时，. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法2：由（ⅰ）同理可得， 所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 则， 当时，，即的面积的最小值为3. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 由于，则， 根据基本不等式得， 得，则，即的面积的最小值为3. 当且仅当等号成立， 根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $