专题02 相似三角形压轴题（期末复习压轴题专项训练）数学苏科版九年级上学期

专题02 相似三角形压轴题 目录 典例详解 类型一、相似三角形与动点最值问题（选择、填空压轴） 类型二、相似三角形与几何变换综合问题（解答题压轴） 类型三、相似三角形与圆综合问题（解答题压轴） 类型四、相似三角形与函数综合问题（解答题压轴） 压轴专练 类型一、相似三角形与动点最值问题（选择、填空压轴题） 一、核心知识 相似三角形的判定定理： AA（两角对应相等）：最常用，尤其适用于有公共角、对顶角或直角的情况。 SAS（两边对应成比例且夹角相等）：需注意夹角必须是两组对应边的夹角。 SSS（三边对应成比例）：较少用于压轴题，多用于静态证明。 二、解题方法与技巧 1. 设参建模：设动点运动时间为 t 或线段长度为 x，用参数表示目标三角形的各边长度或顶点坐标。 2. 分类讨论： · 若题目未明确相似三角形的对应顶点，必须分情况讨论对应关系。 · 结合图形的几何特征（如直角、特殊角）排除不可能的对应情况。 3. 列比例式求解：根据相似三角形的对应边成比例，列出含参数的方程，解方程后检验结果是否符合图形的实际意义（如线段长度为正、动点未超出运动范围）。 4. 数形结合：结合坐标系或几何图形，画出动点运动的关键位置（如相似时的位置），辅助分析。 例1．如图，点为边延长线上一点，连接，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在边长为1的正方形中，E，F分别为线段，上的动点，且，连接B，F，过E点作于点H，连接C，H，则的最小值为 ． 变式1-2．如图，已知点，点B为直线上的一个动点，点且垂足为点C，连接．若与y轴正半轴的所夹锐角为，当的值最大时，x的值为 ． 类型二、相似三角形与几何变换综合问题（解答题压轴） 一、核心知识 1. 几何变换的性质：平移、旋转、折叠前后的图形全等，对应角相等、对应边相等。 2. 相似三角形的判定与性质：对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 3. 特殊图形的性质：如等腰直角三角形的直角、45° 角，矩形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直平分等。 二、解题方法与技巧 1. 抓变换不变量：几何变换不改变图形的形状和大小，因此变换前后的对应角相等，这是证明相似的关键（优先用 AA 判定）。 2. 找等量代换关系：通过变换性质得到相等的边或角，结合图形中的公共角、对顶角、平行线的内错角等，推导目标三角形的角相等。 3. 利用变换后的位置关系：例如旋转后对应线段的夹角等于旋转角，折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，结合这些性质构建相似条件。 例2．在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点B的对应点为点E． 【初步感知】（1）如图1，当点E在的垂直平分线上时，求的度数； 【探究应用】（2）如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接并延长交于点N．若，求： ①的长； ②求的面积． 变式2-1．综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】在矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． 【初步感知】（1）如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，点在矩形内部，当为直角三角形时，求的长．（在备用图中画出简图并直接写出答案）． 变式2-2．问题背景：某数学兴趣小组研究图形旋转的性质，将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转．已知：三角形纸片和中，，点为边的中点，旋转角为小组经测量得知． 【初步感知】 (1)①线段的长度为 ； ②在旋转过程中，当为锐角且时，旋转角 ； (2)如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 (3)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 (4)在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为一直角边的直角三角形．若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 类型三、相似三角形与圆综合问题（解答题） 一、核心知识 1. 圆的相关性质： 切线的性质：切线垂直于过切点的半径。 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。 圆内接四边形的性质：对角互补，外角等于内对角。 2. 相似三角形的判定定理 二、解题方法与技巧 1.找等角证相似：利用圆的性质推导角相等，是解题的核心。例如： · 切线与半径垂直 → 直角相等； · 同弧所对的圆周角相等 → 角相等； · 圆内接四边形的外角等于内对角 → 角相等。 2.构造相似模型：若直接找角相等困难，可通过作辅助线构造相似三角形，常见辅助线有： · 连接圆心与切点，构造直角三角形； · 作直径，构造直角圆周角； · 连接圆上的点，利用圆周角定理转化角。 3.结合相似性质求线段：通过相似三角形的对应边成比例，求解圆的半径、切线长、弦长等。 例3．如图，在中，，，，动点D由点C向点B以每秒3速度在边上运动，动点E由点C向点A以每秒4速度在边上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（t>0），连接DE (1)求证：； (2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为，连接并延长交于点H． ①猜想直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②在点D、点E运动过程中，若与边交于点 M、N（点M在点N下方，如图3），连接并延长交边于点H，连接，当与相似时，直接写出t值． 变式3-1．如图，四边形为圆内接四边形，点为的中点，对角线与交于点，点在上，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的值（用含的代数式表示）； (3)若，的面积为2，求的值． 变式3-2．已知：如图，在中，， ， ．点P为边上一动点（不与点B，点C重合），以为直径作圆，圆心记为点O，连接交于点E．过点B作，与交于点D，连接． (1)当∠时，求的长； (2)当为等腰三角形时，求所有满足条件的的长． (3)延长交边于点F，若，求的值．（用含k的代数式表示，直接写出答案） 类型四、相似三角形与函数综合问题 一、核心知识 1.一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质； 2.相似三角形的判定与性质。 3.坐标系中三角形面积的计算：割补法、铅锤法 S=水平宽铅锤高 二、解题方法与技巧 1.求函数解析式：根据题目给出的点坐标，用待定系数法求二次函数解析式，这是后续解题的基础。 2.参数化表示点坐标：设动点坐标，用t表示目标三角形的各边长度或角的三角函数值。 3.分类讨论相似关系：同 “动点型”，未明确对应顶点时需分情况列比例式，结合抛物线的定义域（动点的取值范围）检验解的合理性。 4.结合函数性质简化计算：利用抛物线的对称性，减少计算量（如对称轴两侧的点坐标对称）。 例4．综合运用 如图，中，，点E在的下方，，平分，在线段上取点F，使，设． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，判断之间的数量关系并说明理由． (3)如图3，现以所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立平面直角坐标系，A、C两点的坐标分别为，（实数）．若（为常数且），求面积S关于n的函数表达式． 变式4-1．如图1，已知一次函数 的图象经过点，与反比例函数的图像交于点，且点的横坐标为 ，过点作轴于点，且 ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如图2 ，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． (3)如图3，点为第一象限内反比例函数图像上的一动点，连接并延长交反比例函数图像于点，平面内有一点，直线与直线相交于点；当时，记的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 变式4-2．已知：如图，抛物线的图像开口向上，与轴交于点、（在的左边），与轴交于点，顶点为，，且. (1)求抛物线的对称轴和函数解析式； (2)把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为，并与轴的交于点，求抛物线的函数解析式； (3)在（2）的基础上，点是轴上一点，当与相似时，求点的坐标. 1．如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 2．如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在正方形中，，点在上，且，连接，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，点的对应点落在上，点的对应点为，连接，则的长为 ． 4．如图，中，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，（1）当N点在上时 ；（2）周长的最小值为 ． 5．如图，、是的直径，点在上，，点从点出发沿顺时针方向绕圆心O旋转，当 时，直径在中截得的三角形与相似． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为． （1）的值为 ； （2）若边轴，反比例函数的图象经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上时，的值为 ． 7．如图，矩形中，，．点为的中点，连接，点为上一个动点，点为矩形另一边上的一个动点，过直线将矩形折叠，使点的对应点始终落在上，当与相似时，的长为 ． 8．如图，在矩形中，，，是上的一个动点． (1)如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长； (2)如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长； (3)如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值． 9．综合与探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，矩形中，，，P是边上一点． 【动手操作】第一小组对纸片做了如下操作，如图1，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕；P为边上的一个动点，将沿折叠后得到，使点A的对应点落在上，连接，则的值为________； 【思考探究】第二小组继续操作，将矩形展开，当动点P在线段中点处时，将沿折叠后得到，得到点A的对应点，延长交于点E．如图2，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】第三小组进行了更加深入地思考，当动点P与点M重合时，将沿折叠后得到，延长交于点F，则此时的值为________． 10．在中，于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，且点落在边上． (1)如图1，点落在边上时，连接． ①求证：； ②求的长； (2)如图2，点落在内部时，延长交延长线于点，连接．当时，求的面积． 11．如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：． (2)当，时，①求线段的长；②求的值． (3)如图2，在（2）的条件下，若为直径，点G、F分别在，上，，且H为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为轴，垂足为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)是轴上的一个动点，如果，求点的坐标． 13．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形压轴题 目录 典例详解 类型一、相似三角形与动点最值问题（选择、填空压轴） 类型二、相似三角形与几何变换综合问题（解答题压轴） 类型三、相似三角形与圆综合问题（解答题压轴） 类型四、相似三角形与函数综合问题（解答题压轴） 压轴专练 类型一、相似三角形与动点最值问题（选择、填空压轴题） 一、核心知识 相似三角形的判定定理： AA（两角对应相等）：最常用，尤其适用于有公共角、对顶角或直角的情况。 SAS（两边对应成比例且夹角相等）：需注意夹角必须是两组对应边的夹角。 SSS（三边对应成比例）：较少用于压轴题，多用于静态证明。 二、解题方法与技巧 1. 设参建模：设动点运动时间为 t 或线段长度为 x，用参数表示目标三角形的各边长度或顶点坐标。 2. 分类讨论： · 若题目未明确相似三角形的对应顶点，必须分情况讨论对应关系。 · 结合图形的几何特征（如直角、特殊角）排除不可能的对应情况。 3. 列比例式求解：根据相似三角形的对应边成比例，列出含参数的方程，解方程后检验结果是否符合图形的实际意义（如线段长度为正、动点未超出运动范围）。 4. 数形结合：结合坐标系或几何图形，画出动点运动的关键位置（如相似时的位置），辅助分析。 例1．如图，点为边延长线上一点，连接，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的做出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，得到线段和的长，进而求出与相等，过点作，根据勾股定理得出的长，只有时，的值最小，通过相似三角形对应线段成比例即可得到的最小值． 【详解】解：， ， ， 解得，（负值舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，如图所示， ， ， ，， ， 当时，的值最小， ， ， ， 即， ； 故选A． 变式1-1．在边长为1的正方形中，E，F分别为线段，上的动点，且，连接B，F，过E点作于点H，连接C，H，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】先以A为坐标原点，建立直角坐标系，再分别求出、的解析式，由此求得的坐标，求出，由此可得出点在以为圆心，半径为1，圆心角为的扇形的圆弧，当在正方形的对角线上时，有最小值，并求出最小值即可． 【详解】解：如图，以A为坐标原点，建立直角坐标系，其中点B在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上，连接，过H作轴于点J，过点E作于点I， 则，， 设，则， ， ， ∵四边形是边长为1的正方形， ，， ，，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 所以直线的解析式为， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由①②得， 又， ， ， ， 设，则， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， ，解得：， ， ， ∵E，F分别为线段，上的动点，且， ∴点在以为圆心，半径为1，圆心角为的扇形的圆弧， 当在正方形的对角线上时，有最小值， ，， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 变式1-2．如图，已知点，点B为直线上的一个动点，点且垂足为点C，连接．若与y轴正半轴的所夹锐角为，当的值最大时，x的值为 ． 【答案】/0.5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，证明，可得，再由，可知当最大时，最小，求出直线的解析式为，可求，则可求出的值最小时，的值，熟练掌握三角形相似的判定与性质，二次函数的图象及性质，直角三角的正切值的定义是解题的关键． 【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点， 设， ， ， ， ， ， ， 点，点， ，，，， ， ，且， ， ， ， 与轴正半轴的所夹锐角为， ， 当最大时，最小， 设直线的解析式为， ， ， ， ， ， 当最小时，最小， ， ， ， 时，的值最小， 即当的值最大时，x的值为． 故答案为：． 类型二、相似三角形与几何变换综合问题（解答题压轴） 一、核心知识 1. 几何变换的性质：平移、旋转、折叠前后的图形全等，对应角相等、对应边相等。 2. 相似三角形的判定与性质：对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 3. 特殊图形的性质：如等腰直角三角形的直角、45° 角，矩形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直平分等。 二、解题方法与技巧 1. 抓变换不变量：几何变换不改变图形的形状和大小，因此变换前后的对应角相等，这是证明相似的关键（优先用 AA 判定）。 2. 找等量代换关系：通过变换性质得到相等的边或角，结合图形中的公共角、对顶角、平行线的内错角等，推导目标三角形的角相等。 3. 利用变换后的位置关系：例如旋转后对应线段的夹角等于旋转角，折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，结合这些性质构建相似条件。 例2．在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点B的对应点为点E． 【初步感知】（1）如图1，当点E在的垂直平分线上时，求的度数； 【探究应用】（2）如图2，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交边于点F，M是的中点，连接并延长交于点N．若，求： ①的长； ②求的面积． 【答案】（1）；（2）（3）①；② 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、线段垂直平分线的性质、折叠问题 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和翻折的性质得出等边三角形，即可求解； （2）连接，根据正方形的性质证明，得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （3）①过点作于点，作于点，连接，根据同高三角形的性质得出底的比，假设，利用勾股定理及面积比求出，即可求出；②证明，，求出相应的边长，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴； （3）①如图，过点作于点，作于点， ∵与为同高的三角形， ∴， 假设， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的面积为． 变式2-1．综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】在矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． 【初步感知】（1）如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点在线段上，．点在移动过程中，点在矩形内部，当为直角三角形时，求的长．（在备用图中画出简图并直接写出答案）． 【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）作图见详解，或 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，为半径的的弧上，连接，由点与圆周上动点连线构成的线段中，当点在线段上时，有最小值，根据勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，分三种情况：；；求解．此种情况不存在；当时，过点作于，如图所示，根据折叠性质，结合勾股定理列方程求解得到的长为；当时，过点作于，交于点，证明，可得，设，根据勾股定理得到关于的方程，可得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 由折叠可得， ∵四边形为矩形， ， ∵为的中点， ， ， 在与中， ， ∴， ； （2）解：，点在移动过程中，不变， ∴点在以为圆心，为半径的的弧上，连接，如图所示： 由点与圆周上动点连线构成的线段中，当点在线段上时，有最小值， ， ， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值为； （3）解：由为直角三角形，分三种情况：；；； 当时，，则点在边上， 该情况与题中点在矩形内部矛盾，此种情况不存在； 当时，过点作于，如图所示： 由折叠性质可得，，， 在矩形中，， ，， 三点共线， ， 四边形是矩形， 则， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 即， ， 解得， 则的长为； 当时，过点作于，交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ， 解得， 即的长为． 变式2-2．问题背景：某数学兴趣小组研究图形旋转的性质，将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转．已知：三角形纸片和中，，点为边的中点，旋转角为小组经测量得知． 【初步感知】 (1)①线段的长度为 ； ②在旋转过程中，当为锐角且时，旋转角 ； (2)如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 (3)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 (4)在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为一直角边的直角三角形．若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 10 或 (2) (3)12 (4)的长为或，理由见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理得到，则，再根据勾股定理得到，②结合已知角的正弦值与旋转角的关系求解； （2）通过证明，利用相似三角形的性质求的值； （3）同（1）得，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，再证明是矩形，进而求出的长度； （4）在纸片绕点旋转过程中，当三点能构成直角三角形时，且以为一直角边的直角三角形分2种情况，结合勾股定理求 的长． 【详解】（1）解：①在中，， 则， ②已知，当且为锐角时，， 当在内部时，旋转角， 当在外部时，旋转角。 故答案为：①10，②或； （2）解：在和中， ∴， ，， ， 即， 由（1）知，， ， ∵， ， ∴， ， ∴， 故为； （3）解：连接，延长交于点，连接交于，延长交于，如图， 同（2）得， ∴， ∵点为边的中点 ∴是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ， ， ； （4）解：三点能构成以为一直角边的直角三角形，理由如下， ①当时，是直角三角形，过点作于点，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，则， ∴； ②当时，是直角三角形，过点作于点，交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ∴，， ∴， 综上所述，的长为或． 类型三、相似三角形与圆综合问题（解答题） 一、核心知识 1. 圆的相关性质： 切线的性质：切线垂直于过切点的半径。 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。 圆内接四边形的性质：对角互补，外角等于内对角。 2. 相似三角形的判定定理 二、解题方法与技巧 1.找等角证相似：利用圆的性质推导角相等，是解题的核心。例如： · 切线与半径垂直 → 直角相等； · 同弧所对的圆周角相等 → 角相等； · 圆内接四边形的外角等于内对角 → 角相等。 2.构造相似模型：若直接找角相等困难，可通过作辅助线构造相似三角形，常见辅助线有： · 连接圆心与切点，构造直角三角形； · 作直径，构造直角圆周角； · 连接圆上的点，利用圆周角定理转化角。 3.结合相似性质求线段：通过相似三角形的对应边成比例，求解圆的半径、切线长、弦长等。 例3．如图，在中，，，，动点D由点C向点B以每秒3速度在边上运动，动点E由点C向点A以每秒4速度在边上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（t>0），连接DE (1)求证：； (2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为，连接并延长交于点H． ①猜想直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②在点D、点E运动过程中，若与边交于点 M、N（点M在点N下方，如图3），连接并延长交边于点H，连接，当与相似时，直接写出t值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形——动点问题 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，会根据两个三角形之间的关系求出各个线段之间的关系是解题的关键．（1）直接证明，结合可得；（2）①由，可得，由可得，再证明即可；②先求出，，再分情况讨论，当时， ，当时，，分别代入列方程求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ∵，，， ∴，， ∴， 又 ∵， ∴； （2）① 证明：∵经过点，，三点， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 解：由和，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由半径相等可得， 当时，， 则， 解得：； 当时，， 则， 解得：； 综上所述，当与相似时，或． 变式3-1．