专题01 条件概率与全概率的综合应用（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题01 条件概率与全概率的综合应用 目录 典例详解 类型一、条件概率及其求法 类型二、事件的相互独立性 类型三、全概率公式的应用 类型四、贝叶斯公式的应用* 压轴专练 类型一、条件概率及其求法 1.条件概率的求法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得.这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得 . 2.条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)>0，则： ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ③设B和互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A) . 例1．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】对于A：，， 所以，故A错误； 对于B：，，∴， ，故B正确； 对于C：，，∴，故C正确. 对于D：， ，∴，∴， ∴，所以D正确. 故选：BCD. 变式1-1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 . 【答案】/0.25 【分析】根据条件概率计算公式求解即可. 【详解】事件A：“取到的2个数之和为偶数”，则事件A包含的基本事件个数为， 又事件B：“取到的2个数均为偶数”，则事件A与事件B同时发生包含的基本事件个数为， 所以. 故答案为：. 变式1-2．已知，是样本空间中的随机事件，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件的概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】设，则， 而，则， 因为， 所以，解得，即. 故选：B. 变式1-3．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据概率公式和条件概率公式进行求解即可. （2）先根据条件概率公式求出，进而可求出. （3）根据条件概率公式进行化简即可. 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 类型二、事件的相互独立性 1. 判断事件相互独立性的方法 (1)利用定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立． (2)利用对“独立性”的理解，若事件A的发生与否不影响事件B的发生与否，则两事件相互独立． 2．独立事件概率的求法 (1)解答这类概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立，只有相互独立才能运用乘法公式． (2)在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的问题，如果从正面考查这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少……”“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用概率的和或积的互补公式求得原来事件的概率．这是“正难则反”思想的具体体现． 例2．已知随机事件互相独立，满足，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立性，则，结合得到，最后利用条件概率公式求解即可． 【详解】因为随机事件互相独立，所以， 则， , 解得，，， ． 故选：A． 变式2-1．随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 变式2-2．小郅同学参加某场数学竞赛，需要在个编号分别为、、、、的题中抽取任意个作答，已知他可以答对（正确率）这个题中的个，题中至少答对题即可晋级．现已知小郅晋级了，则他答对号题的概率为： ． 【答案】 【分析】设事件答对第一题，事件小郅晋级，求出、、，利用概率的乘法公式、条件概率公式可得出的值. 【详解】设事件答对第一题，事件小郅晋级，则事件为“小郅可以答对第一题且选中此题”， 则， 因为，， ，因此，. 故答案为：. 变式2-3．某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲 【分析】（1）（i）计算第一局乙获胜的概率和第二局乙获胜的概率，相乘即可得结果. （ii）考虑比赛结束时乙获胜的所有情况，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得结果. （2）计算第一局乙对丙最终乙获胜的概率和第一局乙对甲最终乙获胜的概率，结合条件作差比较大小即可得到结果. 【详解】（1）（i）. （ii） ， （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故； 同理可得； ， 由于，故， 所以，故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. 类型三、全概率公式的应用 1.全概率公式的定义： 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均互斥，即，； （2）； （3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式. 2.全概率公式的来由： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。 3.注意： （1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 4.另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式. （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系. 例3．（多选）五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（    ） A．小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】AC 【分析】记第次去洗车店为，第次去洗车店为，根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记第次去洗车店为，第次去洗车店为， 由题意可知， ， 对于A：，故A正确； 对于B：， ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：AC. 变式3-1．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得 . 故选：D. 变式3-2．参加数学竞赛的6位队员欲合影留念，分别将座位和队员以1，2，3，4，5，6编号，首先编号为1的队员先从6个座位中任选一个就坐，接着由编号为2，3，4，5，6的队员依次选座，若与队员编号相同的座位为空，则队员坐在该座位；否则，则从座位编号大于队员编号的空座位中任选一个就坐（若大于队员编号的座位均不为空，则从剩余空座位中选择最大的编号就坐），则4号队员恰好在4号座位就坐的概率为 . 【答案】 【分析】就号队员所选座位分类讨论后结合全概率公式可求4号队员恰好在4号座位就坐的概率. 【详解】事件为“1号队员在号座位就坐”， 易知， 设事件B为“4号队员恰好在4号座位就坐”， ∴，， （1）当发生时，则2号队员可选择3，4，5，6号中的任意一个座位就坐， ①若2号队员选择5，6号中的任意一个座位就坐，则4号队员必定在4号座位就坐， 此时，4号队员恰好在4号座位就坐的概率为； ②若2号队员选择4号座位就坐，则4号队员不可能在4号座位就坐， 此时，4号队员恰好在4号座位就坐的概率为； ③若2号队员选择3号座位就坐，则3号队员可选择4，5，6号中的任意一个座位就坐， 若3号队员选择5，6号中的任意一个座位就坐，则4号队员必定在4号座位就坐， 若3号队员选择4号座位就坐，则4号队员不可能在4号座位就坐， 此时，4号队员恰好在4号座位就坐的概率为； ∴； （2）当发生时，则2号队员必定选择2号座位就坐， 3号队员可选择4，5，6号中的任意一个座位就坐， 此时，4号队员恰好在4号座位就坐的概率为， ∴； ∴由全概率公式可知，4号队员恰好在4号座位就坐的概率为： ， 故答案为：. 变式3-3．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【答案】(1) (2)第1，2台车床操作员应分别承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【分析】的份额.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得； （2）求“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案. 【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥，根据题意得， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； （2）“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， ； ， ， 故第1，2台车床操作员应承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 类型四、贝叶斯公式的应用* 1.一般地，当且时，有 2.若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且. 3.注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 例4．18世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 【答案】D 【分析】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”，求得，且，结合贝叶斯公式，即可求解. 【详解】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”， 根据题意，可得，且， 由贝叶斯公式， 可得 . 故选：D. 变式4-1．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置．随着AI技术的发展与普及，越来越多学生和家长利用网络在线学习和辅导．若景乐同学每天可以选择在线课程或面授课程两种方式进行学习．已知第一天选择在线课程和面授课程的概率为都为0.5，若第一天其选择在线课程，则第二天继续选择在线课程的概率为0.7；第一天选择面授课程，则第二天选择在线课程的概率为0.6．那景乐同学第二天选择在线课程的概率为 ，若第二天选择了在线课程，则其第一天选择面授课程的概率为 ． 【答案】 0.65 【分析】本题可根据全概率公式和贝叶斯公式来求解． 【详解】设“第一天选择在线课程”为事件，“第一天选择面授课程”为事件，“第二天选择在线课程”为事件．已知，，． 根据全概率公式，可得： 根据贝叶斯公式，将，，代入可得： 故答案为： 0.65； ． 变式4-2．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 变式4-3．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，再利用贝叶斯公式和条件概率公式计算即可. 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，， 则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 ． 故答案为：. 一、单选题 1．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个．从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故选：B． 2．已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B相互独立，则 C．若 ，则事件与B相互独立 D．若，则 【答案】D 【分析】根据互斥事件概率加法公式计算可判断A，利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B；利用独立事件的概念可判断C；由交事件的定义可判断D. 【详解】对于A，若与互斥，则，故A正确； 对于B，若与相互独立，则， 所以，，故B正确； 对于C，若，且， 所以，事件与相互独立，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 故选：D． 3．已知事件，相互独立，，若，，则（   ） A．0.18 B．0.12 C．0.42 D．0.28 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】易知可得， ， 又事件，相互独立， 故选：A． 4．已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率的加法公式求出，再利用条件概率公式计算求解． 【详解】， ， ． 故选：D． 5．现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲队胜2场分3种情况，甲胜乙丙，甲胜乙丁，甲胜丙丁，讨论求解. 【详解】甲队胜2场且乙队胜2场，分下面3种情况： 若甲胜乙丙，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜乙丁，乙胜丙丁，概率为， 若甲胜丙丁，乙胜丙丁，甲平乙或甲胜丙丁，乙胜甲丙或甲胜丙丁，乙胜甲丁， 其概率为， 所以甲队胜2场且乙队胜2场的概率为. 故选：C. 6．某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 二、多选题 7．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，则（   ） A． B． C． D．若和至少有一个发生的概率为，则A、B相互独立 【答案】ACD 【分析】根据对立事件的概率公式，可判定A正确；当时，，可判定B错误；由，分和互斥，两种情况求得相应概率的最值，可判定C正确；根据题意，求得，得到，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，当时，，所以B错误； 对于C中，由， 当时，，此时，即的最小值为； 当互斥时，可得，此时的最大值为， 所以，所以C正确； 对于D中，由，且和至少有一个发生的概率为， 可，解得， 所以，所以和相互独立，所以D正确. 故选：ACD. 8．某电视节目有奖闯关活动，共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积．选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束．已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为，则下列命题中正确的是（    ） A．甲在第一题使用场外求助的概率为 B．甲答题两次并获得奖金的概率为 C．甲未使用场外求助并获得奖金的概率为 D．甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率为 【答案】AC 【分析】记甲第一题独自答题正确为事件、第二题独自答题正确为事件、第三题独自答题正确为事件，甲选择继续答题为事件，甲场外求助后答题正确为事件，求出，，，，．根据相互独立事件的概率、互斥事件的概率逐项判断可得答案. 【详解】记甲第一题独自答题正确为事件、第二题独自答题正确为事件、 第三题独自答题正确为事件，甲选择继续答题为事件， 甲场外求助后答题正确为事件， 则，，，，． 对于选项A：若甲在第一题使用场外求助，则甲第一题独自答题错误， 故甲在第一题使用场外求助的概率，A正确； 对于选项B：甲答题两次并获得奖金包含两种情况：①第一题独自答题正确且 选择继续答题，同时第二题独自答题正确且选择放弃答题； ②第一题独自答题正确且选择继续答题，第二题独自答题错误但场 外求助后答题正确．故甲答题两次并获得奖金的概率 ，B错误． 对于选项C：甲未使用场外求助并获得奖金包含三种情况：①第一题独自答题 正确且选择放弃答题；②第一题独自答题正确且选择继续答题， 同时第二题独自答题正确且选择放弃答题；③前两题均独自答题正确 且均选择继续答题，同时第三题独自答题正确．所以甲未使用场外求 助并获得奖金的概率 ，C正确； 对于选项D：甲在后两题中使用场外求助并获得奖金包含两种情况： ①第一题独自答题正确且选择继续答题，同时第二题独自答题错误 但场外求助后答题正确；②前两次均独自答题正确且均选择继续答题， 同时第三题独自答题错误但场外求助后答题正确． 因为，， 所以甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率，D错误． 故选：AC. 三、填空题 9．某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则 . 【答案】 【分析】方法一、根据题意求出，再利用条件概率公式求解；方法二、分别求出至少有3名男志愿者的情况及恰有3名女志愿者的情况，再利用古典概型求解. 【详解】从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人，至少有3名男志愿者的概率 .又， 根据条件概率的计算公式可知，. 方法二、从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人， 至少有3名男志愿者有（种）情况， 其中有3名女志愿者有（种）情况. 根据古典概型的概率计算公式可知，. 故答案为：. 10．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 . 【答案】 【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又. 故答案为：. 四、解答题 11．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)设第1，2，3次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为．求； (2)对于事件、、，当时，写出的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）用表示第次摸出红球，再根据古典概型的概率公式求，用条件概率的概率公式求； （2）利用条件概率的概率公式化简即可. 【详解】（1）用表示第次摸出红球， 由已知得， ， ． 所以． （2）由（1）可得，即， 猜想：．             证明：由条件概率及， 得，           所以． 12．现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 【答案】(1)；(2)；(3)方案一 【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案； （2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解； （3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决策方案. 【详解】（1）将首次检验选到甲箱记为事件，选到乙箱记为事件，首次检验抽到合格品记为事件. 则首次检验抽到合格品的概率. （2）在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率 . （3）将二次检验抽到合格品记为事件. 由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率， 则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率. . 从而，在首次检验通过，即事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案一下，检验通过的概率； ②若选择方案二，则，. 故此条件下在二次检验抽到合格品的概率. 所以在方案二下，检验通过的概率. 而，故选择方案一检验通过的概率更大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 条件概率与全概率的综合应用 目录 典例详解 类型一、条件概率及其求法 类型二、事件的相互独立性 类型三、全概率公式的应用 类型四、贝叶斯公式的应用* 压轴专练 类型一、条件概率及其求法 1.条件概率的求法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得.这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得 . 2.条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)>0，则： ①P(Ω|A)＝1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； ③设B和互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A) . 例1．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 . 变式1-2．已知，是样本空间中的随机事件，，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 类型二、事件的相互独立性 1. 判断事件相互独立性的方法 (1)利用定义，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立． (2)利用对“独立性”的理解，若事件A的发生与否不影响事件B的发生与否，则两事件相互独立． 2．独立事件概率的求法 (1)解答这类概率综合问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立，只有相互独立才能运用乘法公式． (2)在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的问题，如果从正面考查这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少……”“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利用概率的和或积的互补公式求得原来事件的概率．这是“正难则反”思想的具体体现． 例2．已知随机事件互相独立，满足，，则（  ） A． B． C． D． 变式2-1．随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 变式2-2．小郅同学参加某场数学竞赛，需要在个编号分别为、、、、的题中抽取任意个作答，已知他可以答对（正确率）这个题中的个，题中至少答对题即可晋级．现已知小郅晋级了，则他答对号题的概率为： ． 变式2-3．某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 类型三、全概率公式的应用 1.全概率公式的定义： 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均互斥，即，； （2）； （3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式. 2.全概率公式的来由： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。 3.注意： （1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 4.另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式. （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系. 例3．（多选）五一假期过后，车主小王选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小王第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（    ） A．小王第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B．小王第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率大 C．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D．若小王第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 变式3-1．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 变式3-2．参加数学竞赛的6位队员欲合影留念，分别将座位和队员以1，2，3，4，5，6编号，首先编号为1的队员先从6个座位中任选一个就坐，接着由编号为2，3，4，5，6的队员依次选座，若与队员编号相同的座位为空，则队员坐在该座位；否则，则从座位编号大于队员编号的空座位中任选一个就坐（若大于队员编号的座位均不为空，则从剩余空座位中选择最大的编号就坐），则4号队员恰好在4号座位就坐的概率为 . 变式3-3．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 类型四、贝叶斯公式的应用* 1.一般地，当且时，有 2.若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且. 3.注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 例4．18世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 变式4-1．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置．随着AI技术的发展与普及，越来越多学生和家长利用网络在线学习和辅导．若景乐同学每天可以选择在线课程或面授课程两种方式进行学习．已知第一天选择在线课程和面授课程的概率为都为0.5，若第一天其选择在线课程，则第二天继续选择在线课程的概率为0.7；第一天选择面授课程，则第二天选择在线课程的概率为0.6．那景乐同学第二天选择在线课程的概率为 ，若第二天选择了在线课程，则其第一天选择面授课程的概率为 ． 变式4-2．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 变式4-3．某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 . 一、单选题 1．袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个．从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知随机事件A、B发生的概率分别为 ，则下列说法不正确的是（   ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B相互独立，则 C．若 ，则事件与B相互独立 D．若，则 3．已知事件，相互独立，，若，，则（   ） A．0.18 B．0.12 C．0.42 D．0.28 4．已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 5．现有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排名（积分多者名次靠前，积分同者名次并列）积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若每场比赛中每队胜，平，负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜2场且乙队胜2场的概率为（   ） A． B． C． D． 6．某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 二、多选题 7．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，则（   ） A． B． C． D．若和至少有一个发生的概率为，则A、B相互独立 8．某电视节目有奖闯关活动，共设置三道试题，选手需依次进行答题，每次答题正确后均会获得相应奖金，且奖金累积．选手每次独自答题正确后选择继续答题或放弃答题的概率相同，若选择放弃答题，则奖金有效；若选择继续答题，当答题错误时，选手可以使用一次场外求助机会，若求助后答题正确，则奖金有效，同时答题结束，若求助后答题错误，则奖金清零，同时答题结束．已知甲在本次活动中依次独自答题正确的概率分别为，场外求助后答题正确的概率为，则下列命题中正确的是（    ） A．甲在第一题使用场外求助的概率为 B．甲答题两次并获得奖金的概率为 C．甲未使用场外求助并获得奖金的概率为 D．甲在后两题中使用场外求助并获得奖金的概率为 三、填空题 9．某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派的6人中至少有3名男志愿者，事件表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则 . 10．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 . 四、解答题 11．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)设第1，2，3次都摸到红球的概率为；第1次摸到红球的概率为；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为．求； (2)对于事件、、，当时，写出的等量关系式，并加以证明． 12．现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验. 将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验. 首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为. (1)求首次检验抽到合格产品的概率； (2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率； (3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取. 比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $