5大招专题1 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(苏科版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数中的最值问题，涵盖几何定理法求线段差和最值、代数法求点到直线距离、铅垂法求三角形面积等核心内容。通过母题引入二次函数表达式求解，逐步过渡到动态点最值探究，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其特色在于采用“母题学大招+子题练变式”模式，结合几何直观分析图形关系，通过推理意识构建逻辑推导过程，以模型观念引导学生用二次函数表达式解决最值问题。例如母题中利用三点共线求PA-PB最大值，子题通过将军饮马模型强化应用，帮助学生形成数学思维，教师可借助清晰步骤提升教学效率。

数 学 九年级下册 SK 1 2 3 第5章 二次函数 4 大招专 题1 二次函数中的最值问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 几何定理法求线段之差（和）的最值 1.［中］如图，已知抛物线过点，，其对称轴为直线 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求该抛物线的表达式. 【解】 抛物线过点，，且它的对称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 . 设抛物线表达式为 . 把代入，得，解得 ， 此抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限. ①当的面积为15时，求点 的坐标； 图（1） 【解】如图（1），点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象 限， 设，直线的表达式为，则 ，解 得， 直线的表达式为.设直线 与抛物线对称轴交于 点，则， . ，，解得或 （舍去）， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ②在①的条件下，是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点 的坐标. 【解】设直线的表达式为.把，代入得 解得 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 图（2） 如图（2），当的值最大时，点，， 在同一条直线上. 是抛物线上的动点， 联立 解得（舍去）， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 关键点拨 当,,共线时, 的值最大. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 大招解读 几何定理法求线段之差（和）的最值 （1）线段之差最大问题：当两定点和动点共线时，线段之差最大，所以动点在两 定点所在的直线上，求解时可过两定点作直线. （2）线段之和（周长）最小问题：这类问题一般是将军饮马中“两定点，定线上 一动点”，求解时作对称点，将求和的两条线段转化到一条线段上. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 子题练变式 两点之间线段最短 2.【2025四川泸州期末，较难】如图，已知抛物线 与轴交于和两点，与轴交于，直线 经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点 ，与抛物线对称轴 交于点 . （1）求抛物线的表达式和 的值. 【解】把，代入 得 解得 . 把代入得，解得， 抛物线的表达式为 ， 的值是3. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （2）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点 的坐标. 【解】如图（1），连接交对称轴于 . ，关于对称轴对称，，的最小值为的长， 此时点 就是所求的点. 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为直线 . 设直线的表达式为，将，代入,得 解得 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 直线的表达式为 . 把代入,得， 点的坐标为 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 本题考查了将军饮马模型，利用二次函数图像的对称性找对称点是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 （3）在轴上有，两点在的右侧，且，若将线段在 轴上平 移，当它移动到某一位置时，四边形 的周长会达到最小，请求出周长的最 小值（结果保留根号）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解】，为定点，， 线段，的长为定值， 当 的值 最小时，四边形 的周长最小. 将点向右平移2个单位得到，作点关于轴的对称点，连接与 轴交于点 ，过点作交轴于点，此时满足 ，如图（2）,由作图易知， ， ， 此时的值最小， . 抛物线对称轴为直线，点为直线与对称轴的交点， 易得 ， . 联立直线和抛物线的表达式易得， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 ，的最小值为 . ，， . 此时， 四边形 周长 的最小值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 母题学大招2 代数法求线段最值 3.【2024山西晋中期中，中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧），与 轴 交于点，且点的坐标为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （1）求点 的坐标； 【解】 点在抛物线上，， ， 令，得，解得或， 点的坐标为 . 思路分析 把点的坐标代入表达式求出的值，再令即可求出点 的坐标； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线 距离的最大值. 【解】由（1）知，.过作于点，过作 轴 交于点，交轴于点，如图.， ， ，是等腰直角三角形， . 轴，， 是等腰直角三角 形，， , ， 当最大时， 最大. 设直线的表达式为，将代入得，， 直 线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 设，则 ， . ， 当时，取得最大值,为 ， ， 点到直线距离的最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 过作于点，过作轴交于点，交轴于点，证明 是 等腰直角三角形，求得，当最大时， 最大，运用待定系数法求出 直线的表达式为，设 ，则 ，求得 的长，再根据二次函数的性质求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 大招解读 代数法求线段最值 二次函数图像中求平行于坐标轴的线段最值问题时，常用代数法：设出动点坐标， 利用坐标表示出线段长度，构造二次函数，利用二次函数的性质求最值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 子题练变式 4.【2025安徽阜阳期末，较难】已知抛物线， 均为常数， 且与轴交于， 两点. （1）求， 的值； 【解】 抛物线经过， 两点， 解得 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）点在抛物线上，且位于第四象限，若的面积等于4，求线段 所在 直线的函数表达式； 【解】由（1）知抛物线的函数表达式为 . ，，， ，解得 . 点在抛物线上，且位于第四象限， . 将代入表达式，得，解得（舍去）或 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 设线段所在直线的函数表达式为， 解得 线段所在直线的函数表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （3）在（2）的条件下，点在线段下方的抛物线上，过作轴、 轴的平行线 分别交线段于，，求 的最大值. 【解】设 . 轴， ， ， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 轴，, ， ， . 点在线段下方的抛物线上，过作轴、轴的平行线分别交线段于 ， ， 结合（2）可知 . ， 当时，的值随的增大而增大， 当 时， 有最大值，最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 母题学大招3 铅垂法巧求面积最值 5.【2024河南洛阳期中，中】如图，抛物线 ,,为常数，经过点，， . （1）求抛物线的表达式. 【解】设 . 把代入，得，解得 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）连接,点在直线下方的抛物线上,求出的面积最大时点 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 【解】如图，连接,,过点作轴于点，交于点 . 由,,易得直线的表达式为 . 设，则 ， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 ， 当 时，最大，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 大招解读 铅垂法巧求面积最值 铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是斜三角形面积问题.具体公 式为三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半.三角形的水平宽指的是两个顶点 之间的水平距离，而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 结论证明 证明:如图, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 子题练变式 6.【2024湖北荆门期中，较难】如图，已知抛物线与 轴交于点 ，与轴交于,两点（点在点 左边）. （1）请直接写出,, 三点的坐标. 【解】,, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 （2）若点是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点 的坐标. 【解】如图，过点作轴于点，交于点 ，则 ， ， 设直线的表达式为 ，把 ，代入，得解得 直线 的 表达式为.设，则 ， ， 当 时，取最大值，即的面积最大， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 39 关键点拨 易知取最大值时,的面积最大,利用坐标将 的长表示出来，根据二次函 数的性质即可推出点 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 40 $