第1章 大招专题1 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(湘教版)

数 学 九年级下册 湘教版 1 2 3 第1章 二次函数 4 大招专 题1 二次函数中的最值问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 几何定理法求线段之和（差）最值 1.【2023天津红桥区期中，中】如图，已知抛物线过点， ，其对称轴 为直线 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求该抛物线的表达式. 【解】 抛物线过点，，且它的对称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点的坐标为.设抛物线表达式为.把 代入， 得，解得， 此抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限. ①当的面积为15时，求点 的坐标； 图（1） 【解】如图（1），点是抛物线对称轴上的一点，且点 在 第一象限， 设，直线的表达式为 ， 则，解得， 直线的表达式为 .设直线 与抛物线对称轴交于点，则 ， ， ，解 得或（舍去）， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ②在①的条件下，是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点 的坐标. 【解】设直线的表达式为.把，代入得 解得 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 如图（2），当的值最大时，点，， 在同一条直线上. 图（2） 是抛物线上的动点， 联立 解得（舍去）， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 大招解读 几何定理法求线段之和（差）最值 （1）线段之差最大问题：当两定点和动点共线时，线段之差最大，所以动点在两 定点所在的直线上，求解时可过两定点作直线. （2）线段（周长）之和最小问题：这类问题一般是将军饮马中“两定点，定线上 一动点”，求解时作对称点，将求和的两条线段转化到一条线段上. 关键点拨 （2）②当,,共线时, 的值最大. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 子题练变式 两点之间线段最短 2.【2024山东济宁期中，中】如图，抛物线与轴交于， 两点， 与轴交于点，，，连接和 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 （1）求抛物线的表达式. 【解】，，，.将， 代入 ，得解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标. 【解】由可知，对称轴为直线 .由抛物线的 对称性可知，点与点关于对称轴对称.如图，设 交对称轴于 点,连接,则 .由两点之间线段最短可知，此时 最小，而的长度是定值，故此时 的周长取得最 小值.由可知，点的坐标为.设直线 的表 达式为，将点代入，得， 直线的表达式为 ， 当时，， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 母题学大招2 代数法求线段最值 3.【2024山西晋中期中，中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧），与 轴 交于点，且点的坐标为 ． （1）求点 的坐标； 【解】 点在抛物线上，， ， 令，得，解得或， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线 距离的最大值. 【解】由（1）知，.过点作，交 的延长线 于点，过点作轴,垂足为，交于点 ，如 图. ，，， 是等腰直角三 角形，轴， ， 是等腰直角三角形， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 当最大时，最大.设直线的表达式为，将 代入得 ，， 直线的表达式为 .设 ，则 ， .， 当 时，取得最大值,为，， 点到直线 距离的最 大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 大招解读 代数法求线段最值 二次函数图象中求平行于坐标轴的线段最值问题时，常用代数法：设出动点坐标， 利用坐标表示出线段长度，构造二次函数，利用二次函数的性质求最值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 子题练变式 4.【2024山东日照期中，中】如图，已知抛物线 是由 抛物线平移得到的，且与轴交于，两点， 为第四象限抛物 线上一动点，连接，作轴于，设点横坐标为 . （1）求， 两点坐标. 【解】 抛物线是由抛物线平移得到的， ， .令，则或3， 点, 的坐标分别为 , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （2）求 的最大值. 【解】 点的横坐标为,, 点， , ，即 的最 大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 母题学大招3 铅锤法巧求面积最值 5.【2024河南洛阳期中，中】如图，抛物线,, 为常数， 经过点，， . （1）求抛物线的表达式. 【解】设.把代入，得 ， 解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 （2）如图，连接,点在直线下方的抛物线上,求出的面积最大时点 的坐标. 【解】如图，连接,,过点作轴于点，交于点 .由 ,,易得直线的表达式为 .设 ，则 ， ，， 当 时，有最大值，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 大招解读 铅锤法巧求面积最值 铅锤法是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是斜三角形面积问题.具体公 式为三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半.三角形的水平宽指的是两个顶点 之间的水平距离，而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 结论证明 证明:如图, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 子题练变式 6.【2024湖北荆门期中，较难】如图，已知抛物线 与轴交于点，与轴交于, 两点 （点在点 左边）. （1）请直接写出,, 三点的坐标. 【解】,,.当时，，.当 时， ，解得，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （2）若点是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点 的坐标. 【解】如图，过点作轴于点，交于点 ，则 ， ， 设直线的表达式为 ， 把，代入，得解得 直线 的表达式为.设，则 ， ， 当 时，取最大值，即的面积最大， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 关键点拨 （2）先求出直线的表达式，易知取最大值时, 面积最大,利用坐标将 的长表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 $$