第6章 图形的相似全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“图形的相似”全章内容，涵盖相似三角形的性质与判定、位似、相似的应用及综合题等核心考点，通过中考真题导入，衔接三角形全等、勾股定理等旧知，构建递进式知识支架。 其亮点在于精选2025年多地中考题与章测题，解析含思路分析和易错警示，培养学生抽象能力与推理意识，如测量纪念碑高度的应用题提升模型意识。课件支持编辑与超链接跳转，方便教师教学，助力学生深化理解并提升解题能力。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第6章 图形的相似 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 相似三角形的性质与判定 （第1题图） 1.【2025河北中考】如图,在五边形中， ,延长 ,,分别交直线于点, .若添加下列一个条件后，仍无 法判定 ,则这个条件是( ) D A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 【解析】 A ,, , , ,故A不符合题意 B ,, , ,故B不符合题意 C ,, .由A可知 ,故C不符合题意 D 根据，再结合已知条件不能证明 ,故D符合题意 故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2.【2025江苏苏州中考】如图，在中，，， ， 是 线段上一点（不与端点，重合），连接，以为边，在 的右侧作等边 三角形，线段与线段交于点，则线段 长度的最大值为__. （第2题图） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 【解析】如图所示，过点作于.在 中， ， ， , , 由勾股定理易得，. 是等边三角形， .又， ， ，， 当长度取得最小值时， 长度取得最小值.当时，长度取得最小值，此时点 与点重合，长度的最小值为， 长度的最小值为 .， 当长度取得最小值时， 长度 取得最大值，长度的最大值为，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 思路分析 过点作于，在中根据直角三角形的性质得到 ，证明 ，可得.根据可知，当 长度取得最 小值时，长度取得最大值.当时，长度取得最小值，即 长度取得 最小值，此时点与点重合，可求出长度的最小值为，则 长度的最大值为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.【2025江苏扬州中考】如图，在中，对角线 的垂直 平分线与边，分别相交于点， . （1）求证：四边形 是菱形； 【证明】 四边形是平行四边形， ， 对角线的垂直平分线与边，分别相交于点， ， , . 又，，， 四边形 是平 行四边形. ， 四边形 是菱形. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 （2）若，，平分，求 的长. 【解】如图.平分， . 四边形是菱形，， . 四边形是平行四边形，，， ， ，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 考点2 位似 （第4题图） 4.【2025浙江中考】如图，五边形, 是以 坐标原点为位似中心的位似图形，已知点, 的坐标分 别为,.若的长为3,则 的长为( ) C A. B.4 C. D.5 【解析】 点,的坐标分别为,, , 五边形，是以坐标原点 为位 似中心的位似图形， , ，故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 （第5题图） 5.【2025山东烟台中考】如图，在平面直角坐标系中，点 的 坐标为,的顶点的坐标为.以点 为位似中心 作与位似，相似比为2,且与位于点 同 侧；以点为位似中心作与 位似，相似比 为2,且与位于点 同侧……按照以上规律作图，点 的坐标为_ ________. 【解析】与位似,相似比为2，且在点同侧，, 为的中点.设，可得，，解得,, .同 理可得, . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 6.【2025安徽中考】如图，在由边长为1个单位长度的小正 方形组成的网格中建立平面直角坐标系， 的顶 点和均为格点（网格线的交点）．已知点和 的坐标 分别为和 ． （1）在所给的网格图中描出边的中点，并写出点 的 坐标； 【解析】如图所示，点即为所求，点坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 （2）以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为 ， 请在所给的网格图中画出 ． 【解析】如图所示， 即为所求. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 考点3 相似三角形的应用 7.【2025河南中考】焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革 命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活 动，记录如下. 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和 测量示意 图 __________________________________________________________________________ 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端 的影子 落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点 处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点,点,, 在一条直线 上，纪念碑底部点 在观测者的水平视线上 测量数据 ,,, 备注 点,,, 在同一水平线上 根据以上信息，解决下列问题. 续表 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （1）由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得 ,请说明理由. 【解】 太阳光线是平行光线， . 又 ， , . ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 （2）求纪念碑 的高度. 【解】设与的交点为 ，如图. 由题意得， ， ， . 设，则 ， 易知，,即，解得 . 答：纪念碑的高度为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 （3）小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为 .查阅 资料得知，纪念碑的实际高度为 .请判断小红的结果和（2）中的结果哪个 误差较大?并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）. 【解】小红的结果误差较大，原因可能是平台底部点 不可直接到达，间接测量时 产生了较大的误差（原因合理即可）. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 考点4 相似三角形的综合 （第8题图） 8.【2025江苏苏州中考】如图，在正方形中，为边 的中 点，连接，将沿翻折，得到，连接， ， 则下列结论不正确的是( ) D A. B. C.的面积 的面积 D.四边形的面积 的面积 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 【解析】过点作，分别交,于点, ，如图.由翻 折的性质得，为边 的中 点，，， 是 的外角， ， ，，故选项A结论正确，不符合题意. 四边形 为正方形，, ， .设 为边 的中点，. 由翻折的性质得 ， ，，， 易得四边形 和四 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 边形均为矩形，， ， ， ， .设，则，， ， ， ，解得，，， ， ，， ，故选项B结 论正确，不符合题意.的面积， 的面积 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ，的面积 的面积，故选项C结论正确，不符合 题意. 四边形的面积的面积 的面积 ，的面积， 四边形 的面 积 的面积，故选项D结论不正确，符合题意.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 归纳总结 折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 9.【2025四川宜宾中考】如图，在中， ，.将射线 绕点顺时针旋转 到，在射线上取一点，连接，使得 面积 为24，连接，则 的最大值是__________. （第9题图） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 【解析】由题意得 面积为24， ,.如图，过点 向上作 线段，使得 , ，即 ， .连接， ， ，.又 ， ， ，故点在以 为直径的圆上.记圆 心为，连接,的半径.连接并延长与交于点 ， 此时为的最大值. ， .故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 关键点拨 本题考查了相似三角形的判定与性质，分析出点在以 为直径的圆上是解题的 关键. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 10.【2025四川宜宾中考】如图，过原点的直线与反比例函数 的图 像交于，两点，一次函数的图像过点 与反比例函数交于另 一点，与轴交于点，其中， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 （1）求一次函数的表达式，并求 的面积. 【解】把代入中得，解得， 反比例函数表达 式为.对于，当时，， . 把，代入中得解得 一次函数 的表达式为 . 对于，当时，，， ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 （2）连接，在直线上是否存在点，使以，， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 【解】存在. 直线经过原点， 易知点的坐标为， . ，， , ， ， ， ， ， ， . 与相似， 只存在和 这两种情况. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 如图（1），当时，，， 点为 的中 点， 点的坐标为 . 图（1） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 图（2） 如图（2），当时，，则 ， ， . 设 ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解得，， 点 的坐标为 . 综上所述，点的坐标为或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 易错警示 注意存在和 这两种情况，不要漏解. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 章测 一、选择题（共30分） 1.若线段，线段，则，的比例中项 为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为是,的比例中项，所以，即，解得 （负值舍去）.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 （第2题图） 2.【2024江苏宿迁期末】如图，，直线， 分别交 直线，，于点，，和点，，，若， ， ，则 的长是( ) C A.3 B.4 C.3.2 D.5.6 【解析】，，即. ， ，，， .故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 （第3题图） 3. 传统文化 【2025江苏扬州期末】在欧几里得的《几何原 本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示，以线段 为边作正方形，取的中点，连接，延长至 ，使得 ，以为边作正方形，则点即是线段 的黄金分 割点.若记正方形的面积为，矩形的面积为，则 与 的比值是( ) D A. B. C. D.1 【解析】是的黄金分割点，.由题意得， ， ，，即 .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 4.如图，在中，为上一点，有下列四个条件: ， ，， ，从中随机抽取一个， 能使和 相似的概率是( ) C （第4题图） A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.1 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 【解析】 ① 当时，， ，①符合题意 ② 当时,， ，②符合题意 ③ 当时，.， ，③符合题意 ④ 当时，.， 不能判定和 相 似，④不符合题意 从中随机抽取一个，能使和 相似的概率是0.75.故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 （第5题图） 5. 【2025浙江衢州一模】如图，在 中， ，连接，点为中点，且 ， 点是延长线上一点，连接，作 ， 交延长线于点.令，，则关于 的函数 表达式是( ) B A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 44 【解析】如图，设,交于点，过点 作 ， ， ， , ， ， ，. 点为中点， ， ，,， ， ， ， ，即，. , 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 ， , ，. 又 ， ， ，即 ， .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 关键点拨 本题的解题关键是利用相似的性质抽象出相应的函数关系式. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 47 6.【2024江苏镇江期末】如图，在矩形中，， .将 矩形沿对角线折叠，点的对应点为，连接，则 的长 是( ) C A.1.5 B. C.1.4 D.1 【解析】如图，设与交于点. 