第二十七章 相似-全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(人教版)
2025-11-17
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学人教版（2012）九年级下册 |
| 年级 | 九年级 |
| 章节 | 本章复习与测试 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | 图形的相似 |
| 使用场景 | 同步教学-单元练习 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 5.76 MB |
| 发布时间 | 2025-11-17 |
| 更新时间 | 2026-01-30 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2025-11-17 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/54945149.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级下册“相似”章节，涵盖相似图形判定、性质、应用及位似等核心知识点，通过中考真题导入，从基础概念到判定性质再到实际应用，构建递进式学习支架。
其特色在于融入大量中考真题，以网格图形、杠杆原理等情境培养数学眼光，解析强调分类讨论和逻辑推理发展数学思维，实践题如测量路灯高度提升应用意识。学生能巩固知识，教师可利用分层练习和真题资源优化教学。
内容正文：
数 学
九年级下册 RJ
1
2
3
第一部分 教材同步分层练
4
第二十
七章
相似
全章综合训练
5
刷中考
刷章测
目 录
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6
中考
考点1 相似图形
1.【2024江苏连云港中考】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形
分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为( )
D
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
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【解析】如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形是相
似多边形.由题图可知，只有甲和丁的对应角相等，且对应边成比例，所以甲和丁
是相似形.故选D.
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考点2 相似三角形的判定与性质
（第2题图）
2.【2025河南中考】如图所示的网格中，每个小正方形的边
长均为1,的三个顶点均在网格线的交点上，点, 分
别是边,与网格线的交点，连接,则 的长为( )
B
A. B.1 C. D.
【解析】 题图中四周网格线构成的四边形是矩形， 是其
对角线，所在的直线是其对称轴，.， ，
，即， .故选B.
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关键点拨
由网格线特点得出,进而得出 是解题的关键.
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（第3题图）
3.【2025江西中考】如图， 是面积为1的等边三角形，分
别取，，的中点得到；再分别取， ，
的中点得到；…,依此类推，则 的面积为
( )
C
A. B. C. D.
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【解析】由题知，点，，分别是，，的中点，所以 ，
，，，, ,所以易得
，则.又因为 的面积为1，所以
的面积为.同理可得，的面积为， 的面积为
，， 所以的面积为 .故选C.
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4.【2025河北中考】如图,在五边形中，,延长, ,分别交直线
于点,.若添加下列一个条件后，仍无法判定 ,则这个条件是
( )
D
A. B. C. D.
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【解析】
选项 分析
A ,, ,
, ,故A不符合题意
B ,, ,
,故B不符合题意
C ,, .由A可知
,故C不符合题意
D 根据，再结合已知条件不能证明 ,故D符合题意
故选 .
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关键点拨
本题考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定方法是解题的关键.
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5.【2025四川眉山中考】如图，一次函数 与反比例
函数的图象相交于，两点，与轴交于点 ，
点与点关于点对称，连接 .
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（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
【解】把代入得，， 反比例函数的解析式为 .把
代入得， 一次函数 与反比例函数
的图象相交于,两点，
一次函数的解析式为 .
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（2）点在轴的负半轴上，且与相似，求点 的坐标.
【解】设 点与点关于点对称， ，
. 直线与轴交于， 与
相似，，或, 或
，或，或， 点的坐标为 或
， .
易错警示
当与相似时，有和 两种情况，不要漏解.
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6.【2025江苏连云港中考】一块直角三角形木板，它的一条直角边长 ，面
积为 .
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
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（1）甲、乙两人分别按图（1）、图（2）用它设计一个正方形桌面，请说明哪个
正方形面积较大；
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【解】，面积为， ，
.设正方形的边长为.如题图（1）， 四边形
是正方形， ， ，
，，，即 ，解得
.如题图（2）， 四边形是正方形，， ，
，，，即， ，
， ，
，，即，解得.， 题图（1）
的正方形面积较大.
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（2）丙、丁两人分别按图（3）、图（4）用它设计一个长方形桌面.请分别求出
图（3）、图（4）中长方形的面积与的长 之间的函数解析式，并分
别求出面积的最大值.
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【解】如题图（3）， 四边形是长方形， ，
，，，则 ，
， 长方形的面积
.， 图象开口向下， 当
时，长方形的面积有最大值为 .在题图（4）中，同理得
，，， .同
理得，，则， 长方形
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的面积.， 图象开口
向下， 当时，长方形的面积有最大值为 .
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考点3 相似的应用
7.【2025四川内江中考】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”
这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬
动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用
力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂 ，阻力臂
，，则 的长度是( )
B
甲
乙
A. B. C. D.
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【解析】，，，， .
，，，， .故选B.
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考点4 位似
（第8题图）
8.【2024黑龙江绥化中考】如图，矩形 各顶点的坐标分别为
，，，，以原点 为位似中心，将这个矩
形按相似比缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是( )
D
A. B. C. D.
【解析】以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点 在第一象限
对应点的坐标是，即 ，故选D.
