6.5 课时2 相似三角形对应线段的比-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册“相似三角形对应线段的比”，从基础的角平分线、高的比入手，逐步过渡到矩形、动点问题及三角形内接四边形等提升内容，搭建递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合高脚杯液体问题等生活情境和周长面积平分探究，通过几何直观培养数学眼光，逻辑推理发展数学思维，符号表达强化数学语言。分层练习助学生巩固提升，详细解析方便教师教学。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第6章 图形的相似 4 6.5 相似三角形的性质 课时2 相似三角形对应线段的比 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 相似三角形中对应线段的比 1.【2025河北张家口期中】已知，和 是它们的对应角平 分线，若，，则 ( ) C A.2 B.3 C.6 D.9 【解析】，和 是它们的对应角平分线， ,， .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.如图，,和 分别是 和的高，若, ,则 与 的面积的比为( ) A A. B. C. D. 【解析】，和分别是和的高， ， ，与的相似比为，与 的面积的 比为 .故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3.如图，在矩形中，，，点，在边上， 和交于点，若 ，则图中阴影部分的面积为( ) C A.25 B.30 C.35 D.40 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 【解析】如图，过点作于，延长交于 四边形 是矩形，， ， ，，， ， .又，，， ， ， ， ， .故 选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 关键点拨 将阴影部分的面积转化为矩形与两个三角形的面积的差，根据相似三角形的判定 与性质求出两个三角形的面积是关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 4.两个相似三角形的相似比为 ，已知其中一个三角形的一条角平分线长为10， 那么另一个三角形对应的角平分线的长是_______. 4或25 思路分析 相似三角形的相似比 对应角平分线的比. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5.已知,与的周长的比值是,, 分别是两 个三角形对应角的平分线，且,则 ___. 9 【解析】，与的周长的比值是， 相似比为 ，.， .故答案为9． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.【2025山东青岛一模】如图，将沿边上的中线 平移到的位置，已知 的面积为9，阴影部分的 面积为4.若，则 ___. 2 （第6题图） 【解析】如图所示，易知，为 的中 线.,， ， . ，，解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 7.【2024江西抚州期末】如图，图（1）是装满了液体的高脚杯（数据如图），用 去部分液体后，放在水平的桌面上如图（2）所示，此时液面与杯口的距离 __ . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （第7题图） 【解析】如图，过作于，交于 ， ， ， ， ，，， ， ，故答案为 . 关键点拨 本题考查相似三角形的实际应用，找出相似关系是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 8.如图，，， 分别是它们的中线. 求证： . 【证明】，分别是和 的中线， ， . ， ， ， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 9.【2024江苏无锡新吴区调研】已知，， 的角平分 线，的面积为 . 求： （1）的角平分线 的长； 【解】，，，分别为， 的角平分 线， . ， . （2） 的面积. 【解】，，. 的面积为 ，的面积为 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 提升 （第1题图） 1.【2025江苏无锡期末，中】如图，和 表示两根直立于地面 的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与 相交于点 .已知，，则点离地面的高度 为( ) B A. B. C. D. 【解析】，， （相似三角形对应高 线的比等于相似比），， ， ， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 识图解题 如图，已知 . 结论： . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （第2题图） 2.【2024安徽滁州校级期末，中】如图，在 中， ，，的平分线交于点，交 的延 长线于点，，垂足为，，则 的 周长为( ) A A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】在中，，，的平分线交于点 ， ,,，， ， ，，.同理可得 ， ,, .在 中，，，，， 的周长 等于,， 相似比为， 的周长为8.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 （第3题图） 3.［较难］如图所示，已知中，， 边上的高 ，为上一点，，交于点，交于点 ， 设点到边的距离为,则的面积关于 的函数图像大 致为( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】如图，过点作于点.因为，所以 ，所 以，即，所以 ， 该函数的图象是抛物线的一部分，故选D. 思路分析 过点作于点，证得,根据相似三角形的性质可求出 ， 进而求出关于 的函数关系式，即可得出答案． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 4.［中］如图，点是内一点，过点分别作平行于 各边的直线，所 形成的三个小三角形,, （图中阴影部分）的面积分别是1，4， 9，则 的面积是____． 36 （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 【解析】由题可得.因为, , 的面积比为，所以它们对应边边长的比为 .又因为易得四边形 与四边形为平行四边形，所以，.设为 ，则 ， ，所以 ，所以 .由面积比等于相似比的平方得 ，所以 ．故答案为36． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 5.【2025安徽合肥蜀山区校级期中，较难】如图，点的坐标为，点 是线段 上的一个动点（不运动至，两点），过点作轴，垂足为，以 为 边在右侧作正方形，连接并延长，交轴的正半轴于点，连接 ，若以 ，，为顶点的三角形与相似，则 点的坐标是_ __________________. 或或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】如图（1），当点在点右边时，过点作于，交于 ，则 点的坐标为，， ， 易知 .设 四边形是正方形， ， ， , 以，，为顶点的三角形与 相似， ，则， ， ，，即，， ， 点的坐标为，则 ， 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 ， ， ，即，，， 点 的坐标 为.如图（2），当点在点左边时，过点作轴于，交 的延长线 于.设，同理可得, .由题可 知，， ， ,,，， ， ，.综上所述，点的坐标是或或.故答案为 或或 . 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 易错警示 分点在点左边和点在点 右边两种情况，注意不要漏解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 6. 【2025广西玉林期末，中】如图（1），在边长为4的正方形 中，点 为上一动点，且，截取，且交线段于，过 作 的垂线交于 . 图（1） 图（2） 备用图 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （1）求证： ； 【证明】 四边形是正方形， ， ， , ， . （2）如图（2），若点是的中点，求 的周长； 【解】 点是的中点，正方形的边长为4， .设 ，则.在中， ， ，解得， ， ，即，，， 的周长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （3）在动点逐渐向点运动逐渐增大的过程中， 的周长如何变化？ 请说明理由. 【解】 的周长是一个定值，始终为8.理由如下： 设，则.在中， ， ，即， . ,且相似比为 ， 在动点 逐渐向点运动的过程中， 的周长是一个定值，始终为8. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 刷素养 走向重高 7.核心素养 推理能力 ［难］如图,在中， ，， ， 点在上，点在上，连接 ． 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （1）当 时，如图（1）． ①若平分的面积（即把的面积分成相等的两部分），求 的长. 【解】， . 平分的面积， ， ，即，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 ②若平分的周长，求 的长. 【解】在中， ，， ， ，的周长为 . 平分的周长，，即 ， ,，即，解得 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （2）如图（2），试问：是否存在将 的周长和面积同时平分？若存在， 求出 的长；若不存在，请说明理由． 【解】存在.如图，过点作于.设将 的周长平 分，则.设，则 ， ，，即，解得 ， . 当将的面积平分时， ，解得 ，.，，即当 时，将 的周长和面积同时平分． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 思路分析 过点作于，设,根据相似三角形的性质用含的式子表示出 ， 再根据三角形的面积公式列方程求解即可，注意对求出的 值进行取舍. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 微专题3 三角形内接四边形 1.三角形内接正方形 【2025北京朝阳区调研，中】如图， 在中放置边长分别为3， ，4的三个正方形， ，则 的值为( ) B A.12 B.7 C.6 D.5 刷提升 返回目录 1 2 1 2 39 【解析】如图，由题意得， ， ，则 , , ， 思路分析 根据已知条件可以推出 ,然后利用相似三角形对应边的比 相等求解. ，，，， ， ，，即， （不符合题意，舍去）或7.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 40 图（1） 2.三角形内接矩形 【2025江苏南京期中，较难】如图（1）， 是一块锐角三角形材料，边，高 . （1）要把它加工成正方形零件，使得正方形的两个顶点在 上， 其余两个顶点分别在， 上，这个正方形零件的边长是多少？ 【解】设正方形零件的边长为，则 ， .，， ， ，解得, 这个正方形零件的边长是 . 图（2） （2）要把它加工成矩形零件，且矩形是由两个并排放置的正方形组 成，如图（2），此时，这个矩形零件的长和宽分别是多少？ 刷提升 返回目录 1 2 1 2 41 【解】设，则 . 由题意可得， ， ，解得 ， ， 这个矩形零件的长和宽分别为， . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 42 图（3） （3）如果要加工的零件是任意形状的矩形 ，如图（3），这 样，此矩形零件的长和宽就不能确定，但这个矩形零件面积有最大 值，求最大面积. 【解】设，矩形的面积为 . 由题意可得， ， ，解得 , . ， 当时，有最大值，即矩形零件的最大面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 43 $