矩形中， ， .由折叠的性质可知 , ,.由折叠的性质可知 ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 , 易得， .在 和 中，, 在矩形中，，， ， .设 ，则.在 中，根据勾股定理得 ,即，解得，.， ， ， ，，，即 ，解得 .故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 思路分析 设与交于.先根据平行线的性质得到 ,然后根据折叠的性质 得到，从而可得到 .根据折叠的性质得到 ，,证明 ,再根据全等 三角形的性质得到.根据勾股定理得到 .设 ，则，根据勾股定理得到 .最后根据相似三角形的判 定与性质即可得到结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 50 二、填空题（共20分） 7.已知，那么 __. 【解析】，， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 51 8.如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以点 为圆 心，4个单位长度为半径作圆，点是上的一个动点，则 的最小值为 ______． （第8题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 52 【解析】如图，在上截取，连接，， 为公共 角， ， ，，， 当，， 共线时， 的值最小，此时.由题意得，， ， ，的最小值为，故答案为 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 53 思路分析 在上截取，连接，，可证 ，进而得出 ，则，，共线时有最小值，即为 的长． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 54 9.如图，在中，，，是的平分线，是 的中点， 交于，交的延长线于，则 ___． 5 （第9题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 55 【解析】如图，过点作交的延长线于点 是 的平分线，， ， ，， 易得 ，， 设， ，则 是的中点，， ， ，，， ， ，，． 故答案为5． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56 10.【2024江苏南京期末】如图，在中， ，过点 作，交的平分线于点，与相交于点 .若 ，，则 的长为___. 4 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 57 【解析】如图，过点作于点，过点作交 的延 长线于点，则 , ， ， , ， ， ， , ，平分， ， ，,， ， ， ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 58 ， , ， , ， ，，， ，故答案为4. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、解答题（共50分） 11.【2025吉林长春期中】图（1）、图（2）、图（3）均是 的正方形网格， 每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点. 的顶点均在格点 上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中分别按下列要求画图，不用写画法. 图（1） 图（2） 图（3） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 （1）在图（1）中画一个格点，画直线，使 . 【解】如图（1）所示，点和直线即为所求（点 位置不唯一）. 图（1） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 61 （2）在图（2）中画一个格点，点在直线上，连接，使 . 【解】如图（2）所示，点和即为所求（点 位置不唯一）. 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 62 （3）在图（3）中画一个格点，点不在直线上，连接， ，使 . 【解】如图（3）所示，点，和 即为所求. 图（3） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 63 12.【2025浙江宁波模拟】如图，点是斜边 上的 一点，以为直径的交边于，两点，连接, , ，平分 . （1）求证： ； 【证明】由题意知四边形内接于， . ， . 是直径， ，， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 64 （2）若,，求 的长； 【解】平分，， . ，, 设， . ,， ,解 得（负值已舍去）， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 65 （3）若,，求 的长. 【解】如图，连接 . 由（2）知， . ， ， ， . 又,，， . 设，的半径为，则 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 66 四边形内接于， 易得 .又 ，，，即 ，解 得 （负值已舍去）. ，. , . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.【2024江苏宿迁期末】如图（1），已知， 都是等腰直角三角 形， ，，为的中点，将绕点 顺时针旋转 ，如图（2），连接, . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 68 （1）求证： ； 【证明】是等腰直角三角形，， ， ， ，，.同理可得 ， ， .又， ， ， . 思路分析 先判断出 ，再判断出夹角相等，即可得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 69 （2）当 时，求 的长； 【解】旋转前，点是的中点， .如图（1），取 的中点，连接，则， .由题意得 ，是等边三角形， ， ， ， ， ， .由（1）知， ，，即， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 70 思路分析 先判断出是等边三角形，进而判断出 ，求出 ，借助（1）的 结论得出比例式，即可得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 71 （3）当，，三点在同一直线上时，求 的长. 【解】①当点在线段上时，如图（2）.∵ ， . 在 中，根据勾股定理得 . 在中，， . 由（1）知，，，即 ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 72 ②当点在线段 的延长线上时，如图（3）.同①的方法得 ，.由（1）知 ， ，即， . 综上所述，的长为或 . 思路分析 分两种情况，先判断出 ，利用勾股定理求出，进而得出 ，最后 借助（1）中的结论得出比例式，即可求出 的长. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 73 $