如图，四边形为圆内接四边形，点为的中点，对角线与交于点，点在上，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的值（用含的代数式表示）； (3)若，的面积为2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、利用弧、弦、圆心角的关系求证、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据弧，弦，角之间关系，等边对等角，平行线的性质，推出，圆周角定理得到，证明，即可得出结论； （2）根据，得到，进而得到，证明，推出，即，由（1）可知：，进而得到，即可得出结果； （3）连接，作于点，平行面积转化，得到，全等三角形的性质，得到，，进而得到，推出，求出的长，设，得到，勾股定理求出的值，进而求出的长，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为圆内接四边形，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则：， ∴， 在中，， ∴，解得或（舍去）； ∴， ∴． 变式3-2．已知：如图，在中，， ， ．点P为边上一动点（不与点B，点C重合），以为直径作圆，圆心记为点O，连接交于点E．过点B作，与交于点D，连接． (1)当∠时，求的长； (2)当为等腰三角形时，求所有满足条件的的长． (3)延长交边于点F，若，求的值．（用含k的代数式表示，直接写出答案） 【答案】(1) (2)BP的长为或或 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】（1）由圆周角定理得，即可确定是等腰直角三角形，即可求解； （2）①当时，导角证明，则，即可求解；②当时，连接并延长交于H，先证明，则,，求得 ，再证明，，即可求解；③当时，同②可得，同②得：，，可证明，则，故，由勾股定理求出，再由即可求解； （3）延长交于F，过P作交于M，先根据勾股定理表示，证明，表示，则，再由平行线分线段成比例定理得，，则，最后由求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：分三种情况： ①当时，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，连接并延长交于H，如图1所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∵共圆， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时，连接并延长交于H，如图1所示： 同②可得， 同②得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，BP的长为或或； （3）解：过P作交于M，如图2所示： ∵,， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型四、相似三角形与函数综合问题 一、核心知识 1.一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质； 2.相似三角形的判定与性质。 3.坐标系中三角形面积的计算：割补法、铅锤法 S=水平宽铅锤高 二、解题方法与技巧 1.求函数解析式：根据题目给出的点坐标，用待定系数法求二次函数解析式，这是后续解题的基础。 2.参数化表示点坐标：设动点坐标，用t表示目标三角形的各边长度或角的三角函数值。 3.分类讨论相似关系：同 “动点型”，未明确对应顶点时需分情况列比例式，结合抛物线的定义域（动点的取值范围）检验解的合理性。 4.结合函数性质简化计算：利用抛物线的对称性，减少计算量（如对称轴两侧的点坐标对称）。 例4．综合运用 如图，中，，点E在的下方，，平分，在线段上取点F，使，设． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，判断之间的数量关系并说明理由． (3)如图3，现以所在的直线为x轴，中垂线为y轴建立平面直角坐标系，A、C两点的坐标分别为，（实数）．若（为常数且），求面积S关于n的函数表达式． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握以上知识． （1）由题意得是等边三角形，推出，再证是等边三角形，即可求证； （2）过点C作于M，证，推出，进而得；再证，推出，得，即可求解； （3）根据勾股定理得到，求得，与（2）同理可得：，根据相似三角形的性质得到，由题意可知：，，得到，过点C作于H，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ，， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ∴； （2）解：， 理由：过点C作于M， ，， 、， ， ， ， ， 等腰与等腰的底角相等， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：依题意得：，， ， ， ， 等腰与等腰的底角相等， ， ， ， ， ， ， 由题意可知：，， ， ， ， 过点C作于H， ， ， ， 即， ， ， 即S关于n的函数表达式为． 变式4-1．如图1，已知一次函数 的图象经过点，与反比例函数的图像交于点，且点的横坐标为 ，过点作轴于点，且 ． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如图2 ，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． (3)如图3，点为第一象限内反比例函数图像上的一动点，连接并延长交反比例函数图像于点，平面内有一点，直线与直线相交于点；当时，记的坐标为，试判断是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2)或 (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据得出，代入反比例函数解析式，待定系数法求解，将，代入 ，待定系数法求解析式，即可； （2）过点作的平行线与过点作轴的平行线交于点，证明，设，则，，，表示出点代入反比例函数解析式，即可求解； （3）分别求得直线，解析式中相同，可得，根据平行线分线段成比例以及正比例函数与反比例数中心对称的性质可得是的中位线，勾股定理求得，则，过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据，得出，进而得出则表示的是点，根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为 ，过点作轴于点， ∴ ∵ ∴即 解得： ∴ 将代入得 ∴反比例函数解析式为； 将，代入 ∴ 解得： ∴一次函数解析式为 （2）解：如图，过点作的平行线与过点作轴的平行线交于点， ∴ ∵把线段绕点顺时针旋转， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， 设，则，， ∴即 ∵在上 ∴ 解得：或 ∴或 （3）解：由可得直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴ ∴ ∵关于点对称， ∴ ∴，即是的中位线， ∵ ∴， ∴， 如图，过点作轴，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴表示的是点 又∵在反比例函数上， ∴． 