第5章 二次函数全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数，涵盖图像与性质、实际应用及综合问题。通过2025年各地中考真题导入，衔接一元二次方程和函数图像知识，搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点是以中考真题为载体，分层设置“刷中考”“刷章测”模块，解析含思路分析和步骤拆解，培养抽象能力、推理意识和模型意识。如铅球运动问题体现用数学语言表达现实，综合题训练逻辑推理，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第5章 二次函数 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图像与性质 1.【2025陕西中考B卷】在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与轴有两个交点，且这两个交点分别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( ) D A.图像的开口向下 B.当时，的值随 值的增大而增大 C.函数的最小值小于 D.当时， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 【解析】设,为方程 的两个解.由题意可得，方程 的两根异号，，解得， 二次项系数， 图像开口向上，故A不符合题意. 抛物线 的对称轴为直线， 当时， 的 值随值的增大而增大;当时，的值随值的增大而减小，故B不符合题意. 当时，， 函数的最小值为 ，故C不符合题意.当 时，，,即当 时， ，故D符合题意.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 思路分析 二次函数图像与轴有两个交点，且这两个交点分别位于 轴两侧，说明对应方程 的两根异号，可得 .结合开口方向、顶点坐标及特殊点处的函数值 分析各选项即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 2.【2025福建中考】已知点,在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 点和在抛物线 上， ， ，， ，即 ，，，即 ,故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 3.【2025四川南充中考】已知某函数图像关于轴对称，当 时， ；当时，.若直线 与这个函数图像有且仅有 四个不同交点，则实数 的范围是( ) A A. B. C. D.或 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】 函数图像关于轴对称，当 时， ；当时，， 当 时， ；当时， .画出函数图像如图. 联立则，当 ，即 时，直线与 的图像相切，易知此时直线 与抛物线相切于点.当直线 过时，.结合图像可知，当时，直线 与这个函数图 像有且仅有四个不同交点.故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 思路分析 先根据函数图像关于轴对称，求出和 时的函数表达式，再画 出函数图像，结合直线的平移，分析直线与函数图像有四个交点时 的取 值范围. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 4.【2025安徽中考】已知二次函数 的图像如图所示，则( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴在轴右侧， ， 抛物线与轴交于负半轴，， ，故A选项错误.由题图 易知，，，故B选项错误. 抛物线过点 ， ，， .由题 图易知，， ，故C选项正确.由图像可知，当 时，， ，故D选项错误.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 5.【2025上海中考】将函数 的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的 表达式为____________. 【解析】 函数的图像向下平移2个单位， 得到的新函数的表达式为 .故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 6.【2025江苏连云港中考】已知二次函数， 为常数. （1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求 的取值范围； 【解】因为二次函数中， ，所以二次函数 的图像开口向上.因为二次函数的图像与直线 有两个交点，所以函数的最 小值小于，则，解得 . （2）若该二次函数的图像与轴有交点，求 的值； 【解】因为二次函数的图像与 轴有交点，所以 ，所以 . 又因为，所以，所以 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 （3）求证：该二次函数的图像不经过原点. 【证明】当时， ，所以该二次函数的 图像不经过原点. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 考点2 二次函数的实际应用 7.【2025江苏连云港中考】如图，小亮同学掷铅球时，铅 球沿抛物线运行，其中 是铅球离初始 位置的水平距离， 是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离 地面的高度为，则铅球掷出的水平距离 为___ . 8 【解析】由题意得，则.将代入 ， 得，解得，.令 ，则 ，解得，（舍去），， ， 故答案为8. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 8.【2025四川达州中考】为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文 旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元 时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件. （1）设该款巴小虎吉祥物降价 元，则每天售出的数量是___________件. 