1大招专题1 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数最值问题，以“母题学大招+子题练变式”构建分层练习体系，通过母题引入几何定理法、代数法等解题方法，结合超链接跳转实现前后知识点衔接，为学生搭建递进式学习支架。 其亮点在于融合数学眼光中的几何直观与数学思维中的运算能力，如母题通过共线性质求线段差最值，子题用两点之间线段最短变式训练，帮助学生抽象问题本质。教师可直接编辑使用，学生能在变式中提升解题能力，有效落实核心素养培养。

数 学 九年级下册 XJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第1章 二次函数 大招专题1 二次函数中的最值问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 几何定理法求线段之和（差）最值 1.［中］如图，已知抛物线过点，，其对称轴为直线 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求该抛物线的表达式. 【解】 抛物线过点，，且它的对称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点的坐标为.设抛物线表达式为.把 代入， 得，解得， 此抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限. ①当的面积为15时，求点 的坐标； 图（1） 【解】如图（1），点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象 限， 设，直线的表达式为，则 ，解 得， 直线的表达式为.设直线 与抛物线对称轴交于 点，则， ， ，解得或（舍去）， 点 的坐标 为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ②在①的条件下，是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点 的坐标. 【解】设直线的表达式为.把，代入得 解得 直线的表达式为 . 图（2） 如图（2），当的值最大时，点，， 在同一条直线上. 是抛物线上的动点， 联立得 解得（舍去）， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 关键点拨 当,,共线时, 的值最大. 大招解读 几何定理法求线段之和（差）最值 （1）线段之差最大问题：当两定点和动点共线时，线段之差最大，所以动点在两 定点所在的直线上，求解时可过两定点作直线. （2）线段（周长）之和最小问题：这类问题一般是将军饮马中“两定点，定线上 一动点”，求解时作对称点，将求和的两条线段转化到一条线段上. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 子题练变式 两点之间线段最短 2.【2024山东济宁期中，中】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，， ，连 接和 . （1）求抛物线的表达式. 【解】，，， .将 ，代入，得 解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标. 【解】由可知，对称轴为直线 .由抛物线的 对称性可知，点与点关于对称轴对称.如图，设 交对称轴于 点,连接,则 .由两点之间线段最短可知，此时 最小，而的长度是定值，故此时 的周长取得最 小值.由可知，点的坐标为.设直线 的表 达式为，将点代入，得， 直线的表达式为 ， 当时，， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 母题学大招2 代数法求线段最值 3.【2024山西晋中期中，中】如图，在平面直角坐标系中，抛 物线与轴交于点，（点在点 的左侧）， 与轴交于点，且点的坐标为 ． （1）求点 的坐标； 【解】 点在抛物线上，， . 令，得，解得或， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线 距离的最大值. 【解】由（1）知，.过点作，交 的延长线于点 ，过点作轴,垂足为，交于点 ，如图. ，，， 是等腰直角三角形， 轴，， 是 等腰直角三角形，， 当最大时，最大.设直线 的表达式为，将代入得，， 直线 的表 达式为.设，则 ， .， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 当时，取得最大值,为，， 点 到 直线距离的最大值为 . 大招解读 代数法求线段最值 二次函数图象中求线段最值时，常用代数法：设出动点坐标，利用坐标表示出线 段长度，构造二次函数，利用二次函数的性质求最值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 子题练变式 4.【2025山东济南质检，中】如图，抛物线 （，为常数）与轴交于， . （1）求抛物线的表达式； 【解】抛物线（，为常数）与 轴交于 ，， 把， 代入，得 解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 （2）点在抛物线上，且点的横坐标为，直线与抛物线的对称轴交于点 ， 抛物线的顶点为，求 的面积； 【解】， 抛物线对称轴为直线 ，顶点 的坐标为.当时，， . 设直线的表达式为.将代入，得，解得， 直 线的表达式为，令，则，. ， ，的面积为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 思路分析 将抛物线表达式转化为顶点式，可得顶点的坐标，由的横坐标求得点 的坐标， 然后求出直线的表达式，进而求得的坐标，可得的长，即可求得 的面积. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （3）在（2）的条件下，点是抛物线上一动点，求线段 长的最小值. 【解】设 ， ， 的最小值 为，长的最小值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 母题学大招3 铅垂法巧求面积最值 5.【2024河南洛阳期中，中】如图，抛物线 ,,为常数，经过点，， . （1）求抛物线的表达式. 【解】设.把代入，得 ， 解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （2）如图，连接,点在直线下方的抛物线上,求出的面积最大时点 的坐标. 【解】如图，过点作轴于点，交于点.由 , ,易得直线的表达式为 .设 ，则 ， ，， 当 时，有最大值，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 大招解读 铅垂法巧求面积最值 铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是 斜三角形面积问题.具体公式为三角形面积等于水平宽 和铅垂高乘积的一半.三角形的水平宽指的是两个顶点 之间的水平距离，而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 结论证明 证明:如图, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 子题练变式 6.【2024湖北荆门期中，较难】如图，已知抛物线 与轴交于点，与轴交于, 两点 （点在点 左边）. （1）请直接写出,, 三点的坐标. 【解】,,.当时，，.当 时， ，解得，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 （2）若点是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点 的坐标. 【解】如图，过点作轴于点，交于点 ，则 ， ， 设直线的表达式为 .把 ，代入，得解得 直线 的 表达式为.设，则 ， ， 当 时，取最大值，即的面积最大， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 关键点拨 先求出直线的表达式，易知取最大值时,面积最大,利用坐标将 的 长表示出来，根据二次函数的性质就可以求出点 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 $