第1章 二次函数-全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数，涵盖图象与性质、与一元二次方程关系、应用及综合题等核心知识点，通过“刷中考”“刷章测”模块导入，衔接一次函数、一元二次方程等前置知识，以分层练习和超链接跳转构建学习支架。 其亮点在于融合2025年各地中考真题，通过喷水池水流、矩形菜地面积等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，分类讨论二次函数平移后最值等解析过程，强化推理意识与运算能力。学生能深化知识应用，教师可直接利用系统资源提升教学效率。

数 学 九年级下册 XJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第1章 二次函数 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图象与性质 1.【2025山东威海中考】已知点，， 都在二次函数 的图象上，则，， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为直线 点，，与对称轴的距离分别为， ， ，， .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2025安徽中考】已知二次函数 的图 象如图所示，则( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴在轴右侧， ， 抛物线与轴交于负半轴，， ，故A选项错误.由题图 易知，，，故B选项错误. 抛物线过点 ， ，， .由题 图易知，， ，故C选项正确.由图象可知，当 时，， ，故D选项错误.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 3.【2025上海中考】将函数 的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的 表达式为____________. 【解析】 将函数的图象向下平移2个单位， .故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.【2025河南中考】在二次函数中，与 的几组对应值如下表所示. … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式. 【解】把和代入,得解得 二次函数的表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 思路分析 将，代入得到二元一次方程组，求解得出, 的值 即可得到二次函数的表达式. （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直 角坐标系中画出二次函数的图象. 【解】将配方，得 , 二次函数图象的顶点坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 图象如图所示： 思路分析 将二次函数的表达式转化为顶点式，得出抛物线的顶点坐标，然后描点画出函数图象. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当 时，若图象对应的 函数最大值与最小值的差为5,请直接写出 的值. 【解】或 . 抛物线向右平移个单位长度后，得到抛物线 ，则平移后的抛 物线开口向上，对称轴是直线 . ①当时，，此时当时，取得最大值，为 ；当 时，取得最小值，为 . 又 最大值与最小值的差为5，， （不合题意,舍去）. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 ②当时，，此时当时，；当 时，；当时，取得最小值，为 . 又 最大值与最小值的差为5， 当时，解得 （不合题意，舍去）或；当时，解得 （不合题意，舍去）或 . ③当且时，，此时当时， 取得最小值，为 ；当时，取得最大值，为 . 又 最大值与最小值的差为5，， （不合题意，舍去）. 综上，或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 5.【2025福建中考】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点 , ． （1）求 的值. 【解】 点和在二次函数的图象上， 点 和 关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线 ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 （2）已知二次函数的最大值为 ． （i）求该二次函数的表达式； 【解】由得， 抛物线的表达式为 ， 抛物线的顶点坐标为 函数的最大值为，，，解得或 （舍去）， 二次函数的表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 （ii）若,为该二次函数图象上的不同两点，且 ，求证： ． 【证明】 点和在该二次函数图象上， ， , , 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 考点2 二次函数与一元二次方程的关系 6.【2025陕西中考B卷】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( ) D A.图象的开口向下 B.当时，的值随 值的增大而增大 C.函数的最小值小于 D.当时， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 【解析】由题意可得，方程 的两根异号， ，解得， 二次项系数， 图象开口向上，故A 不符合题意； 抛物线 的对称轴为直线 ， 当时，的值随值的增大而增大，故B不符合题意； 当 时，， 函数的最小值为 ，故C不符合题意；当 时，，,即当 时， ，故D符合题意.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 考点3 二次函数的应用 7.【2025甘肃白银中考】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安 装了一个柱形喷水装置，喷头 向外喷水，水流在各个方 向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系， 水流喷出的高度与水平距离 之间的关系式是 ，则水流喷出的最大高度是( ) B A. B. C. D. 【解析】.， 当时，取最大值，最大值为 ，即2.75.故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 8.【2024四川自贡中考】九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地， 地上两段围墙于点（如图），其中上的 段围墙空缺.同学们测得 ，，，， ，班长买来可切断的 围栏 ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 _____ . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 【解析】设矩形菜地在射线上的边长为.当 时， ，当时， 最大， 最大面积为.当 时， ，在的范围内， 均小于，所以该菜地的最大面积为.故答案为 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 思路分析 要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，就必须尽量使用原来的 围墙，由题图可知，应尽量利用围墙的段和 段，也就是说矩形菜地的两条边， 一边在射线上，另一边在射线上.设矩形菜地在射线上的边长为，则 可能小于等于的长，也有可能大于 的长，所以分成两种情况进行讨论. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 9.【2025四川内江中考】2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》 刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A 款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费8 000元. （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元. 【解】设A款“哪吒”纪念品每个进价为元，B款“哪吒”纪念品每个进价为 元. 由题意得,解得 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A、B两 款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ 【解】设需要购进B款纪念品个，则需要购进A款纪念品 个. 由题意得,，解得， 的最小值为200. 答：至少需要购进B款纪念品200个. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加 1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价元， 表示该商家销 售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出 的最大值. 【解】由题意得， . ，， 当，即时， 最大，最大值为4 500. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 考点4 二次函数的综合题 10.【2025浙江中考】已知抛物线（为常数）经过点 . （1）求 的值. 【解】把点代入，得,解得 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 （2）过点与轴平行的直线交抛物线于,两点，且点为线段 的中点， 求 的值. 【解】由（1）知抛物线的表达式为 ,所以抛物线的对称轴为直线 . 因为点坐标为，且点为线段的中点，所以设点,点 . 由题意可得点,关于直线对称，所以,解得 . 因为点在抛物线上，所以当时， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 （3）设,抛物线的一段夹在两条均与 轴平 行的直线,之间.若直线,之间的距离为16,求 的最大值. 【解】假设直线位于直线 下方. 因为 , 所以抛物线的顶点坐标为 . 因为抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线, 之间，且，所以直线不能在直线 上方. 因为直线,之间的距离为16,所以要使最大，则直线经过点 ,此时 直线的表达式为，所以直线的表达式为,所以当 时， ,解得,,所以,,所以 的最大值 为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 章测 一、选择题（共30分） 1.关于的函数是二次函数，则 的值是( ) A A.2 B.4 C.或2 D. 或4 【解析】 关于的函数是二次函数， 且 ，解得 ，故选A. 易错警示 根据二次函数的定义求字母的值时，要注意二次项的系数不等于零. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 2.如图，已知关于的一元二次方程 的两根在数轴上对应的点分 别在区域①和区域②内，区域均含端点，则 的值可能是( ) C A. B.0 C.1 D.2 【解析】 关于的一元二次方程 的两根在数轴上对应的点分别 在区域①和区域②内，区域均含端点，设两个根分别为, , ， 抛物线的对称轴是直线 ，抛 物线与轴的两个交点关于对称轴对称， 的值可能为1.故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 3.【2025湖南郴州质检】将抛物线 向下平移2个单位长度，再向 左平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为( ) B A. B. C. D. 【解析】将抛物线 向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位 长度，平移后抛物线的表达式为，即 . 故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 4. 【2025湖南常德期末】二次函数 满足以下三个条件： ；； ，则它的图象可能是( ) C A. B. C. D. 【解析】，即， 函数图象与 轴有两个交点,故选项A错 误.， 当时，函数值小于0，故选项B错误.，， 同号.当，时，函数图象开口向上，与轴交于正半轴；当， 时，函数图象开口向下，与 轴交于负半轴，故选项C正确，选项D错误.故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 思路分析 首先根据②可判断出函数图象与轴有两个交点，再根据③判断出当 时，函 数值小于0，最后根据①讨论函数图象的开口方向及其与 轴的交点位置，即可得 出答案. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 5.已知二次函数和（是常数）的图象与 轴都有两个 交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之 间的距离为( ) A A.2 B. C.4 D. 【解析】， 其图象与轴交于点 ， ， 其图象与轴交于点 ， 这四个交点中每相邻两点间的距离相等，为与 的中 点，，解得,（舍去）； ，解得 ，（舍去），的图象的对称轴为直线 ， 的图象的对称轴是轴， 这两个函数图象对称轴之间的距离为2.故 选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 6.【2025湖南岳阳质检】对于平面直角坐标系中的抛物线和抛物线 外的点 ，给出如下定义：在抛物线上若存在两点，，使 为等腰直角三角形 且 ，则称抛物线为点的“型线”，点为抛物线的“ 型点”. 若是抛物线的“型点”，则 的取值范围是( ) C A. B. C.且 D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 【解析】如图，过点作两条相互垂直且关于 轴对称的直线， 分别与轴交于点,，易得 ， ， ， 直线的表达式为， 当 方程有解时，才满足是抛物线 的“型点”，即，解得.又 点 是 抛物线外一点，， 当且时，是抛物线的“ 型点”，故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 二、填空题（共30分） 7.【2025湖南永州调研】已知点，在二次函数 的 图象上，则___（填“ ”“ ”或“ ”）. 【解析】, 抛物线开口向上，对称轴为直 线， 当时，随的增大而增大，点关于直线 的对 称点为，.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 8.【2024浙江杭州二模】如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两 条抛物线的一部分组成的，且关于轴对称.其中半圆与轴相交于点 ，两条抛物 线的顶点分别为，，与轴分别相交于点，.已知， ， ，则图案中 这段抛物线的函数表达式为_____________________________________ __________________________ ______. （第8题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 【解析】记与轴的交点为，且半圆关于 轴对称， ，，则这段抛物线的顶点 的坐标 为， 设这段抛物线的函数表达式为. ，点 ，关于轴对称，.将点坐标代入得 ， .故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 （第9题图） 9.如图，抛物线与轴交于， 两点， 与轴交于点.若,则 的值为____. 【解析】设，， ，则 ，.由题意得 , ， ， ，，，即 . 根据根与系数 的关系可知，，，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 思路分析 设，，可得, ,由抛物线表达式 可得,证明,可得 ,再根据一元二次方程根与系数 的关系得出答案. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 10.【2024湖南岳阳调研】如图，菱形的边长为8， ，点是 上一动点（不与点，重合），点是上一动点，且，则 面积的最大值为_____. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 【解析】过点作交的延长线于点，如图. 菱形 的边长为8， ， ， ， .设 ， ， ， ， 在 中， ，.， 当时， 的面积最大，最大值为.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 11.定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点 叫作 “整点”．如：,都是“整点”．当抛物线 与其关于轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时， 的取 值范围是__________. 【解析】当时，抛物线 开口向上，封闭区 域如图所示.当封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，易知整 数点为,,，,,，, , ,则解得,故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 三、解答题（共40分） 12.在平面直角坐标系中，点在抛物线 上. （1）该抛物线的对称轴为__________. 直线 【解】将代入得， 抛物线经过 点 在抛 物线上， 抛物线对称轴为直线，故答案为直线 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 （2）已知，当时，的取值范围是，求 ， 的值. 【解】由（1）得抛物线对称轴为直线， ， ，当时， 的取值范围是 ， 当时，，抛物线顶点坐标为 ， ，解得 ， ， 当时， .当 时，或.又，，解得 ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 （3）在（2）的条件下，是否存在实数，满足当时， 的取值范围 是.若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 【解】存在. 抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， 当 ， 时，，时， ， ；当，即,时，， 时， ， 此时方程组无实数根；当 时，有最小值，与题中的最小值不符.综上所述， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 13. 【2025河南许昌一模】2025年春节期间全国各影院上映多部影片，《哪 吒之魔童闹海》以强劲势头打破国内外多项票房纪录，截至2025年2月18日影片总 票房（含预售）突破123.19亿，登顶全球动画电影票房榜首，成为中国文化与电 影工业实力的重要象征.某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影 票数量（单位：张）与售价 （单位：元/张）之间满足一次函数关系 （，且 是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价 （元/张） 40 50 售出电影票数量 （张） 164 124 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 （1）请求出与 之间的函数关系式； 【解】设与之间的函数关系式是.由表格可得， 解得 （，且 是整数）. （2）设该影院每天的利润（利润票房收入-运营成本）为（单位：元），求 与 之间的函数关系式； 【解】由题意可得 ，即 （，且 是整数）. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 （3）该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【解】由（2）知， ，且是整数， 当或41时，取得最大值，此时 . 答：该影院将电影票售价 定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是 4 560元. 易错警示 求二次函数的最大值时，要注意自变量的限制条件，如本题中 是整数. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 14.【2025湖南长沙期末】如图，抛物线交轴于 ， 两点，与轴交于点.连接， . 备用图 （1）求抛物线的表达式. 【解】将点,的坐标代入得解得 该 抛物线的表达式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 （2）如图，点为抛物线上位于第三象限的一个动点，轴于点，交 于 点，于点，求线段 的最大值. 【解】 抛物线的表达式为，时，， ， ，， ， ，.设直线 的表达式为 ，将，代入得解得 直线 的表达式为.设，则 ， . ， 时，有最大值，的最大值为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 （3）若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点 ，使 得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点 的横坐标；若不 存在，请说明理由. 【解】存在. ，，，，, . 如图，过点作于点，若以，，为顶点的三角形与 相似，则 可分以下两种情况： 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 ①当时，，， ，易得 ，，， 直线 的表 达式为.联立得 ；②当 时，，，， 易得 ,,， 直线 的表达 式为.联立得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 综上所述，存在这样的点，使得以，， 为顶点的三角形与 相似，点的横坐标为或 . 思路分析 分两种情况：①当时，②当 时，分别由相似三角 形的性质可求出点坐标，进而求得直线的表达式，联立直线 和抛物线的表 达式可求出答案. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $