吉林省长春市外国语教育集团2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

长春外国语学校教育集团2025-2026学年第一学期初三年级期中考试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是 　 A． B． C． D． 2．下列计算一定正确的是 A． B． C． D． 3．若，则锐角的度数为 A． B． C． D． 4．将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是 A． B． C． D． 5．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处，测得山峰顶端的仰角为，则、两点之间的距离为 A．米 B．米 C．米 D．米 6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为 A． B． C． D． 7．下列尺规作图中，线段AD能平分△ABC面积的是 A B C D 8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与正比例函数的图象交于A、B两点．若，则k的值为 A．4 B． C． D．1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9．因式分解：________． 10．写出的一个同类项：________． 11．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上． 若，则与的周长之比为 ． （第12题图） （第13题图） 13．如图，BE、CF是锐角△ABC的两条高，D为BC的中点，连结DE、DF、EF．若BC = 10，EF = 6，则点D到线段EF的距离为______． 14．年月日，商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步， 时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口、的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇，此时相遇点距地面米，喷水口、距地面均为米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米． 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15．（6分）先化简，再求值：，其中． 16．（6分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，用画树状图（或列表）的方法，求至少一辆车向左转的概率． 17．（6分）小吉和小林从同一地点出发跑米，小吉的平均速度是小林的倍，结果小吉比小林少用秒到达终点．求小林跑步的平均速度． 18．（7分）图①、图②、图③ 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画多边形，使多边形的每个顶点都在格点上． （1）在图①中，画一个腰长为3的等腰三角形，使点在其对称轴上； （2）在图②中，画一个腰长为的等腰三角形，使点在其对称轴上； （3）在图③中，画一个面积为的四边形，使四边形为轴对称图形且点在其对称轴上． 图① 图② 图③ 19．（7分）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_________； （2）表中n_________0.056（填“”“”或“”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_________． 20．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． 求证：四边形OCED是菱形． 21．（8分）某种液化石油气罐存储液态石油气千克，与其配套的石油气炉有大火和小火两个档位可调节．刚开始点燃石油气炉并调至大火档位，石油气炉每分钟消耗石油气千克，当气炉燃烧分钟后，调至小火档位．液化石油气的罐内剩余石油气的质量（千克）与燃烧时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）的值为 ； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一时，求石油气炉的燃烧时间． 22．（9分）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程； 【定理应用】在矩形ABCD中，AB = 2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE． （1）如图②，点F在边CB上，连结EF．若，则EF与AC的关系为__________； （2）如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度（），得到线段，连结，点H为的中点，连结BH．设BH的长度为a．若BC = 3，则a的取值范围为_________________． 图① 图② 图③ 23．（10分）如图①，在矩形中，，，点在边上，且． 动点从点出发，沿折线运动，作，交边或边于点，连结． （1）当点和点重合时，线段的长为 ； （2）当点和点重合时，求； （3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由； 24．（12分）已知抛物线的对称轴为直线． （1）b = ________，抛物线与y轴的交点坐标为__________； （2）求抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出该抛物线； （3）若点A在抛物线上，且点A的横坐标为a，当点A到x轴距离是到y轴距离2倍时，求a的值； （4）若直线与x轴的交点为P，直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为M，当抛物线在矩形POQM内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围． 长春外国语学校教育集团2025-2026学年第一学期初三年级期中考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9． 10．（答案不唯一，系数为非实数均可） 11． 12． 13． 14．19 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15．解：原式 ． 当时， 原式． （6分） 16．树状图如下： 或列表如下： 左 右 直行 左 （左，左） （右，左） （直行，左） 右 （左，右） （右，右） （直行，右） 直行 （左，直行） （右，直行） （直行，直行） （4分） 所以，（至少一辆车向左转的概率）． （6分） 17．解：设小林跑步的平均速度为米/秒， 根据题意，得 ． （3分） 解得 ． （5分） 经检验，是原方程的解且符合题意． （6分） 答：小林跑步的平均速度为4米/秒． 18．（1） （2分） （2） （4分） （3） （7分） 19．（1） （2分） （2） （4分） （3）乙、丁、甲、丙 （7分） 20．证明：∵DE∥AC，CE∥BD， （2分） ∴四边形OCED是平行四边形. （4分） 在矩形ABCD中，OC = OD. （6分） ∴▱OCED是菱形. （7分） 21．（1） （2分） （2）设所求的函数关系式为， 将、代入，得 解得 所以，当时，与之间的函数关系式为．（6分） （3）． 当时，， 解得． 所以点燃分钟，罐内剩余石油气的质量是原有质量的五分之一． （8分） 22．【定理证明】 证明：在△ABC中， ∵点D、E分别是AB与AC的中点， ∴． ∵∠A = ∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE = ∠ABC，． ∴DE∥BC，． （5分） 【定理应用】 （1）EF∥AC， （7分） （2） （9分） 23．（1） （2分） （2）当点和点重合时，如图①， 易证∽． ∴． （5分） （3）当点在边运动时， 过点作于点，如图②， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴≌（．）． ∴． ∴是等腰直角三角形． （10分） 24．（1） （2分） （2）配方，得 ， ∴抛物线的顶点坐标为. 列表如下： x ... -4 -3 -2 -1 0 ... y ... 3 0 -1 3 3 ... 图象如图所示： （没有列表，图象正确不扣分） （6分） （3）点A的坐标为. ①当时，， ∵， ∴此种情况不成立； ②当时，， 解得. 综上，或. （9分） （4）或或 （12分） 数学试题 第9页 （共12页） 数学试题 第10页 （共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $