1大招专题2 二次函数图象中的交点问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦二次函数图象交点问题，通过母题引入（已知顶点和交点求表达式），逐步过渡到直线与抛物线交点、对称抛物线与直线交点等综合问题，构建从基础到难关的学习支架，衔接平移、对称等知识。 其亮点是以“母题学大招+子题练变式”分层设计，通过临界状态分析（几何直观）、端点值代入法（推理能力）培养数学思维，规范解题步骤（模型意识）提升表达能力。如平移抛物线与线段交点的临界情况解析，助力学生掌握数形结合，教师可直接用于分层教学。

数 学 九年级下册 XJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第1章 二次函数 大招专题2 二次函数图象中的交点问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招4 确定图形找临界状态 1.［较难］如图,已知抛物线的顶点为，与轴的交点为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 （1）请直接写出 的表达式. 【解】的表达式为 抛物线的顶点为， 设抛物线 的表达式为.把代入得 ， ， 抛物线的表达式为，即 . （2）若直线与有唯一的交点，求 的值. 【解】由得 . 直线与 有唯一的交点， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （3）若抛物线关于轴对称的抛物线记作，平行于轴的直线记作 .试结 合图形回答：当为何值时，与和 共有：①两个交点?②三个交点?③四个交点? 【解】 抛物线关于轴对称的抛物线记作， 抛物线的顶点坐标为 ， 与轴的交点为， 抛物线的表达式为.①当直线 过抛 物线的顶点和抛物线的顶点时，即时，与和 共有两个 交点.②当直线过，即时，与和共有三个交点.③当 或时，与和 共有四个交点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 大招解读 确定图形找临界状态 （1）根据已知条件画出确定的图形. （2）将直线在坐标系中上下平移，找到符合题意的临界位置（常见位置：①二次 函数图象顶点；②图象交点；③与二次函数图象的切点）. （3）联立直线和抛物线的表达式得一元二次方程，利用 求解. （4）临界位置之间的部分即为满足题意的部分. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 子题练变式 与平行于坐标轴的线段的交点问题 2.【2025山东临沂期中，中】如图，已知抛物线和线段 ，点 和点的坐标分别为，，将抛物线向上平移 个单位长度后与 线段仅有一个交点，则 的取值范围是__________________. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 【解析】， 该抛物线的对称轴为直线 . 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线表达式为 . 当抛物线顶点恰好平移到线段上时，，解得 ；当抛物线经过点 时，，解得，此时关于对称轴 对称 的点在线段上，不符合题意；当抛物线经过点 时， ，解得，此时关于对称轴 对称的点 不在线段上，符合题意.结合图象可知，平移后的抛物线与线段 仅有 一个交点时，或.故答案为或 . 刷有所得 此类型题采用数形结合思想，结合图象，找出临界位置可得答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 子题练变式 与一次函数图象的交点问题 3.［较难］在平面直角坐标系中，已知抛物线，将 向右平移4 个单位长度，得到抛物线，过点作轴的垂线，交于点，交 于点 ，为与 的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点 组成的图形记为图形.若直线与图形恰好有4个交点，则 的取值 范围是( ) A A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 【解析】 抛物线，将向右平移4个单位长度，得到抛物线， 抛物线的表达式为 . 联立解得 两抛物线的交点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 由题意得图形如图所示.把代入，得，解得 .当直线 与只有一个交点时，，即 有两个相 等的实数根，，解得. 直线 与图 形恰好有4个交点， 结合图形可知， .故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 思路分析 求得平移后的抛物线的表达式，联立两个表达式求得两抛物线的交点坐标为 ， 再由题意画出图形 ，利用数形结合解题即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 母题学大招5 端点值代入法 4.【2024江苏泰州质检，中】二次函数的图象经过点 和 .直线上有一点，将点向右平移4个单位长度，得到点 ，若抛 物线与线段只有一个公共点，求 的取值范围． 大招解读 端点值代入法 （1）确定由抛物线和线段所在直线的表达式得到的方程. （2）抛物线与线段仅有一个交点 时： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 情况1：如图（1），满足条件且 . 图（1） 图（2） 图（3） 情况2：如图（2）,满足条件且时，；时， . 情况3：如图（3）,满足条件且时，；时， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解】设直线的表达式为.把点和 代入得 解得 直线的表达式为.把 代入， 得，，由平移得 二次函数 的图象经过 点和, 解得 .①当时，若抛物线与线段 只有一 个公共点，如图（1），则抛物线上的点在 点的下方， ，解得， ； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 图（1） 图（2） ②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段 只有一个公共 点．如图（2）,,即，解得 或 .当时，抛物线的顶点横坐标为, 不符合题意，舍去. 综上，的取值范围是或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 子题练变式 5.【2024河北唐山期中，中】在平面直角坐标系中，已知二次函数 ，点，.若二次函数 的图 象与线段有两个不同的交点，则 的取值范围为_ __________________． 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 【解析】①如图（1），当时，抛物线对称轴为直线, 时，，解得， . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 ②如图（2），当时， 点，，设直线 的表达式为 ，解得 直线的表达式为 .令 ，整理得 二次函数 的 图象与线段有两个不同的交点，，且 时， ， . 综上,的取值范围为或 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 $