【解析】若该款巴小虎吉祥物降价元，则每天售出的数量是 件.故答 案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是 630元? 【解】设该款巴小虎吉祥物降价 元. 根据题意得，整理得，解得 或3. 让利于游客，舍去， 该款巴小虎吉祥物应该降价3元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元，当售价为多少元时，每 天的利润最大？最大利润是多少？ 【解】设该款巴小虎吉祥物降价元，则 . ， 当时， 取最大值，为640，此时售价为38元. 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 考点3 二次函数的综合 9.【2025天津中考】已知抛物线，，为常数， ， ． （1）当，，时，求该抛物线顶点 的坐标； 【解】，， ， 该抛物线的表达式为 . ， 该抛物线顶点的坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 （2）点和点为抛物线与轴的两个交点，点为抛物线与 轴的交点． ①当时，若点在抛物线上， ，，求点 的坐标； 【解】 点在抛物线上， ，即 . 又，点，，， 抛物线表达式为 ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 图（1） 如图（1），易知点在第四象限，过点作轴于点 ， ， . ， ， . 又， ， ， ， . ， ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 点的坐标为 . 点在抛物线 上， ， 整理得，，解得， . ， 不合题意，舍去， ， 点的坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思路分析 过点作轴于点，证明，进而得出点 的坐标为 ，代入抛物线表达式，解方程，即可得到答案. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 ②若点，，以为边的的顶点 在抛物线的对称轴 上，当取得最小值为时，求顶点 的坐标． 图（2） 【解】由题意得， . 在轴上点的左侧取点，使，连接 ，如图 （2），，得 ． ， ， ， ． 在中，根据勾股定理得， ， ， ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 ． 又 点，，，即 . 根据题意，点和点关于直线对称，点在直线上，连接,则 ． 又中，，，， 当点 在线段上时，取得最小值，即 . 在中，， ． 将代入，得 ， 解得， （舍）， ，， ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 直线的表达式为 ． 设点的横坐标为，则 ， 解得， 易得点的坐标为 ． 线段可以看作是由线段经过平移得到的， 点可以看作是点 向右平移1 个单位，再向上平移 个单位得到 的， 点的坐标为 ． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.【2025四川凉山州中考】如图，二次函数 的图像经过，， 三 点. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 （1）求抛物线的表达式. 【解】二次函数的图像经过，， 三点， 抛物线的表达式为 . 思路分析 将，，的坐标代入抛物线的表达式，得到关于,, 的三元一次方程组，求解 即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）点在直线下方的抛物线上运动，求点到直线 的最大距离. 【解】设直线的表达式为 . ，， 直线的表达式为 . 过点作轴交于，连接，.设 ，则 ， . ，， 当有最大值时， 有最大值. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 ，， ， 当时，有最大值，最大值为 ， 的最大值为 . ，， . ， . 设点到直线的距离为，， ， 当有最大值时，有最大值，的最大值为， 点 到直线 的最大距离为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 思路分析 利用待定系数法求出直线的表达式，过点作轴交于 ，根据三角形的 面积公式将求点到直线的距离的最大值转换成求 的面积的最大值. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 （3）动点在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点逆时针旋转 与 抛物线交于点，是否存在点使？若存在，请直接写出点 的坐标；若 不存在，请说明理由. 图（1） 【解】存在.点的坐标为或 . 如图（1）所示，当点在轴下方时，设抛物线对称轴交轴于 ， 过点作交直线于 . 抛物线表达式为 ， 抛物线对称轴为直线 ， ， . ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 设点的坐标为，则.由旋转的性质可得 . 又 ， ， . 又，，， ， ， 点的横坐标为 ，纵坐标为 ， . 点在抛物线上， ， ，，解得或 （舍去）， 此时点的坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图（2） 如图（2）所示，当点在轴上方时，过点作 轴，分别过 点，点作直线的垂线，垂足分别为,， . 设点的坐标为,由旋转的性质可得 ， ， . 又，， ， ， 点的横坐标为 ，纵坐标 为， . 综上所述，存在点使，此时点的坐标为或 . 点在抛物线上， ， ，，解得或 （舍去）， 此时点的坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 思路分析 分点在轴下方和点在 轴上方两种情况求解. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 章测 一、选择题（共30分） 1.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标 的对应值如下表： 0 1 0 4 6 6 下列结论不正确的是( ) C A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为直线 C.抛物线与轴的一个交点坐标为 D.函数的最大值为 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 39 【解析】由表格可得 解得 . A ，, 该抛物线的开口向下，选项A正确 B ， 该抛物线的对称轴是直线 ，选项B正确 C ， 该抛物线与轴的交点是和 ，选项C错误 D ， 当时，函数有最大值，最大值为 ，选项D正确 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 40 2.若二次函数的图像如图所示，则一次函数 与 反比例函数 在同一坐标系内的大致图像为( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴在轴左侧， 抛 物线与轴的交点在轴下方，， 直线 经过第一、二、三象限， 反比例函数 的图像位于第一、三象限.故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 41 思路分析 根据抛物线的特征判断,, 的正负，即可得到一次函数和反比例函数的图像的位置. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 42 3.【2025河北邯郸期末】用长度均为 的两根绳子分别围成如图所示的矩形 和扇形，设矩形的边长为，扇形半径为 ，矩形和扇形的面积 的最大值分别为， .对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( ) 结论Ⅰ：扇形的圆心角为 ； 结论Ⅱ：与的关系为 . D A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对，Ⅱ对 D.Ⅰ对，Ⅱ不对 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 43 【解析】由题意可知，的长为，的长为 .设扇 形的圆心角为 ，则，解得 . ，， 当时， 有最大 值为9.，， 当 时， 有最大值为9, .综上，Ⅰ对，Ⅱ不对.故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 44 思路分析 根据扇形周长与半径的关系，利用弧长公式判断Ⅰ；根据长方形的周长与边的关 系，以及长方形和扇形的面积公式表示出长方形和扇形的面积，再根据函数关系 式计算出函数最大值，即可判断Ⅱ. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 45 4.如图，抛物线与轴交于点,，把抛物线在 轴及其上方的 部分记作，将向右平移得，与轴交于点，.若直线与, 共有3个不同的交点，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 46 【解析】令，即 ，解得 或3，则，,所以,所以将 向右平移2个 单位长度得，所以,则 的函数表达式为 .当 与只有1个公共点时， ，即 ，则，解得 ;当 过点时，，解得 .如图, 根据图像可知，当 时,直线与， 共有3个不同的交点．故选D． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 47 5.【2025江苏南京调研】如图，抛物线与 轴交点为 和，对称轴为直线且，顶点为 ，以下结论正确的个数是 ( ) B ；； ； 的解集为； 可以为等 腰直角三角形，也可以为等边三角形；⑥在 轴上方且在抛物 线内部满足横、纵坐标均为整数的点最多有15个（不包括边 界）. A.2 B.3 C.4 D.5 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 48 【解析】由图像可得,， .由图像可得 时，，，故①错误., , ，故②错误. 抛物线与 轴有两个交点， ，，故③正确. 抛物线与轴交点为和 ， 对称轴为直线，, 由图像可得 的解集为 ，故④正确.设抛物线的对称轴与轴交于点，则.当 为 等边三角形时，如图（1），此时 ， 易得， , 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 49 ， 抛物线的表达式为，将点 代入得 ，解得 ，符合题意. 图（1） 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当 为等腰直角三角形时，如图（2）,此时 轴， 也为等腰直角三 角形，，， 抛物线的表达式为 ，将点代入得 ，解 得，符合题意，故⑤正确.当 时， ，如图（3）. 图（3） 在轴上方且在抛物线内部满足横、纵坐标均为整数的点有,, , ,,,,,,,,,,,, ， 共16个.， 当无限接近 时，抛物线开口比图（3）中抛物线开口大 一点点，满足条件的整点仍然有16个，故⑥错误， 正确的有③④⑤.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 思路分析 当时，抛物线表达式为，那么在 轴上方且在抛物线内部 满足横、纵坐标均为整数的点有,,,,,,, , ,,,,,,,，共16个，由于，当 无限 接近 时，抛物线开口比图（3）中抛物线开口大一点点，满足条件的整点仍然 有16个，据此可判断⑥. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 52 二、填空题（共24分） 6.【2025上海静安区质检】二次函数的图像与 轴的交点坐标 是________. 【解析】令，则， 二次函数 的图像与轴的交点坐标是.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 53 7.【2024浙江温州质检】已知二次函数 的图像经过点 ，，且，则 的取值范围是_______. 【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线 .当 抛物线上的点到直线的距离越小时，对应的值越小.， ， 且，点到直线的距离小于点到直线的距离， 有两种情 况：；且，解得.综上， .故答案 为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 54 8.将二次函数 配方成顶点式后，发现其顶点的纵坐标 比横坐标大1，如图，在矩形中，点，点 ，则抛物线 与矩形有交点时 的取值范围是_ _____________. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 55 【解析】将配方成顶点式为 ， 此抛物线的顶点坐标是， ，开口向上，开口大小一定，则此抛物 线的顶点在直线 上运动.如图（1），当抛物线与矩形第一次相交时，此 时抛物线经过点，取最小值.将代入 得，解得或（舍去），则 的最小值是 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 56 图（1） 图（2） 如图（2），当抛物线与矩形最后一次相交时，此时抛物线的顶点为矩形与 轴的 交点，取最大值.将代入 得 ，解得或（舍去）的取值范围是 .故 答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、解答题（共46分） 9.【2024江苏镇江期末】在平面直角坐标系中，抛物线 （ 为常数）. （1）当抛物线经过点时，求 的值； 【解】将点代入得，解得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 58 （2）当 时， 【解】当时， . ①若随的增大而减小，则 的取值范围为______； 【解析】抛物线的对称轴为直线 . 抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小.故答案为 . 关键点拨 利用二次函数的性质解题即可. ②若 ，则函数的最大值为____，最小值为___. 10 1 【解析】若，则当 时，函数有最小值，最小值为 ； 当时，函数有最大值，最大值为 .故答案为10，1. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 59 10.【2024山东滨州无棣期末】某商场购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货 单价为40元/件，该商场对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查.销售过程 中发现，该产品每星期的销售量（件）与销售单价 （元/件）之间的关系如下表. 销售单价 （元/件） … 51 52 53 54 … 每星期的销售量 （件） … 98 96 94 92 … （1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定能比较恰 当地表示与之间的关系的模型，并求出与 之间的函数关系式. 【解】由表格中数据可知，一次函数能比较恰当地表示与 之间的关系. 设，则由题意得解得即与 之间的函 数关系式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 60 （2）当销售单价为多少时，该商场销售该产品每星期获得的利润为1 600元？ 【解】设该商场销售该产品每星期获得的利润为 元. 由题意得 ， 当时，，解得， . 答：当销售单价为60元/件或80元/件时，该商场销售该产品每星期获得的利润为 1 600元. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 61 （3）当销售单价为多少时，该商场销售该产品每星期获得的利润最大？最大利润 为多少元？ 【解】由（2）知， 当 时，取得最大值，此时 . 答：当销售单价为70元/件时，该商场销售该产品每星期获得的利润最大，最大利 润为1 800元. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 62 11.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 . 已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线 . 备用图 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 63 （1）直接写出点 的坐标； 【解】 抛物线的对称轴是直线 ， ， .① 抛物线与轴交于，两点，点的坐标是 ， .② 联立①②得解得 二次函数的表达式为 . 令得，解得或， 点的坐标为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 64 （2）在对称轴上找一点，使的值最小.求点的坐标和 的最小值； 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 65 图（1） 【解】如图（1），连接，线段与直线 的交点就是符合题意 的点.连接 , 点，关于直线对称， ， . 设直线的表达式为 . 把和代入得 解得 直线的表达式为， . ， 在中， , 的最小值为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 思路分析 当,,三点共线时， 的值最小，根据抛物线的对称性，得到 ，求出直线的表达式，利用勾股定理求出 的长， 即为 的最小值. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 67 （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接 交于点.依题意补全图形，当的值最大时，求点 的坐标. 【解】根据题意补全图形，如图（2）所示. 由（1）得抛物线的表达式为 ， 由（2）得，故设，则 , . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 68 图（2） 如图（2），过点作，垂足为，则 是等腰直角三角 形， ， ， 当时，有最大值，此时点的坐标为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 69 $