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9.【2025广东中考】如图，把放大后得到，则与 的相
似比是_____.
（第9题图）
【解析】放大后得到，，与 的相
似比为．故答案为 ．
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10.【2025安徽中考】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建
立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）.已知点
和的坐标分别为和 .
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（1）在所给的网格图中描出边的中点，并写出点 的坐标；
【解】如图所示，点即为所求，点坐标为 .
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（2）以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为 ，
请在所给的网格图中画出 .
【解】如图所示， 即为所求.
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章测
一、选择题（共24分）
1.【2024安徽六安期末】下列各组多边形一定相似的是( )
C
A.两个等腰三角形 B.两个平行四边形 C.两个正五边形 D.两个六边形
【解析】A选项，两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形不一定相似，故A不
符合题意；B选项，两个平行四边形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所
以不一定相似，故B不符合题意；C选项，两个正五边形的对应角相等，对应边成
比例，两图形相似，故C符合题意；D选项，两个正六边形相似，但是两个六边形
不一定相似，故D不符合题意.故选C.
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2.【2025江苏淮安期末】如图，正方形网格中每个小正方形的
边长为1，点，，都在格点上，， 分别与网格线交于
点，，则 的长为( )
B
A. B. C.1 D.
【解析】如图，取格点, 正方形网格中每个小正方形的边长
为1，，，， .
，，， ，
故选B.
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3.如图，在中，平分，点在边上，线段 与
交于点，且 ，则下列结论中错误的是( )
D
A. B.
C. D.
【解析】，， ，故选项A的结论正
确.，.又， ，
故选项B的结论正确.，， ，故选项
C的结论正确.由已知条件无法证明 ，故选项D的结论错误.故选D.
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4.【2024吉林长春期中】已知两个相似的五边形，如果一组对应边的长分别为
，，且它们面积的差为 ，则较大的五边形的面积为( )
C
A. B. C. D.
【解析】设较大的五边形的面积为.依题意，得，解得 ，
即较大的五边形的面积为 .故选C.
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思路分析
设较大的五边形的面积为 ，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方列出
方程，解方程即可求解.
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（第5题图）
5.【2025安徽芜湖一模】如图，在平面直角坐标系中，正方
形与正方形是以原点 为位似中心的位似图形，且
相似比为，点，，在轴上，若正方形 的边长为6，
则 点坐标为( )
D
A. B. C.， D.
【解析】 正方形与正方形是以原点 为位似中心的位似图形，且相
似比为，.， 四边形 是正方形，
，，，， ，
，，点坐标为 ，故选D.
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（第6题图）
6.如图，在中， ，， ，
垂足为，为的中点，与交于点，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
【解析】连接，如图所示.在中， ，
，， ，
为的中点，是 的中位线，
，，， ，
.故选C.
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思路分析
连接，利用等腰三角形“三线合一”得出是的中位线，则 ，
得出 ，即可解决问题.
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（第7题图）
7.【2025陕西西安期末】如图，中， ，
，，点从点出发以 的速度沿
运动，运动时间为，以点，， 为顶点的三角形与
相似（不全等）时， 的值为( )
D
A. B. C.或 D.或
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【解析】 ，， ，
.当时，易知点在
上，，，. 点从点出发以
的速度运动，.当时，如图， ，
,，， ，
. 点从点 出
发以的速度运动，.综上所述，的值为或 时，
以点，，为顶点的三角形与 相似.故选D.
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易错警示
以点，，为顶点的三角形与 相似（不全等）包含两种情况，
和 ，注意分类讨论，不要漏解.
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（第8题图）
8.如图，在中，，， ，
且，若，点是线段上的动点，则
的最小值是( )
A
A. B. C. D.
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【解析】，， ，解得
（负值已舍去）， ，
，
，，.如图，过作 于
，，. ，
，.当时，的值最小，此时 .
， ，
，， .故选A.
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二、填空题（共15分）
9.【2024江苏泰州期末】在平面直角坐标系中，点,，以点 为
位似中心，将线段放大为原来的2倍得到线段，， 均落在二次函数
的图象上，则 的值为_____.
【解析】 点,，以点为位似中心，将线段 放大为原来的2倍得
到线段，，或， .当二次函数
的图象过，时，，解得 ；当二次
函数的图象过，时， ，解得
.综上，，故答案为 .
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10.【2025吉林长春期末】如图，在矩形中，是边的中点， ，
垂足为点，连接.分析下列四个结论：； ；
； .其中正确的结论有________（填序号）.
①②③
（第10题图）
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【解析】如图，过作交于，交于 四边形
是矩形，， ， ，
于点， ，
，故①正确.， ，
.，，，故②正确. ，
， 四边形是平行四边形， ，
，于点，，， 垂直
平分，，故③正确.设， ，则
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,
, ，
,，即， ，即
，
故④错误.故答案为①②③.
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11.如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，点
在轴上，，分别是，的中点．过点的双曲线与
交于点，连接，在上，且，连接，．若 的面积
为4，则 的值为___.
8
（第11题图）
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【解析】设矩形中，，, 分别是
，的中点， 点，.如图，过点 作
于点，延长交于点 四边形 是矩形，
， 四边形 是矩形，
， .
，，，， ，即
，，，则 ，
, 的面积为4，
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，即 ，
，则 .
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关键点拨
本题主要考查相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质表示出
， 的长是解题的关键.
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12.【2025江苏苏州期末】如图，在中，直径，是 上一动点，作
的垂直平分线，交于,两点，连接,.当点与点重合时， ___；
在点的运动过程中， 的最大值为__.
2
（第12题图）
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【解析】当点与点重合时，设与交于点，如图（1）所示. 的直径
，是的垂直平分线， .根据垂径定理得
.在和中，
，.如图（2）所示,连接，设与 交
于点.设，， ，
，， ，
.，.在 中，由勾股定
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理得 ，
， 当时， 的值
最大，最大值为,此时,符合题意.故答案为2, .
图（1）
图（2）
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思路分析
本题中求的最大值时，设，则， ，
再利用相似三角形的判定与性质并结合勾股定理求出 ，然后利用配方法
求最值即可.
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13.如图，在中，，点在边上，，点 在
上，，垂足为，， .
（第13题图）
（1）线段 的长为____；
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【解析】如图，过作于.设 ，则
， ，
， ，
， ，
，，， .设
，， ，
，
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，，， ，
（舍去），.经检验，是原分式方程的解， .故
答案为10.
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（2）线段 的长为_ ___.
【解析】由（1）知，，， .如图，过
作交的延长线于， ，
，，，， .
，，，， ，即
，解得.故答案为 .
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三、解答题（共61分）
14.【2024浙江温州期末】如图，在的方格中， 是格点三角形
（顶点均在格点上），请按要求画图.
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（1）在图（1）中，作格点，使得与 相似，相似比为2；
【解】 如图（1）所示.
图（1）
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（2）在图（2）中画出绕着格点顺时针旋转 得到的 .
【解】 如图（2）所示.
图（2）
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15.如图，正方形的边长为2，，为线段 上两动点
（不与点，重合），且 ．
（1）求证： ．
【证明】在正方形中， ， .
， .
思路分析
及正方形的性质得 ，进而可证 ;
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（2）求证：无论点，在线段上怎样运动，总有 ．
【解】，，.同理可证 ，
， ，
.
思路分析
同（1）的方法可证,结合 利用相似三角形对应边成
比例的性质即可解决问题.
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16.如图，已知距离为6的两条平行线，与分别交于，两点, 为直径，
且与不垂直，为上一点，过作的平行线交于点，连接, .若
，，求 的长.
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【解】如图，过点作于点，延长交于点 .
，.，.设 ，
则，，解得 ，
，.是的直径， ，
.
， ，
，.在中， ，
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， ，
，.在中，， ，
.
故的长为 .
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关键点拨
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等，解决本题的关键
是证明 .
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图（1）
17. 【2025山西太原期末】学科实践——测量物体的高度.
活动课题：借助标杆测量校园内路灯的高度.
活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具.
方案设计：如图（1）， 表示路灯的高度.在路灯旁的水平空地
上直立一根高2米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点 处发出的激
光束恰好同时经过， .（图中各点均在同一竖直平面内）
测量数据：笃行小组按照上述方案，测得米， 米.
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问题解决：
（1）根据笃行小组的测量数据，计算路灯的高度 .
【解】，,.米， 米，
米，（米），， 米.
答：路灯的高度 为5.8米.
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质疑反思：在交流中，一位同学对笃行小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可
直接到达，将无法测得线段 的长，因此不能求得路灯高度.笃行小组在此基础
上对原有方案进行补充：如图（2），在点处再直立一根同样高度的标杆 ，调
整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过， .
（图中各点均在同一竖直平面内）
按照此方案，笃行小组的同学认为再测量一条线段，即可求出路灯的高度.
图（2）
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（2）他们计划测量的线段是____，若用米表示该线段的长，则路灯的高度 可
用含 的代数式表示为_____米.
【解析】他们计划测量的线段是，， .又
米，米，， ，
，.又米，米， ，
，米.故答案为， .
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18.【2025四川乐山模拟】【解决问题】
图（1）
（1）如图（1），点，在线段上， ，若
，求证： .
【证明】 ，
， ，
，.，， ，
. ， ，
， .
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【知识迁移】
图（2）
（2）如图（2），中，，，点， 在
线段上，点在线段上，若，求证： .
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【证明】， ，
，， ，
，.，, ,
，，，. ，
， .
，
.
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【拓展应用】
（3）如图（3），点在平行四边形的边 的延长线上，
，在线段上确定点，使得 ，并说明理由.
图（3）
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【解】如图，在上截取，连接, ,此时
.理由如下：
四边形是平行四边形， ,
， .
，,.同 可证得
, , .
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