第二十六章 反比例函数-全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(人教版)

该初中数学课件聚焦反比例函数，涵盖图象性质、k的几何意义、实际应用及与一次函数综合等核心知识点。通过2025年各地中考真题导入，衔接一次函数知识，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点是以“刷中考”“刷章测”为主线，精选分层练习与跨学科题，如物理功率问题培养数学眼光，详细解析引导数学思维，实际应用强化模型意识。学生巩固考点提升能力，教师可直接用于教学提高效率。

数 学 九年级下册 RJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第二十 六章 反比例函数 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 反比例函数的图象与性质 1.【2025湖南中考】对于反比例函数 ，下列结论正确的是( ) D A.点 在该函数的图象上 B.该函数的图象分别位于第二、第四象限 C.当时，随 的增大而增大 D.当时，随 的增大而减小 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 【解析】A选项，当时，，所以点不在函数 的图象上，故本 选项不符合题意；B选项，由可知 ，所以它的图象位于第一、第三象限， 故本选项不符合题意；C选项，当时，随 的增大而减小，故本选项不符合 题意；D选项，当时，随 的增大而减小，故本选项符合题意.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2.【2024广东广州中考】函数与 的图象如 图所示，当( )时，，均随着 的增大而减小 D A. B. C. D. 【解析】由函数图象可知，当时，随着 的增大而减小； 的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，均随着的增大而减小， 当时，，均随着 的增大而减小，故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 3.【2025天津中考】若点，，都在反比例函数 的 图象上，则，， 的大小关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】 点，，都在反比例函数 的图象上， ，，， ，故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 4.【2024内蒙古包头中考】若反比例函数，，当 时，函数 的最大值是，函数的最大值是，则 __. 【解析】对于函数，当时，随的增大而减小， 时， .对于函数，当时，随的增大而减大， 时，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 5.【2025河南中考】小军将一副三角板按如图方式摆放 在平面直角坐标系中，其中含 角的三角板 的直角边落在轴上，含 角的三角板 的直角 顶点的坐标为,反比例函数 的图象经 过点 . （1）求反比例函数的解析式. 【解】 反比例函数的图象经过，， ， 反比例函数解析式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 （2）将三角板绕点顺时针旋转 ,边上的点 恰好落在反比例函数图象 上，求旋转前点 的坐标. 【解】如图，过点作，垂足为点，则点是 的 中点,, 三角板旋转后，点 的横坐标 为4.把代入，得， 三角板 旋转后，点 的纵坐标为1, ， 旋转前点的坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 考点2 反比例函数中 的几何意义 6.【浙江绍兴中考】如图，在平面直角坐标系中，函数 为大于0的常 数，图象上的两点,,满足,的边 轴， 边轴，若的面积为6，则 的面积是___. 2 （第6题图） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 【解析】如图，延长交轴于，延长交轴于点 ， 轴，轴， 四边形为矩形.， 点为中点.由比例系数的几何意义得，， 点为中点，， ， .故答案为2. 关键点拨 本题考查反比例函数中的几何意义，由的几何意义得出 是解题关键. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （第7题图） 7.【2024黑龙江齐齐哈尔中考】如图，反比例函数 的图象经过平行四边形的顶点，在 轴上，若点 ，，则实数 的值为____. 【解析】延长交轴于点， ， ，， ， ，， 反比例函数 的图象在第二象限，.故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 考点3 反比例函数的实际应用 8. 跨学科综合 【2025吉林长春中考】在功 一定的条 件下，功率与做功时间成反比例，与 之间的函 数关系如图所示.当时， 的值可以为( ) C A.24 B.27 C.45 D.50 【解析】由题意设关于的函数解析式为，代入点 ，得 ，解得，关于的函数解析式为.当 时，；当时，， 在第一象 限内，随着的增大而减小，， 的值可以为45，故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 思路分析 先用待定系数法求出关于的函数解析式，再分别求出当和当 时， 的值，最后利用反比例函数的增减性即可求解. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 9.【2024河北中考】节能环保已成为人们的共识，淇淇家计划购买500度电，若平 均每天用电度，则能使用 天.下列说法错误的是( ) C A.若,则 B.若,则 C.若减小，则也减小 D.若减小一半，则 增大一倍 【解析】 淇淇家计划购买500度电，平均每天用电度，能使用 天， ，.当时， ，故A选项不符合题意；当 时，，故B选项不符合题意；，， 若 减小，则 增大，故C选项符合题意；若减小一半，则 增大一倍，表述正确，故D选项不符 合题意.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 10. 跨学科综合 【2025江苏连云港中考】某气球内充满了一定质量的气体， 在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比例函数. 当时，.则当时，________ . 16 000 【解析】设与之间的函数关系式为为常数，且.将 ， 代入，得，解得，与 之间的函数关系 式为.当时，， 当 时， .故答案为16 000. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 考点4 反比例函数与一次函数的综合 （第11题图） 11.