变式4-2．已知：如图，抛物线的图像开口向上，与轴交于点、（在的左边），与轴交于点，顶点为，，且. (1)求抛物线的对称轴和函数解析式； (2)把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为，并与轴的交于点，求抛物线的函数解析式； (3)在（2）的基础上，点是轴上一点，当与相似时，求点的坐标. 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)点的坐标为或． 【知识点】二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据坐标轴公式代数进行计算，得对称轴为直线，结合，得，又因为，所以，再运用待定系数法进行求解抛物线的函数解析式，即可作答． （2）先把化为顶点式，得顶点为，结合平移的性质得，把代入，故，即可作答． （3）先分别得出，，，，，，结合与相似进行分类讨论，当时，把数值带入进行计算，或当时，把数值带入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴对称轴为直线， ∵与轴交于点、（在的左边）， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， （2）解：由（1）得， ∴，即顶点为， ∵把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为， ∴， 即， 依题意把代入， 得 解得， ∴，． （3）解：由（1）得， 由（2）得，，， ∵点是轴上一点， ∴设， 则， 记对称轴与的交点为T，连接 ∴ ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点M作轴， ∴ ∵，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， 即， ∵与相似， ∴当时， ∴， ∴， ∴ 解得，或， 当时，如图所示的点， 此时，不符合题意，故舍去； ∴， 即点的坐标； 当时， ∴， ∴， ∴ 解得，或， 当时，如图所示的点， 此时，不符合题意，故舍去； ∴， ∴即点的坐标； 综上：点的坐标为或． 1．如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接 ，又因点在上是一动点，由边与边关系 ，只有当点在直线上时的 和最小，由平行四边形可知时可求的最小值． 【详解】解：设，则；过 点作，且 连接，当点、、 三点共线时，的最值小；如图： ∵ ∴四边形是平行四边形 由点、、三点共线， ∴ 由四边形是矩形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵， 在 中，由勾股定理得： 又∵，则， ∴ 解得∶， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：C． 2．如图，在中，，，，过点A作交BC于点D，点P为线段上的一动点（点P可与点A，点D重合），连接，以为直角边向下作，且，连接，则的最大值和最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、垂线段最短、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定点E在线段上运动是解题的关键；连接交的延长线于点F，过点D作于点G；由题意知，进而可得，则，而，从而，则可证明，，则点E在线段上运动，当与重合时，最小，当与重合时，最大，再求出最小值与最大值即可． 【详解】解：如图，连接交的延长线于点F，过点D作于点G； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P与点A重合时，点E与点B重合，当点P与点D重合时，点E与点F重合， ∴点E在线段上运动， 当与重合时，最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，且， ∴当与重合时，最大，最大值为线段的长，即为， ∵， ∴， 即的最小值为， 综上，的最大值和最小值分别为和． 故答案为：B． 3．如图，在正方形中，，点在上，且，连接，以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，点的对应点落在上，点的对应点为，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】连接，过点作于，过点作于，于点，由旋转可得是等腰三角形，可求得，又可证得到，在等腰三角形中求得，进而得到即可得，在中求得，最终利用勾股定理可得． 【详解】解：连接，过点作于，过点作于，于点， ∵正方形中，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴ ∴， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 4．如图，中，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，（1）当N点在上时 ；（2）周长的最小值为 ． 【答案】 4 / 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），当N点在上时，，此时，进而求出，然后根据得出答案； 对于（2），作，，再根据“角角边”证明，可得，然后说明的周长最小，再作，最后根据勾股定理求出答案. 【详解】解：（1）当N点在上时，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵将线段绕点O按逆时针方向旋转至， ∴， ∴； 故答案为：4； （2）如图，作于H，于J． ∵， ∴， ∵于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线（该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是）， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G． 在中，， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 5．如图，、是的直径，点在上，，点从点出发沿顺时针方向绕圆心O旋转，当 时，直径在中截得的三角形与相似． 【答案】54或72/72或54 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、圆周角定理、垂径定理、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．