第三十章 二次函数-全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数，涵盖图像性质、几何变换及实际应用等核心知识点。课堂导入可结合2025福建中考真题，通过点在抛物线上的坐标关系分析，衔接二次函数表达式基础，搭建从概念到综合应用的学习支架。 其亮点是以中考真题为载体，通过对称轴推导、交点坐标分析等培养数学思维，以围矩形菜地建立面积函数模型体现数学语言应用，落实抽象能力与应用意识。分层训练与超链接设计，助力学生提升解题能力，也为教师提供便捷教学资源。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第三十章 二次函数 全章综合训练 5 刷中考 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图像和性质 1.【2025福建中考】已知点,在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 点和在抛物线 上， ， ， ， ，即， ， ，即 ,故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2.【2024四川遂宁中考】如图，已知抛物线 ,,为常数，且的对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点，与轴的交点在， 之间 （不含端点），则下列结论正确的有多少个( ) B ； A.1 B.2 C.3 D.4 ② ； ③ ； ④若方程两根为, ，则 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 【解析】由抛物线开口向上可知 抛物线 的对称轴为直线 ，,，， 抛物线 与轴的交点在，之间， ， ，故①错误. 对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点 ， 抛物线与轴另一个交点坐标为， ，故②错误. ，，，，解得 ，故 ③正确.由题意知，直线过点和，画出其图像如图所示. 方 程的两根为,,, 满足 ，故④正确. 故选B． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 思路分析 根据题干可得，， ，即可判断①错误；根据对称轴 和抛物线与轴的一个交点的坐标求得另一个交点坐标为 ，即可判断②错 误；由得,结合及 即可得到 ，即可判断③正确；由题意画出图像,结合抛物线 与 轴的交点坐标即可判断④正确． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.【2025山东中考】已知二次函数 ,其中 , 为两个不相等的实数. （1）当, 时，求此函数图像的对称轴. 【解】当， 时， ， 对称轴为直线 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （2）当时，若该函数在时，随的增大而减小；在 时，随的增大而增大，求 的取值范围. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解】 ， ， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的开口向上. 该函数 在时，随的增大而减小；在时，随 的增大而增大, . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （3）若点,,均在该函数的图像上，是否存在常数 ,使 得?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 【解】存在. ， ， , . ， , 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 . ， ， ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 考点2 抛物线的几何变换 4.【2024山东滨州中考】将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为______. 【解析】将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得 到抛物线表达式为， 顶点坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 5.【2024黑龙江牡丹江中考】将抛物线 向下平移5个单位长度后， 经过点，则 ___. 2 【解析】抛物线 向下平移5个单位长度后所得抛物线的表达式为 ，把点代入得到 ， 整理得， .故答案为2. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 考点3 二次函数的实际应用 6. 【2024四川自贡中考】九（1）班劳动实践基地内 有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙 于点 （如图），其中上的 段围墙空缺.同学们测得 ，，， ， 46.4 关键点拨 观察图形，只有利用和 才能使该矩形菜地面积最大. ，班长买来可切断的围栏 ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩 形菜地，则该菜地最大面积是______ . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 【解析】设矩形菜地在射线上的边长为.当 时， ，当时， 最大， 最大面积为.当 时， ，在的范围内， 均小于，所以该菜地的最大面积为.故答案为 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 7.【2025贵州中考】用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面 接触,石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图（1），小星站在河边 的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度与水平距离 之间的关系 如图（2）所示.石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线 ，且 ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 ，运动路径近 似为抛物线，且 .（小星所在地面、水面在同一平面内， 且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） 图（1） 图（2） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 （1）如图（2），当,时，若点坐标为，求抛物线 的表达式； 【解】当,时，,把 代入，得 ,解得, 抛物线的表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高 的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线 运动时是 否能越过障碍物？请说明理由； 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 【解】不能. 理由如下： ，点坐标为, , . 点的坐标为，, , , . 对于 , 当时, , 当时, , 此时石块沿抛物线 运动时不能越过障碍物. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形 区域内（包括边界）， 且点在和之间（包括这两点），其中,,，求 的取 值范围.（在抛掷过程中正方形与拋物线 在同一平面内） 【解】 正方形中，，，, , ,如图所示. 抛物线 开口向下, . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 越小抛物线开口越大，越大抛物线开口越小，点在和 之间 （包括这两点）, 由图像可得，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最大，此时 最大, 令的表达式为 , 将代入，得 , 解得 ； 由图像可得，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最小，此时 最小, 令的表达式为 , 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 将代入，得 , 解得 , 的取值范围为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 考点4 二次函数与一元二次方程 8.【2025四川南充中考】已知某函数图像关于轴对称，当 时， ；当时，.若直线 与这个函数图像有且仅有 四个不同交点，则实数 的范围是( ) A A. B. C. D.或 关键点拨 解决此类题目的关键是移动直线观察交点个数，利用数形结合的方法求解. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 【解析】 函数图像关于轴对称，当 时， ，当时，， 当 时，，当时， .画出函数图 像如图所示，直线 在图示位置之间时与函数图像有 且仅有四个不同的交点.联立 得 ，,解得.当直线过时， .故 当时，直线 与这个函数图像有且仅有四个不同的交点.故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 考点5 二次函数的综合 9.【2025河北中考】如图,在平面直角坐标系中，抛物线 经过点,,顶点为 .抛物线 经过点 .两条抛物线在第一象限内的 部分分别记为, . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 （1）求,的值及点 的坐标. 【解】 抛物线经过点，， 解得 ， 点的坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 （2）点在上，到轴的距离为.判断能否经过点,若能，求 的值；若不 能，请说明理由. 【解】不能. 理由： 点在上，到轴的距离为， . 当时，，解得或 . 点的坐标为或 . 抛物线的对称轴为直线 ， 且该抛物线经过点，经过点关于直线的对称点 ， 不能经过点 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 （3）直线交于点,点在线段上，且点 的横坐标是 点 横坐标的一半. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 ①若点与点重合，点恰好落在上，求 的值； 【解】，，当,重合时， ， 又 点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半，是 的中点， . 点恰好落在上，经过点 ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 34 ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出 的值. 【解】 . 直线过点，， 直线 的表达式为 . 经过点 ， ， ， .联立 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 得 ,则该方程的两个根的 和为，则易得， . 将点坐标代入，得 . 整理得,, , 解得或 . 点为直线与的唯一公共点， 在方程 中， ⓘ 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 将代入ⓘ，得，解得 . 当时，直线与没有公共点，不符合题意， . 将代入ⓘ，可解得或，均不符合题意，故 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 关键点拨 （2）掌握抛物线的对称性是解题的关键. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 38 $