专题03锐角三角函数（中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题03锐角三角函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、特殊三角形的三角函数 【解惑】在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： ， ． 类型二、由特殊角的三角函数判断三角形的形状 【解惑】如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【融会贯通】 1．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 2．在中，，则的形状是 ． 3．若，则以为内角的的形状是 ． 类型三、根据特殊角三角函数值求角的度数 【解惑】在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 3．已知α为锐角，且，则α等于 ． 类型四、已知角度比较三角函数值的大小 【解惑】已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小（用连接），，， ． 3．比较三角函数值的大小： ． 类型五、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【解惑】已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则锐角的取值范围是 ． 3．若锐角满足，则的取值范围是 ． 类型六、利用同角三角函数关系求值 【解惑】已知的三边长分别为，其中，则的外接圆半径和内切圆半径的和（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 3．已知是锐角，且，则 ． 类型七、解直角三角形 【解惑】在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【融会贯通】 1．如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 2．如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 3．如图，已知是的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值 类型八、构造直角三角形求面积 【解惑】如图，在中，，，，求的面积． 【融会贯通】 1．如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 2．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 类型九、求证同角三角函数 【解惑】如图，在中，，请验证的结论． 【融会贯通】 1．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 2．（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    3．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    类型十、互余两角三角函数 【解惑】如图，为半圆O的直径，C为上一点，连接，．请用尺规作图法，在直径上求作一点D，使：．（保留作图痕迹，不写作法） 【融会贯通】 1．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 2．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 3．李华在作业中得到如下结果： 根据以上，李华猜想：对于任意锐角，均有 （1）当时，验证是否成立； （2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例． （3）小明发现一次函数解析式中的值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图像与轴所形成的夹角的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直，：，：，根据以上结论，探究当平面直角坐标系中两直线垂直时和的数量关系，并画图证明． 【一览众山小】 1．在中，各边的长度都扩大倍．那么锐角的正切值（　　） A．扩大倍 B．扩大倍 C．保持不变 D．缩小倍 2．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使得点D落在上，则的值为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 6．在中，，则的值为 ． 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 8．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 9．如图，中，，，的平分线与边交于点F，与外角的平分线交于点E． (1)求的值； (2)求点E到直线的距离． 10．如图，在中，以为斜边在内部作等腰直角，且，连接，过点E作交于点F，交于点G，且． (1)若，求的长； (2)求证：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03锐角三角函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、特殊三角形的三角函数 【解惑】在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值；根据可得，则，再根据直角三角形的特征求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：． 【融会贯通】 1．在中，，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用角的余弦值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据特殊三角函数，二次根式，负整数指数幂化简，再计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 3．计算： ， ． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：；1． 类型二、由特殊角的三角函数判断三角形的形状 【解惑】如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 【融会贯通】 1．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 2．在中，，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】先根据非负数的性质求出，，再根据三角函数作答． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴，， ∴， 则一定是等边三角形， 故答案为:等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角函数，等边三角形的判定，数量掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 类型三、根据特殊角三角函数值求角的度数 【解惑】在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴．                                 ∵， ∴，                        ∴． 故选B． 【融会贯通】 1．在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角度，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．根据，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴． 故选：B． 2．在锐角三角形中，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求得的度数，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 3．已知α为锐角，且，则α等于 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查特殊角度三角函数，根据求解即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 类型四、已知角度比较三角函数值的大小 【解惑】已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 2．比较大小（用连接），，， ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 3．比较三角函数值的大小： ． 【答案】 【分析】根据余弦值是随着角的增大而减小这一规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，掌握余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）是解答本题的关键． 类型五、根据三角函数值判断锐角的取值范围 【解惑】已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 【融会贯通】 1．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 2．已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．熟练掌握特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 3．若锐角满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 类型六、利用同角三角函数关系求值 【解惑】已知的三边长分别为，其中，则的外接圆半径和内切圆半径的和（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数，以及切线长定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．先由勾股定理的逆定理得为直角三角形，再过内切圆圆心点作，垂足分别为点，进而利用切线长定理即可求解． 【详解】解：， 为直角三角形，如图，过内切圆圆心点作，垂足分别为点，则由切线长定理可知，，， ，， ． 故选：A． 【融会贯通】 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出，再结合整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 3．