分时、时和时三种情形，分别画出图形，求出旋转角的度数即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 分三种情况讨论， 当时，如下图，设与交于点， 可有， ∵， ∴，即直径在中截得的三角形与相似， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如下图，设与交于点， 可有， ∵， ∴，即直径在中截得的三角形与相似， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如下图，设与交于点， 可有， ∵， ∴，即直径在中截得的三角形与相似， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去． 综上所述，当或72时，直径在中截得的三角形与相似． 故答案为：54或72． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在直线位于第一象限内的部分上，点的坐标为． （1）的值为 ； （2）若边轴，反比例函数的图象经过点和点，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上时，的值为 ． 【答案】 3 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、矩形与折叠问题 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）待定系数法求出的值即可； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，根据矩形的性质，结合反比例函数图象上的点的特征，得到，，，得到，折叠得到 ，进而推出，证明，求出，，进而得到，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）点在直线上， ； 故答案为：3； （2）由（1）得， ∵矩形， ∴，，，， ∵轴， ∴，轴， ∵， ∴点的横坐标为1，点纵坐标为3， 函数的图象经过点，， ，， ， ， 把矩形沿折叠，点的对应点为， ，， ， 如图，延长交轴于点，延长交轴于点， 轴， 轴，轴， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，由图知，， ， 解得． 故答案为： 7．如图，矩形中，，．点为的中点，连接，点为上一个动点，点为矩形另一边上的一个动点，过直线将矩形折叠，使点的对应点始终落在上，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 当与相似时，则为直角三角形， ①当时，，如图，则， ∴，即：， 解得； ②当时，，则：， ∴，即：， 解得； 综上：或； 故答案为：或． 8．如图，在矩形中，，，是上的一个动点． (1)如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长； (2)如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长； (3)如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，利用相似三角形的性质和判定即可得． （2）根据矩形的性质和角平分线的性质可得，，利用一线三垂直可得，利用三角形全等的性质可得，，过点作于，可先证明，利用三角形相似的性质和勾股定理可得的长． （3）根据矩形的性质和勾股定理可得，设，则，勾股定理结合折叠的性质可得，进而证明，，利用相似三角形的性质可得，故． 【详解】（1）解：如图1，连接， 在矩形中，， 在中，根据勾股定理得， ∵是中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：如图2，在矩形中， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图 2，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，． （3）解：如图3： 在矩形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， 设， ∴， 根据勾股定理得，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．综合与探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，矩形中，，，P是边上一点． 【动手操作】第一小组对纸片做了如下操作，如图1，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕；P为边上的一个动点，将沿折叠后得到，使点A的对应点落在上，连接，则的值为________； 【思考探究】第二小组继续操作，将矩形展开，当动点P在线段中点处时，将沿折叠后得到，得到点A的对应点，延长交于点E．如图2，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】第三小组进行了更加深入地思考，当动点P与点M重合时，将沿折叠后得到，延长交于点F，则此时的值为________． 【答案】动手操作：；思考探究：，见解析；拓展延伸：． 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和HL综合（HL）、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 动手操作：设，根据勾股定理列方程求解即可； 思考探究：由折叠的性质得到，，，证明，得到，设，求出，进而计算即可； 拓展延伸：连接，证明，设，则，求出，根据勾股定理得到，则． 【详解】动手操作：解：∵， ∴， 设， 则， ∴ ， 即 ∴ 即， ∴； 故答案为：； 思考探究：，证明如下： 由题得：，，，， ∵点P为的中点， ∴， 由折叠可知：，，， ∴，， ∴， ， 设 ， ， ∵， 解得： ， 即； 拓展延伸：解：如图，连接， ∵，，， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 10．在中，于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，且点落在边上． (1)如图1，点落在边上时，连接． ①求证：； ②求的长； (2)如图2，点落在内部时，延长交延长线于点，连接．当时，求的面积． 【答案】(1)①证明见解析；②的长为 (2)的面积为 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①由旋转可得，，，根据平行四边形的性质，进而证明，即可证明；②先根据题意和勾股定理可求出，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，根据三角函数可求出，则，进而证明，根据其性质求解即可； （2）先根据题意和勾股定理可求出，再证明，进而即可证明点为中点，过作于点，过作于点，根据，可求得，根据等腰三角形的性质可得， 在中，运用三角函数可求出的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：①证明：由旋转可知，，， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ； ②， ， 在中，， 过作于点，如图， ∵，且， ∴， ，即， 解得， ， ， ， ，即， 解得； （2）解：， ， 在中，， 由（1）方法可得， ， ，， ， ， ，即点为中点， ， 过作于点，过作于点， ，即， ， ∵且， ∴， ， ， ， ， 在中，， 即， ， ． 11．如图1，四边形内接于，对角线平分，连接交于点E． (1)求证：． (2)当，时，①求线段的长；②求的值． (3)如图2，在（2）的条件下，若为直径，点G、F分别在，上，，且H为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 【答案】(1)见解析 (2)①9；②45 (3)面积是定值， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、垂径定理的推论 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理的推论，勾股定理，三角形中位线定理． （1）根据平分得到，根据得到，进而证明即可； （2）①根据得到，即，进而计算即可； ②证明，得到，则； （3）作交于点M，作交于点N，连结，，根据平分得到，即，根据垂径定理的推论得到，根据勾股定理得到，根据，，得到，，证明，，进而得到，即，即可证明四边形是平行四边形，得到，即可证明是的中位线，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：①∵ ∴ ∴，即 ∴ ②∵，， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴ （3）解：面积为定值．证明如下： 理由：作交于点M，作交于点N，连结， ∵平分 ∴ ∴ ∴ 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴ ∴的面积为定值，． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，点的横坐标为轴，垂足为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象上的一个动点且在点右侧，过点作轴，垂足为，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)是轴上的一个动点，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先根据点D的横坐标为3，求出点D的坐标，从而可求得反比例函数的解析式； （2）分△、两种情况讨论，分别求出点M坐标； （3）分两种情况讨论：当点P在y轴上方时，过D作x轴平行线，内错角相等；当点P在y轴下方时，连接交x轴于点F，先证明，根据等腰三角形的判定可得出，再利用勾股定理求得F点的坐标，然后求出直线的解析式，令，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， ∵反比例函数的图象过点D，将点D的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似；理由如下： 当时，得：， 解得：， 当时，得：； ∴，， 如图1，，，于F， ∴，，， ∵轴，垂足为E，， ∴， ∴， ∵M是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧， ∴设， ∴，， ∴， ∴， ∵点M、E、F为顶点的三角形与相似，M在D的右侧， 当时，得：， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ∴， 当时，得：， 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴， 分以下两种情况： 当点P在y轴上方时，过D作x轴平行线，内错角相等，符合题意． 此时，； 当点P在y轴上下方时，连接交x轴于点F， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵轴于点E， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点D，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，， 所以， 综上，点或为所求． 13．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，、或，理由见详解 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的综合，二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数表达式，函数和几何图形，二次函数和相似三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定． （1）利用待定系数法即可求得函数表达式； （2）利用函数解析式得，，由可假设，，根据求得，再求得，最后利用三角形面积公式即可求解； （3）假设，利用勾股定理求得，，，利用两个角相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例，分类进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式； （2）解：当函数值为0时， 即， 解得， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴， 由可假设， ， 解得或（舍去）， ， 将代入得： ， 解得， ∴， 当直线函数值为0时，即， 解得， , ； （3）解：存在，理由如下 假设，， 由勾股定理得， ∴ 即 整理得 解得或（舍去） ∴，，， 抛物线对称轴为直线， 设，因为在抛物线上，所以， 过作轴于，则，，， ①当时，以点为顶点的三角形与相似， 此时， 当点在轴下方时，，解得或（舍去） ∴； 当点在轴上方时，，解得或（舍去） ∴； ②当时，以点为顶点的三角形与相似， 此时， 当点在轴下方时，，解得或（舍去） ∴； 当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去） 综上，、或． 2 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $