27大招专题2 相似三角形判定的常考模型-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(人教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册相似三角形判定的常考模型，涵盖A字型、8字型、手拉手型等核心知识点。通过“母题学大招”引入中考真题，如2024北京昌平区期中题，引导学生从已知条件出发分情况讨论，搭建从具体题目到模型归纳的学习支架，衔接相似三角形判定定理，梳理知识脉络。 其亮点在于以“数学眼光”抽象模型和“数学思维”强化推理，例如“大招解读”用表格梳理A字型类型及结论培养抽象能力，母题解析通过公共角分情况推导体现推理意识。采用“母题-大招-子题”模式，子题如山东德州质检题变式训练，助力学生提升解题能力，教师可利用分层资源优化教学。

数 学 九年级下册 RJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二十 七章 相似 大招专题2 相似三角形判定的常考模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招5 A字型 （第1题图） 1.【2024北京昌平区期中，中】如图，在中， ， ，点为中点，点在上，当为_____时， 与以点，， 为顶点的三角形相似. 3或 【解析】为中点，2.当 时， ，， ；当 时，，， .综上， 或.故答案为3或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 关键点拨 先得到，再分与 两种情况讨论即可解答. 大招解读 A字型 正A字型 斜A字型（共角） 斜A字型（共边） ______________________ 已知： ；结论： _____________________ 已知： ；结 论： _______________________ 已知： ；结 论： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 子题练变式 （第2题图） 2.【2025山东德州质检，中】如图，将的 边 与刻度尺的边缘重合，点，， 分别对应刻度尺上 的整数刻度.已知，， ，下列结 论不正确的是( ) A A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 【解析】由题意得，，，， 四边形 为平行四边形，，， 易得 ，，， ， ， .故A选项符合题意.故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 母题学大招6 8字型 （第3题图） 3.【2024重庆沙坪坝区调研，中】如图，在边长为 的 菱形中， ，过点作于点 ，现 将沿直线翻折至的位置，与 交于点 ，则 等于_______. 【解析】在中， ，，， 由勾股定理得， .根据翻折性质可得，.， 易证 ，.设，则，解得 ，故答案 为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 大招解读 8字型 正8字型 斜8字型（蝴蝶型） ____________________________ 已知： ； 结论： __________________________ 已知： ； 结论： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 子题练变式 4.【2025上海宝山区校级期中，中】如图，中，点，分别是， 的 中点，与交于点.若，那么 的值是_ __. （第4题图） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 【解析】如图所示，连接 点,分别是, 的中点， 为的中位线，，， 易得 ，.设，则 ， ，.又， . 又，，， ，即 ， ，，.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 母题学大招7 手拉手型 （第5题图） 5.【2024四川成都双流区质检，较难】如图，在 和 中， ，，为 的中点，，.将绕点旋转，直线， 交 于点，连接，则 的最小值是 _________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 【解析】如图，取的中点，连接， ，则 ，， ， . ， ， ， ， ， ， ， ， ， .又为 的中点， .为的中点，为的中点，， 的最 小值为.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 思路分析 取的中点，连接，，则 .由题意可知， ，进而可得，所以 ，根据四边形内 角和可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可得出的长，根据中位线定理可得 的长，由此可得结论. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 大招解读 手拉手型 和共顶点 ，通过两边成比例且夹角相等或利用旋转构造等角来判定 三角形相似.常见模型如下: 在内且 拉手线和 无交点 在外且 拉手线和 无交点 在外且 拉手线和 有交点 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 子题练变式 6.【2024陕西汉中质检，较难】如图，已知正方形的边长为2，对角线 ， 相交于点.将绕点逆时针旋转得到，当，， 三点共线 时， 的长为 _______________. 或 （第6题图） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 【解析】①当在的上方时，， 是等腰直角三角形， . ， ，， ， ，. ， ，， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 ②当在的下方时，如图所示.同理可证 ， . ， ， . ，， ， ，， .综上 所述,的长为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 母题学大招8 一线三等角型 7.［中］如图，正方形边长为4，，分别是， 上的 两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，设 . （1）求证： ； 【证明】在正方形中，， ， . 在中， ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 （2）当点运动到什么位置时？求此时 的值. 【解】 ， 要使，必须有 .由 （1）知，， 当点运动到 的中点时， ，此时 . 易错警示 当两个相似三角形用符号“ ”相连时，它们各顶点的对应关系就是确定的，故 此小问仅有一种情况. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 大招解读 一线三等角型 如图，已知，，三点共线，且 . （1）点在线段 上: 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 （2）点在线段 的延长线上: 图（3） 图（4） 结论： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 子题练变式 8.［较难］如图，在中，点，分别在边，上，连接， ，且 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 （1）求证： ； 【证明】由题图，得 .在 中， ,, , ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 （2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且 是等腰三角形时，求 的长. 【解】， ， 是等腰直角三角形， . ， . ①当时， ， ， ， . 点在上运动（点不与， 重 合）, 此情况不符合题意． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 ②当时，如图（1）， .由（1）易证 ，， ． ③当时，如图（2）， ， 是等 关键点拨 当是等腰三角形时，注意分，， 三种情况进行讨论. 腰直角三角形. , ，即 ， ． 综上所述， 或1． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 母题学大招9 射影定理（子母型） 9.［中］如图，在中， ，是斜边 上的高. （1）求证： ； 【证明】， ， .又 ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 （2）求证： ； 【证明】 ，，， ，即 . （3）若，，求 的长. 【解】， ， ，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 刷有所得 在任意直角三角形中过直角顶点向斜边作垂线，得到的两个小直角三角形都和原 直角三角形相似 . 大招解读 射影定理（子母型） 基本模型 结论 _________________________________ 中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 母题学大招10 十字型 10.【2025河北保定期中，较难】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的 线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程，请你按要求完 成相应的证明和计算. 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 【初步发现】 （1）如图（1），在矩形中，如果交于点，交于点 ，且 ,那么___（填“ ”“ ”或“ ”）； 【解析】 四边形为矩形， ， ， ， ，，.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 【深入探究】 （2）如图（2），在矩形中，，分别交，于点， ， 分别交，于点，，求证： ； 图（1） 【解】【证明】过作于，过作于 ，交 于，如图（1）.易得， ， ，, , ， ， .又 , ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 【尝试应用】 （3）在（1）的条件下，如图（3），在矩形中，点,分别在边, 上， 点，分别在边，上，连接,,且，若，求 的值； 【解】由（1）可知，，由（2）可知，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 【联系拓展】 （4）如图（4），在四边形中，若， ， ，，直接写出 的值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 图（2） 【解】.过点作交的延长线于，过点 作 交的延长线于，连接 ，如图（2），则易知四边 形是矩形，，， ， ，.又， ， ，， .又 ，， ， .设，则，， ， ，解得 ，.由（1）可知， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 大招解读 十字型 如图，在矩形中，点,分别在边,上，于 . 结论： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 39 $