7大招专题4 锐角三角函数应用的常见模型-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级下册锐角三角函数应用，涵盖背靠背、子母、拥抱、斜截等常见模型。通过纪念园公路、气球高度测量等母题实例导入，以大招解读梳理模型图形与特点，结合思路分析和子题变式，构建从模型识别到实际应用的学习支架。
其亮点在于采用“母题引路+子题变式”的模型化教学，精选生活实例如水库管道、电线塔高度测量等，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过推理计算发展数学思维，借助符号表达与图形分析强化模型意识。课件可编辑且含超链接跳转，助力教师高效教学，帮助学生提升实际问题解决能力。
内容正文：
数 学
九年级下册 SK
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第7章 锐角三角函数
4
大招专
题4
锐角三角函数应用的常见
模型
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刷难关
目 录
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难关
母题学大招12 背靠背型
1.【2024山东济南莱芜区期中，中】某地修建了一座半径
为的圆形纪念园.如图，纪念园中心位于 村西南
方向和村南偏东 方向上.村在 村的正东方向且两
村相距.有关部门计划在， 两村之间修一条笔直
的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明.
（参考数据：，，， ）
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【解】该公路不会穿过纪念园.理由：如图，过点作，垂足为点 .
由题意得 ， ，， ，
.
设.在中， .
在中，.， ，解得
， .
， 该公路不会穿过纪念园.
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大招解读 背靠背型
通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，高为两个直角三角形的公共
边.图形模型如下：
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子题练变式
2.【2025吉林松原质检，中】如图，某学校的小学部教学楼
对面是初中部教学楼，某学生在小学部教学楼的窗口 处测
得初中部教学楼顶部的仰角为 ，初中部教学楼底部
的俯角为 ，，，，，， 在同一
平面内，量得小学部教学楼与初中部教学楼之间的距离米.求教学楼 的
高度.（结果精确到0.1米.参考数据：， ，
，，， ）
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【解】如图，过点作，垂足为点 .
由题意，得 ， ，米.在 中，
， （米）.
在中，， （米），
（米）.
答：教学楼 的高度约为11.1米.
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母题学大招13 子母型
3.［中］某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升
空的高度.如图，在平面内，点，，在同一直线上， ，
垂足为点， ， ，，求 的高度.
（结果精确到 .参考数据：， ，
， ）
【解】设.在中，， ，
.
在中，，，. ，
，解得，的高度约为 .
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大招解读 子母型
通过在三角形外作高，构造出两个直角三角形求解，高为两个直角三角形的公共
边.图形模型如下：
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子题练变式
4.［中］某数学兴趣小组去测量一座小山 的高度，在山
顶上有一高度为20米的发射塔 ，如图所示.在山脚平地
上的处测得塔底的仰角为 ，向小山前进80米到达点
处，测得塔顶的仰角为 ，小山 的高度为
_______________.
米
【解析】设为米，则米.由题意知 ，
米.在中，，则 米,
米.在中， ,解得
.经检验，为原方程的解，故答案为 米.
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5.【2025湖南邵阳质检，中】全国“十三五”规划重大水利工
程——邵阳资水犬木塘水库，施工测绘中，饮水干渠需经过一
座险峻的石山，如图所示，， 表示需铺设的干渠引水管
道，经测量，，，所处位置的海拔，， 分别为
，，.若管道与水平线的夹角为 ，管道与水平线
的夹角为 ，与交于点，求管道和 的总长度（结果保留根号）.
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【解】根据题意知，四边形和四边形 均为矩形，
， ，
，
.
在中， ， ， ，
.
在中， ， ， ，
，
，即管道和的总长度为 .
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思路分析
先根据题意得到，的长，在中，由锐角三角函数可得 的长度，
在中，由锐角三角函数可得 的长度，再相加即可得到答案.
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母题学大招14 拥抱型
6.【2025河南信阳期中，中】某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图
所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部 的仰角为
，在处测得电线塔顶部的仰角为 .
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（1）求点到水平地面的高度 .
【解】 斜坡的坡度 ，
， ，
.
， .
答：点到水平地面的高度为 .
思路分析
由坡度得，再结合,可得 ,
.
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（2）求电线塔 的高度（结果保留根号）.
【解】如图，过点作于 ，则
， 四边形 是矩形，
，.设 ，则
.
，
.
在中， ,， .
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在中， .
， ，
， .
答：电线塔的高度为 .
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思路分析
先证明四边形是矩形，则，，再设 ，则
.解直角三角形可得, ，运用勾股定理得
，可得,则 ,进而求解.
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大招解读 拥抱型
如图，分别解两个直角三角形，在和中， 为公共边.图形模型
如下：
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母题学大招15 斜截型
7.【2024河南南阳期中，中】某商场为缓解“停车难”
问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入
口的设计示意图，其中，， ，
，在上，， . 根据规定，地下停车库坡道
入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为
的长就是所限制的高度，而小亮认为应该将 的长作为限制的高度.小明和小亮
谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度.（结果精确到 .参考数据：
，， ）
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【解】小亮说得对.
在中， ， ，， ，
， .
，
.
， ，
,
正确的限制高度约为 .
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大招解读 斜截型
斜截型多呈现为拦截问题、安全问题.此类型的特点是小的直角三角形在大的直角三
角形内部，有公共的锐角，小的直角三角形的斜边与大的直角三角形的直角边在同
一直线上，小的直角三角形的直角边与大的直角三角形的斜边在同一直线上，如图.
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子题练变式
8.［中］如图（1），太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能
的效果最佳.图（2）为其示意图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平
线的夹角 确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直）.已知，
，，于，若 ，求的长 参考数据：
，，
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【解】如图，延长交的延长线于点，延长 .
,
，
.
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在中， ，
，
在中，
答：的长约为 .
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关键点拨
延长交的延长线于点，延长，则 ，然后在 和
中，利用锐角三角函数即可求出答案.
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