【2025江苏连云港中考】如图，正比例函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点，点 的横坐标为.当时， 的取值范围是( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】由双曲线及正比例函数图象的对称性得点 的横坐标为 1， 当时，的取值范围为或 .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 （第12题图） 12.【2025陕西中考B卷】如图，过原点的直线与反比例函 数的图象交于， 两点， 则 的值为___. 9 【解析】 过原点的直线与反比例函数 的图 象交于,两点， 点和点 关于原 点对称，即的横坐标与的横坐标互为相反数，的纵坐标与 的纵坐标互为相反 数，，，，，.把代入 ， 得，解得 .故答案为9. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 关键点拨 根据正比例函数和反比例函数的图象和性质得到点和点 关于原点对称，再利用 关于原点对称的点的坐标特征即可求得点坐标，进而求出 值. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 13. 【2025江西中考】如图，直线 与反 比例函数的图象交于点 . （1）求一次函数和反比例函数解析式； 【解】 直线与反比例函数 的 图象交于点 ， ，，， ， 一次函数和反比例函数解析式分别为， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 （2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点，连接， ，当 时，求点的坐标及直线 平移的距离. 【解】如图，作轴于点，轴于点 ， . ，， . ，， ， ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 设，则， . 点在反比例函数 的图象上， ，解得或 （舍去）， . 设直线平移后的解析式为 ， ，， 直线向上平移的距离为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 14.【2025四川内江中考】如图，在平面直角坐标系中，反比例 函数的图象与一次函数的图象相交于 , 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； 【解】 反比例函数的图象过点， ，故反比例 函数的解析式为.把点代入反比例函数得， ，解得 ， 点的坐标为 一次函数的图象经过， 两点， 解得故一次函数的解析式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式 的解集； 【解】， ，结合图象可得 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 （3）过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点.若点 横坐标为 ，求 的面积. 【解】 点横坐标为，代入 ，解得 ，.将代入，得 ， 解得，.如图，过点，分别作 轴的垂线，垂 足分别为， . ，，， ， ， ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 章测 一、选择题（共30分） 1.【2024湖南郴州质检】下列各选项中的两个变量成反比例关系的是( ) B A.圆的面积与其周长 的关系 B.王同学完成赛跑时，所用时间与他的平均速度 的关系 C.一根弹簧原长，在其弹性范围内所挂物体的质量 与弹簧拉伸的长度 的关系 D.一个容器的容积是，该容器盛满溶液时溶液的质量 与其密度 的关系 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 【解析】 A 设圆的半径为，则，与 不是反比例关系， 不符合题意 B ，即，与 是反比例关系，符合题意 C （其中是重力加速度，为弹性系数），即，与 不是反 比例关系，不符合题意 D ，与 不是反比例关系，不符合题意 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 2.【2025广东珠海期末】在研究反比例函数图象与性质时，小明因粗心误认为 ,,,, 四个点在同一个反比例函数的图象上，后来经检 查发现其中有一个点不在，这个点是( ) B A. B. C. D., 【解析】， 这个点是 . 故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 技巧总结 解决线段旋转问题时，可以借助全等三角形确定对应点的坐标. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 33 3.【2025四川绵阳期末】已知点是反比例函数 的图象上的一个动点， 连接，若将线段绕点顺时针旋转 得到线段，则点 所在反比例函数 图象的解析式是( ) C A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 34 【解析】设.由旋转知.如图，过作轴于 ， 过作轴于，， ， ， ， .在 与中， ，，， 点 是 反比例函数的图象上的一个动点，，， 点 所在反比例函数图象的解析式为 .故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 35 4.【2025湖南岳阳期中】定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点 叫做这个函数图象的“近轴点”.例如，点是函数 图象的“近轴 点”.下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是( ) ；； . C A.① B.② C.③ D.①②③ 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 36 【解析】①在中，当时，，当时，,且 ， 则随的增大而减小， 函数 的图象上不存在“近轴点”；②由反比 例函数解析式可知，当时，，当时，，在第一象限内， 随 的增大而减小，且反比例函数图象关于原点成中心对称， 函数 的图象上 不存在“近轴点”；， 当时， ， 当时，， 函数 的图象上存在“近轴点”.故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 37 5.【2024北京朝阳区期中】已知点，， 在反比例函数 的图象上，，有下面三个结论：①若 ，则 ；②若，则；③若，则 .所有正确结论的 序号是( ) A A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 38 【解析】， 该函数图象位于第一、三象限内，且在每一象限内，随 的 增大而减小，，， 点 ， 位于第一象限内，，故①正确， ， ， 点位于第一象限内，， 位于第三象 限内，,，，故②正确，, 或,， 当,时， ， ；当,时，， ,故③错误.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 关键点拨 根据反比例函数的性质判断函数图象上的点的纵坐标的大小关系时，要先确定点 所在的象限. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 6.【2025浙江杭州质检】如图，矩形 的两边分别在坐标 轴上，，，点 在反比例函数 的图象上，且在矩形 内部，其横坐 标为.过点作轴交于点，作轴交于点 ， 连接，.记的面积为 ，以下说法正确的是( ) C A.的值仅与，有关 B.的值仅与， 有关 C.的值仅与有关 D.的值与，，， 都有关 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 【解析】由条件可知，， 点 在反比例函数 的图象上，且横坐标为，,.轴， ， ，. ， ，的值仅与 有关.故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 二、填空题（共20分） 7.已知直线与双曲线相交于点，则 的值等于____． 【解析】 直线与双曲线相交于点， ， ，，，则.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 8.【2025广东佛山二模】已知函数 的图象如图所 示，边长为2的正方形的顶点横坐标为2， 轴.将 正方形 向正下方平移，它的两个顶点可同时落在函数图 象上，则 的值是___. 8 【解析】 将正方形 向正下方平移，它的两个顶点可同 时落在函数图象上， 易知,落在函数图象上. 边长为2的正方形 的顶点 横坐标为2， 设平移后，则平移后， ，解 得， 平移后， ，故答案为8. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 44 9.如图，若直线（为常数）与函数 的图象恒有两个不同的 交点，则常数 的取值范围是___________. （第9题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 【解析】由图象可得，直线（为常数）与函数 的图象恒有 两个不同的交点时，常数的取值范围是.故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.【2025浙江温州质检】如图，在直角坐标系中，点, 在反比例函数 的图象上，点在轴上，轴，若 ， ，则 ____. 15 （第10题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 47 【解析】如图，过点作于点 ，设 ，， ， .由 ，得，解得 ， 思路分析 过点作于点，设,利用勾股定理列出关于的方程，解之求出 的值，设,两点的纵坐标为,表示出, 两点的坐标即可求解. ，轴，，两点的纵坐标相同，设为 ， ，，故,解得，故 .故 答案为15. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 三、解答题（共50分） 11.【2025内蒙古包头期末】如图，在平面直角坐标系 中，直 线与反比例函数的图象交于，两点，与 轴交于点，已知点，的坐标分别为和 . （1）求反比例函数的解析式； 【解】把点代入，得， 点的坐标为 反比例函数 的图象过点，，即反比例函数的解析式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 49 （2）请直接写出不等式 的解集； 【解】由图象可得，不等式的解集为或 . （3）点为反比例函数图象上的任意一点，若，求点 的坐标. 【解】把代入，得，即点的坐标为 ， ， ，，.当点 的纵坐 标为3时，，解得，;当点的纵坐标为时， ，解得 ， 点的坐标为或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 50 关键点拨 根据图象求出，再根据求出 是解题的关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 51 12.学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热 点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了 一个调查，发现每天放学时间2分钟后校门口学生流量变 化大致可以用“拥挤指数”与放学后时间 （分） 的函数关系描述．如图， 分钟呈抛物线状态，且在 第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数 的图象 向右平移4个单位得到的曲线趋势．当“拥挤指数” 时，校门口呈现“拥挤 状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 52 （1）求该二次函数的解析式和 的值； 【解】设该二次函数的解析式为.把 代入，得 ，解得， 所求二次函数的解析式为 .把点向左平移4个单位，得,将 代入 得 . （2）“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由． 【解】超过20分钟.理由如下：令,解得 ， （舍去）.令，解得， ，而 ， “拥挤状态”持续的时间超过20分钟. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 53 13.【2025河南漯河二模】如图，在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 的图象上，与轴交于，两点，与轴相切于点.连接 ， .已知是等边三角形，且 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 54 （1）求反比例函数的解析式. 图（1） 【解】是等边三角形，且 ， , .如图（1），过点 作 轴，垂足为，连接， .由“三线合一”得 ，，则.与 轴相切于点,轴， 点的坐标为 点 在反 比例函数图象上， 把代入，得 ，解得 ， 反比例函数的解析式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 55 （2）过点作轴，交于另一点，点 是否在反比例函数的图象上？ 图（2） 【解】如图（2），过点作轴，垂足为，连接 ,设 交于点 . 轴，轴，， ， ， 四边形 是矩形，， ，即点 的横坐标为.由（1）得，， 点 的 坐标为，则， 点 的坐标为 ， 点 在反比例函数的图象上. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56 $