5重难专题1 二次函数的综合应用-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版·新教材)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数综合应用，涵盖与三角形、四边形、圆的综合问题，动态问题及新定义问题，通过典型例题导入，从二次函数基本性质过渡到复杂综合应用，搭建基础到提升的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以分类讨论、数形结合培养数学思维与眼光，如等腰三角形存在性分三种情况推理，菱形综合题结合图形性质分析，新定义“兄弟函数”题通过图像与方程探究创新意识。教师可直接用分层例题与思路点拨，提升教学效率，学生能系统掌握综合题型解法，发展推理能力与应用意识。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第5章 二次函数 4 重难专 题1 二次函数的综合应用 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 二次函数与三角形的综合 1.［中］如图，抛物线与直线 在第一象限 内有一交点 . （1）求直线 的表达式； 【解】将点的坐标代入，得， 点 的 坐标为.将代入，得，解得, 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （2）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形?若存在，请求出点 的坐 标；若不存在，请说明理由. 【解】存在.分三种情况讨论： ①如图（1），当时，过点作轴于点， ， . 点的坐标为， 点的坐标为, 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 ②如图（2），当时，符合题意的点有两个，分别为点和点 点 的 坐标为，,， 点和点 的坐标分别为 和 . 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ③如图（3），当时，点只能在轴正半轴上.过点作于点 ， 则点是的中点. 点的坐标为， 点的坐标为.设点 的坐标为 ，即 ，解得 , 点的坐标为 . 综上所述，符合条件的点的坐标是或或或 . 关键点拨 分,, 三种情况讨论是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 类型2 二次函数与四边形的综合 2.【2024重庆南岸区期末，较难】如图，已知抛物线 与轴交于和两点，与轴交于点 . （1）求抛物线的函数表达式； 【解】将点和代入 得 解得 则抛物线的函数表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 思路分析 根据点和 ，利用待定系数法求解即可得到抛物线的函数表达式； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 （2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点.当 取 得最大值时，求的值和 的最大值； 【解】由题意可知，点的坐标为 .对于二次函数 ，当时，，即 . 设直线的表达式为 . 将点和代入得 解得 则直线 的表达式为 ，， . 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 思路分析 先求出点的坐标，再求出直线的表达式.表示出点与点 的坐标，从而可得 ，然后根据二次函数的性质求解即可； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （3）若抛物线的顶点为， 是该抛物线对称轴上一点，在平面 内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，求点 的坐标. 【解】， 此二次函数图像的顶点坐标为 ，对称轴为直线 设点的坐标为，， ， . ①如图（1），当为菱形的对角线，时，，即 ， 解得，或 . 由菱形的性质可知，,，， 当点 的坐标为 时，；当点的坐标为时， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 ②如图（2），当为菱形的对角线，时， ，即 ，解得或（此时点与点 重合，舍去）， . 设此时点的坐标为 . 菱形的对角线互相平分， 解得 此时点 的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 ③如图（3），当为菱形的对角线，时， ，即 ，解得，， . 由菱形的性质可知，， . 又, . 综上，点的坐标为或或或 . 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 思路分析 先求出点，再设点的坐标为，然后分三种情况：①当 为菱形的 对角线，时；②当为菱形的对角线，时；③当 为菱形的对 角线， 时，分别列方程求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 类型3 二次函数与圆的综合 3.［较难］如图，抛物线与轴交于点， ， 与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交 轴 于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为 的中 点，连接.下列四种说法：①点在上； ；③ 当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为 ；④ B A.1 B.2 C.3 D.4 线段 的长可以是3.2. 其中正确说法的个数为( ) 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 【解析】连接，， 抛物线与坐标轴交于点，， ， ，，， 点， 的半径为 ， 顶点的坐标为，， 点 在上，故点不在 上，故① 不正确 圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为 的中点， ，故②正确， ， 点在以 为直径的圆 上运动.，，， 当点与点重合时,点 的坐标为 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 ,即；当点与点重合时,点的坐标为，即， 易知， 点运动的路径长为 ，故③正确.④由③易知，当点 运动到，即点与点重合时， 的长最大，最大值为 ， 线段的长不可能是 ，故④不正确.故正确说法有 ②③.故选B. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 熟练掌握二次函数的图像与性质及圆的相关知识是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 4.【2025广东广州期中，难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于，两点（点在点的左边），交 轴负半轴于 点 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （1）如图（1）， . ①直接写出，， 三点的坐标； 【解】,, . 当时，该抛物线表达式为 ， 时，，解得， ， ，时,， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 ②在轴右侧的抛物线上存在点，使得，直接写出点 的坐标； 【解】.如图（1），令交轴于点 . ，，， ， , 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 . 设，直线的函数表达式为 . 把，代入,得解得 直 线的函数表达式为 . 当时,，， ， . ，，则，解得（舍去）或 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）如图（2），设经过，，三点的交轴于另外一点， ，经 过点的直线交抛物线于，两点，若的长等于 的直 径长，求 的值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 【解】如图（2），连接，.由 可得 ，， ， ，， . 点,,,四点共圆，, ， ，，， , ， 该抛物线表达式为 ， ， . 点为圆心， 点横坐标与中点横坐标相等，点纵坐标与 中点纵坐标 相等，，即 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 连接， ， . 把代入,得，整理得， . 联立 ，， ， . ，， ， . ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 类型4 二次函数与动态问题的综合 5.【2024安徽合肥期末，较难】如图，平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物 线与轴交于，与轴交于，两点（在的右侧），顶点坐标为 . 备用图 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （1）求抛物线的表达式； 【解】抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的顶点式为 . 抛物线与轴交于，,解得, 抛物线的表 达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 关键点拨 根据顶点坐标为，设抛物线的顶点式为 ，由题意将 代入表达式得 ，即可得到抛物线的表达式； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）点是抛物线上一动点，且位于直线的上方，过点作的垂线交 于点 ，求 的最大值； 【解】令，,或3, 抛物线与轴的交点为 , . 由，得直线的表达式为, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 图（1） 如图（1），过点作轴交于点 . 设，则 . ， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时， 最大. ， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大 值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 关键点拨 过点作轴交于点，则是等腰直角三角形.当最大时， 最 大，求得关于 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 （3）在直线上是否存在点，使得？若存在，请求出点 的坐 标；若不存在，请说明理由. 图（2） 【解】存在.如图（2），当点在点下方， 时， ，即 . 由（2）得，直线的表达式为 . 设点的坐标为 . ，，解得 ， 则点 ； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 当点在点的上方时， . 设点，则，解得 （舍去） 或，则点 . 综上，点的坐标为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 分两种情况：当点在点下方，时， ，即 ；当点在点上方时， ,进而求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 类型5 新定义问题 6.［较难］规定：若函数的图像与函数 的图像有三个不同的公共点，则称这 两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”. （1）下列三个函数；； ，其中与二次函数 互为“兄弟函数”的是____（填写序号）； ② 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 39 【解析】分别作出,,与 的图像，如 图（1）、图（2）、图（3）所示，与 的图像有三个不 同的公共点，根据“兄弟函数”的定义，与二次函数 互为“兄弟 函数”的是②，故答案为②. 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 （2）若函数与互为“兄弟函数”， 是其 中一个“兄弟点”的横坐标. ①求实数 的值； 【解】 函数与互为“兄弟函数”， 是其 中一个“兄弟点”的横坐标， 当时，,， ， 解得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 41 ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是_ ______、_______； 【解析】联立 整理得 . 是其中的一个解， 因式分解得 ，则 ，解得， 另外两个“兄弟点”的横坐标是 ， ,故答案为， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 42 关键点拨 理解“兄弟函数”及“兄弟点”的定义，利用数形结合思想解决问题是关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 43 （3）若函数（为常数）与 互为“兄弟函数”，三个“兄弟 点”的横坐标分别为，，，且，求 的取值范围. 图（4） 【解】在平面直角坐标系中作出（ 为常数）与 的图像，如图（4）所示. 联立 即 ， ①当时， ， 即，当 ， 即时， ； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 44 ②当时，，即 ， . 由图可知，两个函数图像的交点只能在第二象限， . ,三个“兄弟点”的横坐标分别为,,，且 ， ，， ， . ,,的取值范围为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 45 $