专题04 有理数数轴上的动点问题模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题04 有理数数轴的动点问题模型专训专题（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一动点从数轴上的原点出发,沿数轴的正方向以每前进5个单位,后退3个单位的程序运动,已知每秒前进或后退1个单位,设表示第秒点在数轴的位置所对应的数如, , ,则为( ) A．504 B．505 C．506 D．507 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的是（　　） A．﹣7 B．﹣2 C．﹣3 D．2 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）数轴上有A、B两点，点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，沿数轴负方向以1单位长度/秒的速度运动， 秒后，点P到点A的距离为3单位长度． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【经典例题二 单动点问题（规律变化类】 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点处对应的数是(    ) A．－1011 B．1011 C．－2021 D．2021 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·单元测试）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，点P按此规律移动，则移动158次后到达的点在数轴上表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且. (1)则a＝ ，b＝ ；两点之间的距离为 (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，……按照如此规律不断地运动，当运动到次时，求点P所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动. 【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】 【例3】（24-25七年级上·辽宁营口·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是3和，动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为t秒，当动点Q到点B的距离等于动点P到点B的距离时，t的值 ． 1．（24-25七年级上·广西防城港·期末）数轴上两点A，B表示的数分别为a，b，其中，有一点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，点M为线段的中点. (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C，点M； (2)若点P从点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，设移动时间为t秒，当时，线段的长是______；此时线段PM与线段PC的数量关系是______； (3)若点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，设移动时间为t秒．当时，求t的值． 2．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，数轴上点为原点，A，B两点所表示的数分别为4，10．点从点出发，点Q从点出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时沿数轴匀速向点运动．当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒（）． (1)填空：点和点的距离为_____； (2)是否存在一个常数，使得的值不随运动时间的改变而改变?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在点P，Q运动过程中，P，A，Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点，求出此时的值以及线段上的整数点个数（即各点表示的数是整数）． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动， ① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】 【例4】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 2．（24-25七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，数轴上有A、B两点，O是坐标原点，A、B所表示的有理数分别为a、b，且a、b满足．若动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动；点Q从B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点P运动到点B时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t，当 秒时，． 3．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B 表示的数是 ；当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q 同时出发．如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？ 【经典例题五 多动点问题】 【例5】（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 1．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）对于数轴上的三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“3倍分点”．已知点M表示的数为，点N表示的数为16，点P是数轴上的一动点，若点P是点M，N的“3倍分点”，则此时点P表示的数是 ． 2．（2025七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位； （2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 3．（24-25七年级上·河南开封·期中）点A、B、C在数轴上表示的数满足：，且关于的多项式是五次四项式，则 (1) ， ， ． (2)若数轴上有三个动点M、N、P分别从点A、B、C开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度，其中点M向右运动，点P向左运动，点N先向左运动，遇到点M后回头再向右运动，遇到点P后回头向左运动，…，这样直到点P遇到点M时，三点都停止运动，则点N所走的路程是 个单位长度． (3)点D为数轴上一点，它表示的数为，求：的最大值，并回答此时的值是多少？ 【经典例题六 动点中的定值、无关问题】 【例6】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点表示的有理数互为相反数，． (1)点A表示的有理数是_______，点C表示的有理数是_______； (2)数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2，求点P所表示的数x． (3)若数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在常数，使得为一个定值k，请求出值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在一条东西向的双轨铁路上，一快一慢两列火车相对行驶，快车的长为2个单位长度，慢车的长为4个单位长度．如图，设正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是B．且，b与互为相反数． (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距________个单位长度； (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． ①从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车车头A，C相距8个单位长度？ ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 2．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中各填入一个整数，其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，且a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C． 6 … (1)直接写出a，b，c的值：________，________，________； (2)如图，点为数轴上点右侧一点，对应的数为，两点分别从同时出发，相向而行，2秒后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1个单位长度/秒，当点到达点后立刻按原路向点返行，当点到达点后也立刻按原路向点返行，两点在第一次相遇后经过3秒又再次相遇，求的值； (3)点分别从数轴上的点同时出发，均沿数轴的正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒、4个单位长度/秒、个单位长度/秒，在运动过程中，总是定值，求常数的值． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【经典例题七 几何图形在数轴上的运动问题】 【例7】（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上的点A表示数，点B表示数3，图形I和图形II都有3个边长为1个单位的正方形组成且底边均落在数轴上，开始时，图形的顶点P与顶点A重合，图形II的顶点Q与点B重合，现图形I以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，同时图形II以每秒个单位长度的速度向数轴正方向运动． (1)点A与点B的距离是__________个单位长度． (2)经过多少时间后，图形I与图形II并行（点P与点Q重合），并求此时点P表示的数． (3)在运动过程中，当两个图形重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为时，则点P表示的数是__________（直接写出答案）． 1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）已知数轴上三点、、表示的数分别为4、0、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动. （1）当点到点的距离与点到点的距离相等时，点在数轴上表示的数是 . （2）另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多长时间追上点？ （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度. 2．（24-25七年级上·北京丰台·期末）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 3．（24-25七年级上·广东珠海·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础． 小海在草稿纸上画了一条数轴，下图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 【经典例题八 数轴上动点的往返运动问题】 【例8】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）点A在数轴上表示的数是-8，点B在点A的右侧，且线段AB=24（单位长度） （1）点B在数轴上表示的数是 （2）若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．求几秒后点A和点B相距8个单位长度; （3）在（2）的条件下，有一只电子蚂蚁同时从原点出发向点A运动，当遇到点A后，立即返回向点B运动，遇到点B后立即返回向点A运动，如此往返，直到点A和点B相遇时，电子蚂蚁立即停止运动．若电子蚂蚁一直以4个单位长度/秒的速度匀速运动，那么电子蚂蚁从开始到停止运动时，求蚂蚁运动的路程是多少个单位长度 1．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为20和30，点P和点Q分别同时从点A和点O出发，以每秒2个单位长度，每秒4个单位长度的速度向数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，则P、Q两点对应的有理数分别是_______，______； (2)点C是数轴上点B左侧一点，其对应的数是x，且，求x的值； (3)在点P和点Q出发的同时，点R以每秒8个单位长度的速度从点B出发，开始向左运动，遇到点Q后立即返回向右运动，遇到点P后立即返回向左运动，与点Q相遇后再立即返回，如此往返，直到P、Q两点相遇时，点R停止运动，求点R运动的路程一共是多少个单位长度？点R停止的位置所对应的数是多少？ 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知点的速度是点A的速度的4倍．（速度单位：单位长度/秒）    (1)求出点A、点运动的速度，并在数轴上标出A、两点从原点出发运动3秒时的位置； (2)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点的正中间？ (3)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点同时从点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到点追上A点时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 3．（24-25七年级上·河北唐山·期末）学校、书店、公交站三点在同一直线上．已知学校和公交站相距2400米，以书店为原点画出数轴，如图所示，公交站在数轴上用数字900表示，一辆公交车匀速往返于学校和公交站之间（停车时间忽略不计），设公交车的速度为x米/分． (1)学校在数轴上用数字______表示； (2)小红从学校出发去书店时，正好有一辆公交车从公交站出发开往学校．已知小红步行的速度是30米/分； ①小红步行去书店，出发20分钟时，与这辆公交车首次相遇，求公交车的速度x； ②若小红在第二次与这辆公交车相遇时坐上车去书店，结果比步行少用10分钟到达书店，求公交车的速度x； ③若米/分，小红始终步行从学校到书店，在此次过程中与这辆公交车在途中共相遇______次．（直接写出结果） 1．（24-25七年级上·河北张家口·期末）某动点从数轴上的点出发，沿数轴向左移动8个单位长度到达点，且点，所表示的数的绝对值相同，则点表示的数为（   ） A．8 B． C．4 D． 2．（24-25七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．点O是数轴原点．如图，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上，木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动，且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，设点P移动的时间为t秒，当t为（   ）时，P点恰好距离木棒2个单位长度． A．3秒 B．4秒 C．14秒 D．4秒或14秒 6．（24-25七年级上·河南新乡·期中）已知有理数满足等式，有理数在数轴上分别用点表示，若动点在数轴上从点出发，经过3秒到达点，则动点从点到达点时，经过的时间是 秒． 7．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴上A，B两点表示的数分别为，5，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，则点C表示的数是 ． 8．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）点在数轴上所对应的数分别是，其中满足．若点是的中点，为原点，数轴上有一动点，分别表示数轴上与，与两点间的距离，则的最小值是 ． 9．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 10．（24-25七年级上·山东济南·期中）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足点A与点M的距离等于点B与点M的距离，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的有 ．（填序号） ①若，，则； ②当时，； ③若，点B与点M的距离是点O与点M的距离的3倍，则； ④当，时，将点B水平右移2个单位至点B1，再将点水平右移2个单位至点，以此类推，…且满足点与点M的距离等于点与点M的距离，则数轴上与对应的点表示的数为．    11．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 13．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度．已知动点、的速度比为（速度单位：1个单位长度秒）．    (1)求两个动点运动的速度； (2)在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置； (3)若表示数0的点记为，、两点分别从（2）中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，． 14．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点表示的数分别为_______、_______、_______； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，经过多少秒时，之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点同时从出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动．已知点的速度是个单位长度/秒，点的速度是点速度的倍，点的速度是点速度的倍少个单位长度．经过秒时，三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数数轴的动点问题模型专训专题（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 单动点问题（简单运动类） 题型二 单动点问题（规律变化类） 题型三 双动点问题（匀速运动类） 题型四 双动点问题（变速运动类） 题型五 多动点问题 题型六 动点中的定值、无关问题 题型七 几何图形在数轴上的运动问题 题型八 数轴上动点的往返运动问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【经典例题一 单动点问题（简单运动类）】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一动点从数轴上的原点出发,沿数轴的正方向以每前进5个单位,后退3个单位的程序运动,已知每秒前进或后退1个单位,设表示第秒点在数轴的位置所对应的数如, , ,则为( ) A．504 B．505 C．506 D．507 【答案】C 【分析】本题应先解出点P每8秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导出答案． 【详解】依题意得，点P每8秒完成一个前进和后退，即前8个对应的数是1、2、3、4、5、4、3、2； 9～16是3、4、5、6、7、6、5、4． 根据此规律可推导出，2012=8×251+4，故x2012=251×2+4=506． 故选C． 【点睛】本题主要考查了数轴，解答此题的关键是找出循环的规律． 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则与点A表示的数互为相反数的是（　　） A．﹣7 B．﹣2 C．﹣3 D．2 【答案】D 【分析】先求出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C， ∵点C表示的数为1， ∴点B表示的数为-4， ∴点A表示的数为-2， ∴则与点A表示的数互为相反数的是2， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴和相反数的定义，本题的解题关键是求出A点表示的数． 2．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）数轴上有A、B两点，点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数，一动点P从点B出发，沿数轴负方向以1单位长度/秒的速度运动， 秒后，点P到点A的距离为3单位长度． 【答案】2或8 【分析】求出点A、B所表示的数，设t秒后，点P到点A的距离为3单位长度，由数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：∵点A表示5的相反数，点B表示绝对值最小的数， ∴点A表示的数是，点B表示的数是0， 设t秒后，点P到点A的距离为3单位长度， ∴ 解得或8． 故答案为：2或8． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，符号和绝对值是确定有理数的必要条件． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 【经典例题二 单动点问题（规律变化类】 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第2021次落下时，落点处对应的数是(    ) A．－1011 B．1011 C．－2021 D．2021 【答案】B 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了数轴与图形的变化类，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·单元测试）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，点P按此规律移动，则移动158次后到达的点在数轴上表示的数是 ． 【答案】159 【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，从而可求在数轴上表示的数 【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，..， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度 ∵， ∴， ∴移动158次后到达的点在数轴上表示的数为159， 故答案为：159． 3．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且. (1)则a＝ ，b＝ ；两点之间的距离为 (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，……按照如此规律不断地运动，当运动到次时，求点P所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍，请直接写出此时点P的位置，并指出是第几次运动. 【答案】(1)；； (2) (3)和分别是点运动了第次和第6次到达的位置 【分析】本题考查数轴和一元一次方程的应用，熟练掌握数轴和一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意得到，，从而得到的值，进而得到两点之间的距离． （2）根据点P在数轴上运动的规律，可找到最后点P的位置，从而得到答案； （3）设点P所对应的有理数为，由题可分三种情况： ①当点在点的左侧时， ②当点在点和点之间时， ③当点在点的右侧时，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴两点之间的距离． 故答案为：；7； ． （2）解：依题可得： ． ∴点P所对应的有理数为． （3）解：设点P所对应的有理数为， ①当点在点的左侧时：，， 由题可得：， 解得：， ②当点在点和点之间时：，， 由题可得：， 解得：， ③当点在点的右侧时：，， 由题可得：由题可得：， 解得：，这与点在点的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点所对应的有理数分别是和， ∴和分别是点运动了第次和第6次到达的位置． 【经典例题三 双动点问题（匀速运动类）】 【例3】（24-25七年级上·辽宁营口·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是3和，动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速移动．设移动时间为t秒，当动点Q到点B的距离等于动点P到点B的距离时，t的值 ． 【答案】3秒或9秒 【分析】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两点之问的距离是解题的关键．点表示的数为，点表示的数为，可得点到点的距离为，点到点的距离为，列方程即可解答． 【详解】解：根据题意，点表示的数为，点表示的数为， ∵表示的数是， ∴点到点的距离为，点到点的距离为． ， 解得：或， 故答案为：3秒或9秒． 1．（24-25七年级上·广西防城港·期末）数轴上两点A，B表示的数分别为a，b，其中，有一点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，点M为线段的中点. (1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C，点M； (2)若点P从点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，设移动时间为t秒，当时，线段的长是______；此时线段PM与线段PC的数量关系是______； (3)若点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动，设移动时间为t秒．当时，求t的值． 【答案】(1)见解析 (2)1； (3)2或 【分析】（1）先根据非负数的性质求出，，求出点A，B表示的数，然后再求出点C和点M表示的数，最后表示在数轴上即可； （2）先求出点P在移动1秒钟后表示的数，然后求出的长，的长即可得到答案； （3）先求出t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为：，分两种情况，当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为6， ∵点M位于点B的左侧并与点B的距离是5， ∴点M表示的数为， ∵点M为线段的中点， ∴点C表示的数为：， 用数轴上的点表示点A，点B，点C，点M，如图所示： （2）解：∵点P从点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动， ∴当时，点P表示的数为2， ∴，， ∴． 故答案为：1；． （3）解：∵点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速移动，同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速移动， ∴t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为：， ①当点P在点Q的左侧时，， 解得：； ②当点P在点Q的右侧时，， 解得：， 综上所述：当t为2或时，． 2．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，数轴上点为原点，A，B两点所表示的数分别为4，10．点从点出发，点Q从点出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时沿数轴匀速向点运动．当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒（）． (1)填空：点和点的距离为_____； (2)是否存在一个常数，使得的值不随运动时间的改变而改变?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在点P，Q运动过程中，P，A，Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点，求出此时的值以及线段上的整数点个数（即各点表示的数是整数）． 【答案】(1)6 (2)； (3)，线段上的整数点有3个数；，线段上的整数点有1个数． 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）利用两点之间的距离公式求解即可； （2）由题意得，，代入得到，根据题意得到，据此求解即可； （3）由题意得：点表示的数为，点Q表示的数为，分三种情况讨论，分别列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得点和点的距离为， 故答案为：6； （2）解：由题意得，， ∴ ， ∵的值不随运动时间的改变而改变， ∴， 解得； （3）解：由题意得：点表示的数为，点Q表示的数为，点A表示的数分别为4， 当点A是中点时，， 解得， ∴点表示的数为，点Q表示的数为， ∴线段上的整数点为3、4、5，共有3个数； 当点是中点时，， 解得， ∴点表示的数为，点Q表示的数为， ∴线段上的整数点为6，共有1个数； 当点Q是中点时，， 无解，此情况不存在． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动， ① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 【答案】(1)-60；80 (2)①8；44；②C；；30； 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离,正确理解题意是解题的关键． （1）利用线段的和差和数轴的定义即可求得C点和E点所代表的数； （2）①分别计算B 球第一次撞向右挡板E和B球第二次撞向右挡板E所经过的路径长，即可求得答案； ②计算A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为，则再经过路程，A球向左撞到C球，即知当C球向左行时，三个球运动的路程和为，所以可知C球正在运动，即可求得A 、B、C三球表示的数． 【详解】（1）解：A和C两球间的距离为 C球表示的数为； A球到挡板E的距离为， 挡板E表示的数为； 故答案为：；． （2）解：①， 秒后B 球第一次撞向右挡板E， ， ， 秒后B球第二次撞向右挡板E； 故答案为：8，44． ②当A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为， 再经过路程，A球向左撞到C球， 当C球向左行时，三个球运动的路程和为， 当三个球运动的路程和为时，C球正在运动； 此时，A 球在原C球的位置，表示的数为，B 球在原来球的位置，表示的数为30，C 球表示的数为． 故答案为： C；；30；． 【经典例题四 双动点问题（变速运动类）】 【例4】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等． 【答案】或 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用； 根据非负数的性质求出，，设运动时间为t，然后分两种情况：①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时，②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时，分别判断出P、Q的位置，列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴B表示的数是9，C表示的数是5， 设运动时间为t， ①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时， 由题意得，P、Q在上， ∴， 解得：； ②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时， 由题意得：， 解得：， 故答案为：或． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 【答案】D 【分析】根据等量关系：MN=2BM，列出方程计算即可求解． 【详解】解：依题意有|-2+4t-（-2+8-3t）|=|-2+8-（-2+4t）|×2， 解得t=或8． 故当MN=2BM时，运动时间t的值为或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 2．（24-25七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，数轴上有A、B两点，O是坐标原点，A、B所表示的有理数分别为a、b，且a、b满足．若动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动；点Q从B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点P运动到点B时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t，当 秒时，． 【答案】或 【分析】根据求出，得到A、B所表示的有理数分别为、,则，分在点Q运动到原点之前；点Q运动经过原点，但点P没到原点；点Q运动经过原点，点P也经过原点后三种情况，分别列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴A、B所表示的有理数分别为、, ∴， 在点Q运动到原点之前，即时， 此时， 由得到，， 解得（不合题意，舍去）； 在点Q运动经过原点，但点P没到原点，即时， 此时， 由得到，， 解得，符合题意； 在点Q运动经过原点，点P也经过原点后，即时， 此时， 由得到，， 解得，符合题意； 综上可知，当或秒时，． 故答案为：或 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，还考查了非负数的性质，读懂题意，分情况讨论是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B 表示的数是 ；当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q 同时出发．如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？ 【答案】(1)； (2)秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）用点A表示的数减去A，B两点间的距离即可得到点B表示的数，用两点中点计算公式求出的中点表示的数即可得到答案； （2）根据题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为，再分点B与的中点，点B与的中点和点Q为的中点三种情况，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10， ∴数轴上点B 表示的数是， ∴当点P运动到的中点时，它所表示的数是； （2）解：由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点B与的中点时，则， 解得； 当点P为的中点时，则， 解得； 当点Q为的中点时，则，此时方程无解； 综上所述，点P运动秒或秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”． 【经典例题五 多动点问题】 【例5】（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据可得，，由已知条件可得表示的数是，表示的数是，而、两点相距个单位长度，故可列方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， 表示的数是，表示的数是， 根据题意可得： ， 即：， 解得：或， 故选：． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含的代数式表示、表示的数并列方程解决问题是解题的关键． 1．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）对于数轴上的三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“3倍分点”．已知点M表示的数为，点N表示的数为16，点P是数轴上的一动点，若点P是点M，N的“3倍分点”，则此时点P表示的数是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及数轴上两点的距离，设对应的数为，分三种情况讨论：①当点P在M的左侧时，则有：，②当点P在M、N之间时，则有或，③当点P在N的右边时，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：设对应的数为， ①当点P在M的左侧时，则有：， 即， ∴， 解得：； ②当点P在M、N之间时，则有或， 即或， 解得：或； ③当点P在N的右边时，则， ∴， 解得：， ∴点P表示的数为或或或． 故答案为：或或或． 2．（2025七年级上·江苏·专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位． （1）若点M向右运动，同时点N向左运动，经过 秒M与点N相距54个单位； （2）若点M、N、P同时都向右运动，经过 秒点P到点M，N的距离相等． 【答案】 5 或 【分析】此题主要考查了数轴，一元一次方程的实际应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键． （1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出求出即可； （2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出或，进而求出即可． 【详解】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位． 