27大招专题3 相似三角形的常见辅助线的作法-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(人教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册相似三角形常见辅助线作法，通过“母题学大招—子题练变式”结构，以作平行线、延长线等具体方法为支架，衔接教材同步知识点，引导学生从例题探究到变式应用，构建系统解题思路。 其亮点在于结合几何直观与推理能力，通过母题详解（如作平行线构造“A字型”相似）和子题变式（2024福建期中题），培养学生用数学眼光发现模型、用数学思维推理关系的能力，助力学生掌握辅助线技巧，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

数 学 九年级下册 RJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二十 七章 相似 大招专题3 相似三角形的常见辅助线的作法 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招11 作平行线 1.［中］如图，在边长为6的正方形中，，，连接 和 交于点，求 的长． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 【解】如图，作，交于点. 在边长为6的正方形 中，， ， ,， ， . , ， .， . ，， ， 即， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 大招解读 作平行线 如果题目中的线段有比例（或数量）关系,且已知线段和所求相关线段能放在“A 字型”或“8字型”相似三角形中,那么可在成比例线段的端点作平行线构造“A 字型”或“8字型”相似模型. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子题练变式 2.［中］如图，在中，，为边 上的一点， ，取的中点，连接并延长交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （1）求 的值. 【解】如图，过点作交于，则 是 的中点，.在和 中， ， ， . ，，，的值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 思路分析 过点作交于.根据两直线平行，内错角相等可得 ，根 据对顶角相等得，再根据中点定义可得 ，然后利用“角边 角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，然后 求出，再证明和相似，根据相似三角形对应边成比例即可得到 ， 从而得到 的值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 （2）若，那么所在的直线与边 有怎样的位置关系？证明你的结论. 【解】.证明：若，则.由（1）知 ，解得 ， 点是的中点.， . （3）点能否成为的中点？若能，求出相应的 的值；若不能，说明理由. 【解】不能.理由如下：假设点能成为的中点，则， .由（1） 知，解得，这与相矛盾， 点不能成为 的中点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 母题学大招12 作延长线 3.［中］如图,在平行四边形中,连接,点是上一点, , ,且 ,若,求 的值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解】如图，延长，交于点. 在平行四边形 中, , ， ， ， . ， 设, . ，，即 , ，， . , , ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 大招解读 作延长线 如果题目中的线段有比例（或数量）关系和平行关系,且已知线段和所求相关线段 能放在 “8字型”相似三角形中,那么可延长平行线使其与另一条延长线相交构造 “8字型”相似模型. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 子题练变式 4.【2024福建三明期中，中】在矩形中，，，点是边 的 中点，是边上一动点（点不与点，重合），线段与相交于点 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 （1）如图（1）,若，求 的长； 【解】 在矩形中， ， ， , , ,.，，点是边 的中点， ，,解得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 18 （2）如图（2）,连接交于点，若，求 的长. 【解】如图，延长，交于点 . ， ， . 在中，，， 由勾股定理得 . ， , ,即,解得 . ,, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 19 ,, . ,,. , , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 母题学大招13 作垂线 5.［中］如图,在中, ,,,点为 边上一点,且 ,连接,过点作交边于点,求点到 的距离. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解】如图,过点作于点 ， ， ， , ，, ， .,,, , ，,，，即 .设 ,则 ,, , ，，， 点到的距离为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 大招解读 作垂线 适用情形：①题目中所求线段与垂线有关；②题中已有 角或垂直关系，且已 知线段和所求相关线段能放在相似三角形中,可借助作垂线构造“A字型”或“一 线三垂直型”相似模型. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 子题练变式 6.【2025江苏宿迁期末，中】如图，在中， ，过点 作 ，交的平分线于点，与相交于点.若 ， ，求 的长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 【解】如图，作于点，交的延长线于点 ， 则 ，平分 ， ， ， ，， ， ， ， ，， .设 ，则， ， ， ，， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 关键点拨 题中直线上已有两个直角，则可想到作交的延长线于点 ，构造相 似三角形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 母题学大招14 取中点作中位线 7.［中］如图，在平行四边形中，为的中点，为 上一 点，交于点，，，，求 的长. 【解】如图，取的中点，连接为的中点，为 的中 点，为的中位线，, .在平行四边形 中，,,, , ,,,即 , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 思路分析 取的中点，连接.先证出，，然后证明 ， 进而得到，求得 ，即可得出答案. 大招解读 取中点作中位线 适用情形：如果题目中有中点，那么可过中点作已知三角形的中位线，构造相似 三角形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 子题练变式 8.【2025福建泉州期末，中】如图，在中，点为 的中 点，点为的中点，交于点.若，求 的 长. 【解】取的中点，连接，如图. 点为的中点， 是的中位线，，，点 为 的中点，，，， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 $