已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义． 将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解； 【详解】， ∴原式 故答案为：． 类型七、解直角三角形 【解惑】在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题考查了解直角三角形，含60度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 先利用直角三角形锐角互余求出，再用的正切求出b，再用的余弦求出c． 【详解】解：∵， ． 由知：， 由知，． ∴，，． 【融会贯通】 1．如图，已知中，，，，，为边上的中线． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【详解】（1）， ． 在中， ， ， ． （2）为边上的中线， ． 又， ． 2．如图，中，于点D，，， ，求，，，，的值． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，由正切的定义求出，再根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，由线段的和差求出，再根据勾股定理求出，再根据正弦和余弦的定义分别求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，． 3．如图，已知是的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用三角函数和勾股定理结合解直角三角形： （1）过点A作于点H，在中，可得，在中，可得 ，即可求解； （2）求出，可得，在中，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 类型八、构造直角三角形求面积 【解惑】如图，在中，，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点C作于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． 【融会贯通】 1．如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 【答案】10.5 【分析】作AD⊥BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据∠B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值． 【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在RtΔACD中，， AC＝5， ∴CD=ACcosC＝5=4． ∴由勾股定理得：AD＝＝3． ∵sinB＝， ∴∠B＝45°． ∴∠BAD＝∠B＝45°． ∴BD＝AD＝3． ∴S△ABC＝BC•AD＝（3+4）×3＝10.5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目条件构造直角三角形． 2．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【答案】6 【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：延长DA交CB的延长线于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∵∠DAB=120°， ∴∠EAB=60°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=24， ∵∠D=90°， ∴∠C=60°， ∴DE= CD=30， ∴AD=DE-AE=6． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 类型九、求证同角三角函数 【解惑】如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 【融会贯通】 1．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 2．（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．        （2）证明：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 3．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 类型十、互余两角三角函数 【解惑】如图，为半圆O的直径，C为上一点，连接，．请用尺规作图法，在直径上求作一点D，使：．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆周角定理，三角函数以及垂直平分线的尺规作图，根据圆周角定理可知：，即在中，，结合，即可得，本题即作等于已知角，即点D即为所求． 【详解】解：作图如下：点D即为所作． 【融会贯通】 1．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 2．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． 3．李华在作业中得到如下结果： 根据以上，李华猜想：对于任意锐角，均有 （1）当时，验证是否成立； （2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例． （3）小明发现一次函数解析式中的值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图像与轴所形成的夹角的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直，：，：，根据以上结论，探究当平面直角坐标系中两直线垂直时和的数量关系，并画图证明． 【答案】（1）成立，见解析；（2）成立，见解析；（3），见解析 【分析】（1）通过直角三角形两锐角互余求出另一角为，再利用特殊角三角函数值即可得证；（2）作直角三角形，利用正切的定义用线段比表示互余两角的正切值，发现其互为倒数，即可得证；（3）在直角坐标系中作两条直线相互垂直且垂足不在坐标轴上，一直线,一直线，在两直线与x轴围成的直角三角形中同（2）的方法即可得证． 【详解】（1）当时，， ， 当时成立． （2）答：成立． 证明：如右图，作，其中，为斜边，，为两直角边． 设则， ，， ， 成立． （3）作如图平面直角坐标系，，垂足为． 设交轴于，轴于，交轴于，轴于． 于， ， 依题意得，， ． 由（2）知． ． 【点睛】本题主要考查了正切的概念、一次函数增减性求参数、互余两角的三角函数关系．充分理解正切的概念和一次函数的系数与图像的关系是解答本题的关键． 【一览众山小】 1．在中，各边的长度都扩大倍．那么锐角的正切值（　　） A．扩大倍 B．扩大倍 C．保持不变 D．缩小倍 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据锐角三角函数的定义得出，则，再得出选项即可，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义． 【详解】解：如图，在中，，则， ∵， ∴在中，各边的长度都扩大倍，那么锐角的正切值保持不变， 故选：． 2．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的知识，勾股定理．先利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将原式转化为关于同角的三角函数的关系来进行解答．本题考查了锐角三角函数的计算，完全平方公式，利用了同角的三角函数的关系来进行变形，注意角的范围，的结果是小于0的． 【详解】解：， ； 又， ． 故选：B． 4．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使得点D落在上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，旋转的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，再由旋转的性质得到，，，则，，再由正切的定义即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由旋转得：，，， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】过点作，交轴于点，根据题意得出，即可求出；本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角正切值的定义是解题的关键． 【详解】过点作，交轴于点 点在第二象限 故答案为：． 6．在中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在边上，，连结交于点． (1)求的长． (2)的值为___________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、菱形的性质及三角函数，熟练掌握菱形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为4． 8．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 9．如图，中，，，的平分线与边交于点F，与外角的平分线交于点E． (1)求的值； (2)求点E到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三线合一定理可知，，即可利用勾股定理求出，则； （2）过点作，垂足为，由角平分线性质可得，进而可得，可知，设，在中，由，即，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，的平分线与边交于点， ∴，． 在中， ． ∴． （2）如图，过点作，垂足为． ∵平分，，， ∴． 又∵ ∴ ∴． 设 在中， 即 解得： ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟知三线合一定理是解题的关键． 10．如图，在中，以为斜边在内部作等腰直角，且，连接，过点E作交于点F，交于点G，且． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，运用全等三角形的性质和判定解决问题是解题关键； （1）作交于，可得，进而可得的值； （2）连接，可得是等边三角形，根据可知，进而可得结论． 【详解】（1）解：作，交于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，． （2）证明：连接， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，，， ， ，，， 在与中， ， ， ， ． 即． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$