依题意可列方程为：， 解方程，得． 故答案为：5． （2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等． 或， 或 或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·河南开封·期中）点A、B、C在数轴上表示的数满足：，且关于的多项式是五次四项式，则 (1) ， ， ． (2)若数轴上有三个动点M、N、P分别从点A、B、C开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度，其中点M向右运动，点P向左运动，点N先向左运动，遇到点M后回头再向右运动，遇到点P后回头向左运动，…，这样直到点P遇到点M时，三点都停止运动，则点N所走的路程是 个单位长度． (3)点D为数轴上一点，它表示的数为，求：的最大值，并回答此时的值是多少？ 【答案】(1)，，24 (2) (3)最大值为7，此时的值是 【分析】（1）先根据偶次方的非负性可求出的值，再根据多项式的次数和项数的概念可求出的值； （2）设经过秒后，点遇到点，先根据（1）的结论可得，再根据运动速度建立方程求出的值，然后利用点的运动速度乘以即可得； （3）先将的值代入化简所求式子，再利用偶次方的非负性求出最大值即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得， 因为关于的多项式是五次四项式， 所以， 解得， 故答案为：，，24． （2）解：设经过秒后，点遇到点， 由题意得：， 解得， 则点所走的路程是个单位长度， 故答案为：． （3）解：因为， 所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为7，此时的值是． 【点睛】本题考查了数轴、多项式的次数和项数、偶次方的非负性、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握偶次方的非负性和数轴的性质是解题关键． 【经典例题六 动点中的定值、无关问题】 【例6】（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点表示的有理数互为相反数，． (1)点A表示的有理数是_______，点C表示的有理数是_______； (2)数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2，求点P所表示的数x． (3)若数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在常数，使得为一个定值k，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，30 (2)点P所表示的数x为或11 (3)存在， 【分析】本题考查的是数轴的知识、一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键． （1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为，由数轴可知，求出x，根据算出点C表示的数，即可作答． （2）记对折后A的对称点为，分点在点C左边和点在点C右边两种情况进行解答即可； （3）根据题意先将点P、点A、点B和点C表示的数算出来，再算出并代入中，合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：依题意，设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得：， ∴点A表示的有理数是， ∵， ∴点C表示的有理数是， 故答案为：，30， （2）解：由（1）得点分别表示的有理数是， 依题意，记对折后A的对称点为 当点在点C的左边时， ∵数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2， 则点表示的数为， ∴ ∴ ∴， ∴点P所表示的数x为； 当点在点C的右边时， ∵数轴上之间有一动点P，若将数轴从点P处对折，使得对折后A的对称点与C的距离为2， 则点表示的数为， ∴ ∴ ∴， ∴点P所表示的数x为11； 综上：点P所表示的数x为或11； （3）解：存在，理由如下： ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是， 由题意可知， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， 则， ， ， ， ∵要使得为一个定值k， ∴， 解得：， ∴， ∴ 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在一条东西向的双轨铁路上，一快一慢两列火车相对行驶，快车的长为2个单位长度，慢车的长为4个单位长度．如图，设正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是B．且，b与互为相反数． (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距________个单位长度； (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． ①从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车车头A，C相距8个单位长度？ ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)24 (2)①再行驶2秒或4秒两列火车车头A，C相距8个单位长度；②结论正确，这个时间是秒，定值是6单位长度 【分析】本题主要考查了两点的距离、数轴、绝对值等知识点，掌握根据数形结合的思想是解题的关键． （1）先根据绝对值和相反数的定义确定点A、C表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可； （2）①根据“时间等于路程和除以速度和”列式计算即可；②由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：∵，b与互为相反数， ∴，即， ∴点A、C表示的数分别为，16， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距个单位长度． 故答案为：24． （2）解：①当两火车相遇前距离8个单位长度时，（秒）． 当两火车相遇后距离8个单位长度时，（秒）； 答：再行驶2秒或4秒两列火车车头A，C相距8个单位长度； ②结论正确．理由如下： ∵， ∴当在之间时，是定值4，（秒）， 此时（单位长度）． ∴这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 2．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如下表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中各填入一个整数，其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，且a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C． 6 … (1)直接写出a，b，c的值：________，________，________； (2)如图，点为数轴上点右侧一点，对应的数为，两点分别从同时出发，相向而行，2秒后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1个单位长度/秒，当点到达点后立刻按原路向点返行，当点到达点后也立刻按原路向点返行，两点在第一次相遇后经过3秒又再次相遇，求的值； (3)点分别从数轴上的点同时出发，均沿数轴的正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒、4个单位长度/秒、个单位长度/秒，在运动过程中，总是定值，求常数的值． 【答案】(1)，，； (2) (3) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）根据三个相邻格子中所填整数之和都相等，逐一把表格各数填好即可求解； （2）由题意可知按原来速度秒钟可走两个来回，都提高速度后3秒钟可走两个来回，列方程求解； （3）由题意可得运动中P，Q，R分别对应的数为：，，，，再列式计算即可． 【详解】（1）解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴第4个数为，，第7个数为， ∴，， 如下表： 6 6 6 … （2）设的速度为每秒个单位长度，Q的速度为每秒个单位长度， 由题意可得：， 可得：， 、两点的距离， ∴M对应的数为：； （3）由题意可得运动中P，Q，R分别对应的数为：，，，， ∴， ， ∴ ； ∵在运动过程中，总是定值， ∴， 解得：． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【详解】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【点睛】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 【经典例题七 几何图形在数轴上的运动问题】 【例7】（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上的点A表示数，点B表示数3，图形I和图形II都有3个边长为1个单位的正方形组成且底边均落在数轴上，开始时，图形的顶点P与顶点A重合，图形II的顶点Q与点B重合，现图形I以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，同时图形II以每秒个单位长度的速度向数轴正方向运动． (1)点A与点B的距离是__________个单位长度． (2)经过多少时间后，图形I与图形II并行（点P与点Q重合），并求此时点P表示的数． (3)在运动过程中，当两个图形重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为时，则点P表示的数是__________（直接写出答案）． 【答案】(1)8 (2)经过秒后，图形I与图形II并行（点P与点Q重合），此时点P表示的数为 (3)或 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用； （1）根据数轴上两点间距离的求法计算即可； （2）设运动时间为t，根据点P与点Q重合时表示的数相同，列方程求出时间t，进而可计算此时点P表示的数； （3）由题意可知重叠部分为1个正方形，设运动时间为t，分情况讨论：当点P在点Q左侧时；当点P在点Q右侧时；分别根据重叠部分为1个正方形，列方程求出时间t，进而可计算此时点P表示的数． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数3， ∴点A与点B的距离是， 故答案为：8； （2）设运动时间为t， 由题意得：， 解得：， 此时点P表示的数为， 答：经过秒后，图形I与图形II并行（点P与点Q重合），此时点P表示的数为； （3）∵重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为， ∴重叠部分为1个正方形， 设运动时间为t， 当点P在点Q左侧时， 由题意得：， 解得：， 此时点P表示的数为； 当点P在点Q右侧时， 由题意得：， 解得： 此时点P表示的数为：； 故答案为：或． 1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）已知数轴上三点、、表示的数分别为4、0、，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动. （1）当点到点的距离与点到点的距离相等时，点在数轴上表示的数是 . （2）另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多长时间追上点？ （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度. 【答案】（1）1；（2）6秒；（3） MN的长度不变,为3 【分析】（1）根据题意可得点P为AB的中点，然后根据数轴上中点公式即可求出结论； （2）先求出AB的长，设点运动秒追上点，根据题意，列出方程即可求出结论； （3）根据点P在线段AB上和点P在AB的延长线上分类讨论，分别画出对应的图形，根据中点的定义即可求出结论． 【详解】解：（1）∵点到点的距离与点到点的距离相等 ∴点P为AB的中点 ∴点在数轴上表示的数是 故答案为：1； （2）AB=4－（-2）=6 设点运动秒追上点，由题意得： 解得： 答：点运动6秒追上点． （3）的长度不变． ①当点在线段上时，如图示： ∵为的中点，为的中点 ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ②当点在线段的延长线上时，如图示： ∵ ∴ 【点睛】此题考查的是数轴上的动点问题，掌握中点公式、行程问题公式、线段的和与差和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 2．（24-25七年级上·北京丰台·期末）如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①点表示的数为或2；② 【分析】（1）利用正方形的面积为16，可得长，再根据，进而可得点表示的数； （2）①先根据正方形的面积为16，可得边长为4，当时，分两种情况：正方形向左平移，正方形向右平移，分别求出数轴上点表示的数； ②当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，再根据点，所表示的数互为相反数，列出方程即可求得的值． 【详解】（1）解：正方形的面积为16， ， 点表示的数为， ， ， 数轴上点表示的数为， 故答案为：． （2）解：①正方形的面积为16， 边长为4， 当时，分两种情况： 若正方形向左平移，如图1， ， ， 点表示的数为； 若正方形向右平移，如图2， ， ， 点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或2； ②的值为4．理由如下： 当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意； 当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，如图3， ，点表示， 点表示的数为， ，点表示， 点表示的数为， 点，所表示的数互为相反数， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离公式的运用，解决问题的关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解． 3．（24-25七年级上·广东珠海·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础． 小海在草稿纸上画了一条数轴，下图是数轴的一部分，并利用折叠进行下列的操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①若折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与 表示的点重合； ③若数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b（A在B的左侧），折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为12，求a，b的值，并画数轴表示A点和B点的位置． 【答案】（1）5；（2）①1；②3；③，，画数轴见解析 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，折叠的性质，熟知数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①根据折叠的性质求解即可； ②据折叠的性质求解即可； ③根据结合A、B关于1对称进行求解即可． 【详解】解：（1）∵1表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴数轴上数表示的点与数5表示的点重合； 故答案为：5； （2）①∵5表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点关于数1表示的点对称， ∴C点表示的数是1． 故答案为：1； ②∵折痕C点表示的数是1， ∴表示的点与3表示的点重合；， 故答案为：3； ③∵折痕C点表示的数是1，， ∴点A、B到1的距离均为6， 又∵A在B的左侧 ∴A点表示的数是，B表示的数是． 画数轴表示如下： 【经典例题八 数轴上动点的往返运动问题】 【例8】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）点A在数轴上表示的数是-8，点B在点A的右侧，且线段AB=24（单位长度） （1）点B在数轴上表示的数是 （2）若点A以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．求几秒后点A和点B相距8个单位长度; （3）在（2）的条件下，有一只电子蚂蚁同时从原点出发向点A运动，当遇到点A后，立即返回向点B运动，遇到点B后立即返回向点A运动，如此往返，直到点A和点B相遇时，电子蚂蚁立即停止运动．若电子蚂蚁一直以4个单位长度/秒的速度匀速运动，那么电子蚂蚁从开始到停止运动时，求蚂蚁运动的路程是多少个单位长度 【答案】（1）16；（2）2秒或4秒后点A和点B相距8个单位长度；（3）电子蚂蚁的路程是12个单位长度 【分析】（1）由题意得，，，即可得； （2）设经过t秒后点A和点B相距8个单位长度，分情况讨论：①当点A，B两点相遇前，AB=8，②当点A、B两点相遇之后，AB=8，进行解答即可得； （3）设经过x秒后点A和点B相遇，得经过3秒后点A和点B相遇，再用电子蚂蚁的速度乘时间即可得． 【详解】解：（1）由题意得，，， 则， 即点B在数轴上表示的数是：16， 故答案为：16； （2）设经过t秒后点A和点B相距8个单位长度， ①当点A，B两点相遇前，AB=8， 则， ， 解得， ②当点A、B两点相遇之后，AB=8， 则， ， ， 综上，当AB=8时，运动时间为2秒或4秒； （3）设经过x秒后点A和点B相遇， ， ， 即经过3秒后点A和点B相遇， 则， 故电子蚂蚁的路程是12个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴及其动点问题和一元一次方程的应用，解题的关键是掌握灵活运用知识点，全面考虑问题可能出现的情况． 1．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为20和30，点P和点Q分别同时从点A和点O出发，以每秒2个单位长度，每秒4个单位长度的速度向数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，则P、Q两点对应的有理数分别是_______，______； (2)点C是数轴上点B左侧一点，其对应的数是x，且，求x的值； (3)在点P和点Q出发的同时，点R以每秒8个单位长度的速度从点B出发，开始向左运动，遇到点Q后立即返回向右运动，遇到点P后立即返回向左运动，与点Q相遇后再立即返回，如此往返，直到P、Q两点相遇时，点R停止运动，求点R运动的路程一共是多少个单位长度？点R停止的位置所对应的数是多少？ 【答案】(1)24，8；16 (2)或10； (3)R运动的路程一共是．点R的位置所对应的数是40． 【分析】（1）根据路程速度时间，先求出即可解决问题； （2）由，可得或，即可求得的值； （3）设t秒后P、Q相遇．则有，此时P、Q、R在同一点，由此可以确定点R的位置． 【详解】（1）解：时，， ∴P、Q分别表示24和8，， 故答案为：24，8；16； （2）解：∵， ∴（此时点C在线段上）或（此时点C在点A的左边）， 点表示的数为或， ∴或10； （3）解：设t秒后P、Q相遇．则有， ， ∴R运动的路程一共是．此时P、Q、R在同一点，所以点R的位置所对应的数是40． 【点睛】本题考查数轴上动点问题，涉及行程问题中的追及问题，解题的关键是理解题意，学会转化为相应的模型思考问题． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知点的速度是点A的速度的4倍．（速度单位：单位长度/秒）    (1)求出点A、点运动的速度，并在数轴上标出A、两点从原点出发运动3秒时的位置； (2)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A、点的正中间？ (3)若A、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点同时从点位置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到点追上A点时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【答案】(1)点A的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，见解析 (2)运动1.8秒时，原点恰好处在A、两点的正中间 (3)100单位长度 【分析】（1）设点A的速度为每秒个单位长度，则点的速度为每秒个单位长度，根据3秒后，两点相距15个单位长度列出方程，解方程即可； （2）设秒时，原点恰好处在点A、点的正中间，根据两个点到原点距离相等，列出方程，解方程即可； （3）先求出点追上点A所用的时间，根据这个时间恰好是点从开始运动到停止运动所花的时间，求出点C运动的路程即可． 【详解】（1）解：设点A的速度为每秒个单位长度，则点的速度为每秒个单位长度， 依题意有：， 解得：， 点A的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度． 画图如下：    （2）解：设秒时，原点恰好处在点A、点的正中间， 根据题意，得， 解得， 即运动1.8秒时，原点恰好处在A、两点的正中间． （3）解：设运动秒时，点追上点A， 根据题意，得， 解得， 即点追上点A共用去5秒，而这个时间恰好是点从开始运动到停止运动所花的时间， 因此点行驶的路程为：（单位长度）． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据等量关系列出相关的方程． 3．（24-25七年级上·河北唐山·期末）学校、书店、公交站三点在同一直线上．已知学校和公交站相距2400米，以书店为原点画出数轴，如图所示，公交站在数轴上用数字900表示，一辆公交车匀速往返于学校和公交站之间（停车时间忽略不计），设公交车的速度为x米/分． (1)学校在数轴上用数字______表示； (2)小红从学校出发去书店时，正好有一辆公交车从公交站出发开往学校．已知小红步行的速度是30米/分； ①小红步行去书店，出发20分钟时，与这辆公交车首次相遇，求公交车的速度x； ②若小红在第二次与这辆公交车相遇时坐上车去书店，结果比步行少用10分钟到达书店，求公交车的速度x； ③若米/分，小红始终步行从学校到书店，在此次过程中与这辆公交车在途中共相遇______次．（直接写出结果） 【答案】(1)-1500 (2)①20分钟；②米/分；③2 【分析】（1）由两点间距离可求得； （2）①由小红走的路程+公交车走的路程=2400米，列方程可得； ②由公交车行走的路程=2400+1500，列方程可得； ③分别求出公交车往返一次的时间和小红步行去书店的时间，比较大小后可得． 【详解】（1）解：∵学校和公交站相距2400米，公交站在数轴上用数字900表示 ∴学校在数轴上用-1500表示， 故答案为：-1500 （2）解：①由已知得30×20＋20x＝2400 20x＝1800 解得x＝90 答：公交车的速度是90米/分； ②由已知得x 解得x＝ 答：公交车速度为米/分 ③由题意得：公交车往返一次的时间为分钟， 小红步行去书店的时间为 =50分钟， ∵， ∴在此次过程中小红与这辆公交车在途中共相遇2次， 故答案为：2 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找到正确的数量关系． 1．（24-25七年级上·河北张家口·期末）某动点从数轴上的点出发，沿数轴向左移动8个单位长度到达点，且点，所表示的数的绝对值相同，则点表示的数为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数、相反数、绝对值、一元一次方程的应用等知识，理解相反数的定义是解题关键．根据题意，点在点左侧，且点，所表示的数的绝对值相同，即点，所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数，设点所表示的数为，则点所表示的数为，列出关于的方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，点在点左侧，且点，所表示的数的绝对值相同， 所以点，所表示的数互为相反数，且点所表示的数为负数， 设点所表示的数为，则点所表示的数为， 则，解得， 即点表示的数为． 故选：D． 2．（24-25七年级上·天津河东·期中）如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离．分当点在点的左侧和点在点的右侧时，两种情况讨论，根据点、两点之间的距离为7个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得； 当点在点的右侧时，由题意得，解得； ∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或； 故选：D． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分点M原点左边或右边两种情况讨论，由题意列出方程可求解． 【详解】解：当点M在原点左边， 由题意得：2（6-3t）=4+t， 解得：t=； 当点M在原点右边， 由题意得：2（3t-6）=4+t， ∴t=， 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·北京怀柔·期末）点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由题意，先求出AB的长度，然后对P、Q两点的运动方向进行分析：当P、Q相向运动时可判断①；当点P在前，点Q在后运动可判断②；当点Q在前，点P在后可判断③；当P、Q反向运动或相向运动相遇后时，可判断④． 【详解】解：根据题意， ∵点A表示4，点B表示2， ∴， 当点P、Q相向运动时，设t秒后P、Q重合， ∴， ∴；故①正确； 当点P在前，点Q在后运动时，设t秒后P、Q重合， ， ∴；故②正确； 当点Q在前，点P在后时，设t秒后， ∴， ∴；故③正确； 当P、Q反向运动时，设t秒后， ∴， ∴； 当P、Q两点相遇后再相距18，则 ， ∴； ∴④的说法错误； ∴正确的说法有①②③； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，解题的关键是把各个距离用含有t的代数式表示和列方程是解决问题的两项重要任务． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．点O是数轴原点．如图，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上，木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动，且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，设点P移动的时间为t秒，当t为（   ）时，P点恰好距离木棒2个单位长度． A．3秒 B．4秒 C．14秒 D．4秒或14秒 【答案】B 【分析】本题先根据绝对值与平方数的非负性求出、的值，再确定木棒和点在数轴上的位置表达式，最后分情况讨论点与木棒的位置关系来求解的值．本题主要考查了数轴上的动点问题以及绝对值和平方数的非负性，熟练掌握数轴上点的移动规律和绝对值、平方数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，． ∵木棒从右端与点重合开始以每秒个单位长度向移动，出发秒后点才出发， ∴木棒移动的总时间为秒，木棒右端表示的数为，木棒左端表示的数为． ∵点从点出发，以每秒个单位长度向移动，移动时间为秒， ∴点表示的数为． 当点在木棒左侧个单位时， ， ， ， 解得． 当点在木棒右侧，距离木棒左端个单位时： ， 解得（舍去，因为）． 综上，． 故选：B． 6．（24-25七年级上·河南新乡·期中）已知有理数满足等式，有理数在数轴上分别用点表示，若动点在数轴上从点出发，经过3秒到达点，则动点从点到达点时，经过的时间是 秒． 【答案】4 【分析】本题主要查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，有理数的减法．根据绝对值的非负性，可得，从而得到点，点间的距离，点，点间的距离，进而求出动点的速度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴点，点间的距离为，点，点间的距离为， ∵动点在数轴上从点出发，经过3秒到达点， ∴动点每秒移动个单位长度， ∴动点从点到达点时，经过的时间是秒． 故答案为：4． 7．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）数轴上A，B两点表示的数分别为，5，点C是线段上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的处，若，则点C表示的数是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算； 根据先求出点表示的数，再根据数轴特点分情况求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，， ∴点表示的数为或， ∴点C表示的数为或， 故答案为：或0． 8．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）点在数轴上所对应的数分别是，其中满足．若点是的中点，为原点，数轴上有一动点，分别表示数轴上与，与两点间的距离，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负性，数轴上两点之间的距离，根据题意，分别求出的值，点的值，再根据两点之间距离的计算方法即可求解，掌握绝对值的性质，数轴上两点之间的距离的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，中，， ∴， ∵点是的中点， ∴，即点表示的数为， 如图所示， 当点在点的右边时，设为位置，表示的数为， ∴，， ∴，则； 当点在点之间时，设为位置，表示的数为， ∴， ∴， ∴； 当点在点坐标时，设为位置，表示的数为， ∴， ∴； 综上所述，当点在点及点坐标时，有最小值，且最小值为， 故答案为： ． 9．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 【答案】12或36 【分析】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键．分，，讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：设时间为秒， ∵A、B两定点对应的数是，40， ∴， ∴M到达B需要的时间为秒， N到达B需要的时间为秒， M从到A出发，然后返回到A需要的时间为秒， 当时，， 解得， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得， 综上，经过12秒或36秒，点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 故答案为：12或36． 10．（24-25七年级上·山东济南·期中）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足点A与点M的距离等于点B与点M的距离，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的有 ．（填序号） ①若，，则； ②当时，； ③若，点B与点M的距离是点O与点M的距离的3倍，则； ④当，时，将点B水平右移2个单位至点B1，再将点水平右移2个单位至点，以此类推，…且满足点与点M的距离等于点与点M的距离，则数轴上与对应的点表示的数为．    【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，动点问题，一元一次方程的应用， ①根据“点A与点M的距离等于点B与点M的距离”列式求解即可； ②根据“点A与点M的距离等于点B与点M的距离”列式求解即可； ③根据“点A与点M的距离等于点B与点M的距离”列出一元一次方程求解即可； ④设表示的数字为p，表示的数字为q，根据题意表示出，然后根据“点A与点M的距离等于点B与点M的距离”得到，然后代数求解即可； 利用数形结合思想和正确分析出等量关系解答是解题的关键． 【详解】①∵点A与点M的距离等于点B与点M的距离， ∵，， ∴，故①正确； ②当时， ∴，解得，故②错误； ③若， ∴， ∴或 解得或，故③错误； ④设表示的数字为p，表示的数字为q， 根据题意得， ∵点与点M的距离等于点与点M的距离 ∴，即 解得， ∴数轴上与对应的点表示的数为，故④正确． 综上所述，正确的有①④． 故答案为：①④． 11．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键． （1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解； （2）运用两点之间距离的计算即可． 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【详解】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 13．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度．已知动点、的速度比为（速度单位：1个单位长度秒）．    (1)求两个动点运动的速度； (2)在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置； (3)若表示数0的点记为，、两点分别从（2）中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，． 【答案】(1)动点A的速度是2单位长度/秒，动点B的速度是6单位长度/秒 (2)见解析 (3)再经过0.4秒或10秒时． 【分析】此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设动点的速度是单位长度秒，那么动点的速度是单位长度秒，然后根据2秒后，两点相距16个单位长度即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果和已知条件即可得出． （3）此问分两种情况讨论：设经过时间为后，当在的右侧，若当在的左侧，列出等式解出即可． 【详解】（1）解：设动点的速度是单位长度秒， 根据题意得 ， 解得：， 则． 答：动点的速度是2单位长度秒，动点的速度是6单位长度秒； （2）解：标出，点如图，   ； （3）解：设秒时，， 当在的右侧， 根据题意得：， ， 当在的左侧， 根据题意得：， 答：再经过0.4秒或10秒时． 14．（24-25七年级上·河南郑州·期末）已知数轴上有三点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且满足，点在数轴上对应的数为，且是方程的解． (1)数轴上点表示的数分别为_______、_______、_______； (2)如图1，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，经过多少秒时，之间的距离恰好等于？ (3)如图2，若动点同时从出发，向右匀速运动，同时动点从点出发，向左匀速运动．已知点的速度是个单位长度/秒，点的速度是点速度的倍，点的速度是点速度的倍少个单位长度．经过秒时，三点中恰好有一点为其余两点的中点．请直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的式子表示相关点所表示的数． （1）由，得，，解，得，即表示的数为； （2）设运动时间为秒，根据点，之间的距离恰好等于，得，即可解得答案； （3）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 ，分三种情况列方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，即表示的数为， 故答案为：；；； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 点，之间的距离恰好等于， ， 即或， 解得或， 经过秒或秒时，点，之间的距离恰好等于； （3）根据题意，点的运动速度为每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， 运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 ， 若为的中点，则， 解得 若为的中点，则， 解得(舍去) 若为的中点，则， 解得(此时点的速度为，不符合题意，舍去)； 综上所述，的值为 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？ (3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1) (2)38 (3) (4)4 或 13 或 22 或 34 或 42 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，理解题意，找出等量关系，正确列出方程求解是解题的关键． （1）先求出点运动 3 秒的路程，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；先求出点从点运动到点所用的时间，判断时，点位置，再根据此时的速度即可求出运动路程，从而求出点在数轴上表示的数； （2）根据的长除以各自的速度即为时间，相加即可； （3）首先判断出两点相遇在线段上的点处，根据相遇问题公式求出相遇时间，进而可以求出所对应的数； （4）根据的取值分类讨论，用表示出两点在数轴上相距的长度和两点在数轴上相距的长度，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点表示的数为：， ∵从到所用时间为：（秒）秒， 时，在上， ∴所表示数为：， 故答案为：； （2）解：从到所用时间为： （秒）； （3）解：从到所用时间为：（秒）， 从到所用时间为：（秒）， ∴两点在段相遇， 当到达点时，， ∴离开到相遇所用时间为：（秒）， ∴相遇总时间为：（秒）， 此时，， ∴相遇点所对应的数为：； （4）解：当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， ∴无解； 当时，， ， 解得：，符合题意； 当时，， ， 解得：，符合题意； 综上所述，或 13 或 22 或 34 或 42 时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$