30大招专题3 二次函数图像中的交点问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数图像交点问题，从母题确定抛物线表达式入手，通过子题变式（平移、对称抛物线交点分类）构建学习支架，衔接判别式应用与临界状态分析，帮助学生逐步掌握核心知识。 其特色是“大招专题+分层变式”设计，结合几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），如用“端点值代入法”分析抛物线与线段交点，规范解题步骤培养模型意识（数学语言）。学生能提升解题逻辑，教师可直接用分层例题与大招总结优化教学效率。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第三十章 二次函数 大招专题3 二次函数图像中的交点问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招12 确定图形找临界状态 1.［较难］如图,已知抛物线的顶点为，与轴的交点为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 （1）请直接写出 的表达式； 【解】的表达式为 抛物线的顶点为， 设抛物线 的表达式为.把代入得 ， ， 抛物线的表达式为，即 . （2）若直线与有唯一的交点，求 的值； 【解】由得 . 直线与 有唯一的交点， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （3）若抛物线关于轴对称的抛物线记作，平行于轴的直线记作 .试结 合图形回答：当为何值时，与和 共有：①两个交点?②三个交点?③四个交点? 【解】 抛物线关于轴对称的抛物线记作， 抛物线的顶点坐标为 ， 与轴的交点为， 抛物线的表达式为.①当直线 过抛 物线的顶点和抛物线的顶点，即时，与和 共有两个交 点.②当直线过，即时，与和共有三个交点.③当 或 时，与和 共有四个交点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 大招解读|确定图形找临界状态 （1）根据已知条件画出确定的图形； （2）将直线在坐标系中上下平移，找到符合题意的临界位置（常见位置:①二次 函数图像顶点;②图像交点;③与二次函数图像的切点）； （3）联立直线和抛物线的表达式得一元二次方程,利用 求解； （4）临界位置之间的部分即为满足题意的部分. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 子题练变式 与平行于坐标轴的直线的交点问题 2.【2025山东临沂期中，中】如图，已知抛物线 和线段，点和点的坐标分别为， ，将抛物线向上 平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则 的取值范 围是__________________. 或 刷有所得 此类型题采用数形结合思想，结合图像，找出临界位置可得答案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 【解析】， 该抛物线的对称轴为直线 . 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线表达式为 . 当抛物线顶点恰好平移到线段上时，，解得 ；当抛物线经过点 时，，解得，此时关于对称轴直线 对称的点在线段上，不符合题意；当抛物线经过点 时， ，解得，此时关于对称轴直线 对称的点 的不在线段上，符合题意.结合图像可知，平移后的抛物线与线段 仅 有一个交点时，或.故答案为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 子题练变式 与一次函数图像的交点问题 3.［较难］在平面直角坐标系中，已知抛物线，将 向右平移4 个单位长度，得到抛物线，过点作轴的垂线，交于点，交 于点 ，为与 的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点 组成的图形记为图形.若直线与图形恰好有4个交点，则 的取值 范围是( ) A A. B. C. D. 思路分析 求得平移后的抛物线的表达式，两表达式联立，求得两抛物线交点坐标为 ， 由题意画图形 ，再采用数形结合思想解题即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 【解析】 抛物线，将 向右平移4个单位 长度，得到抛物线， 抛物线 的表达式为 . 联立得解得 两抛物线的交点坐标为 . 由题意得图形 如图所示. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 把代入，得，解得.当直线与 只有一个交 点时，，即 有两个相等的实数根， ，解得. 直线与图形 恰好有4个交 点， 结合图形可知， .故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 大招解读|端点值代入法 （1）确定由抛物线和线段所在直线的表达式得到的方程； （2）抛物线与线段仅有一个交点 时： 情况1：如图（1）,满足条件且 . 情况2：如图（2）,满足条件且时，； 时， . 情况3：如图（3）,满足条件 且 时，；时， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 思路分析 ①当时，若抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线上的点 在 点的下方，据此即可求解； ②当时，若抛物线的顶点在线段上，则抛物线与线段 只有一个公共点， 据此即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 母题学大招13 端点值代入法 4.【2024江苏泰州质检，中】二次函数的图像经过点 和 .直线上有一点，将点向右平移4个单位长度，得到点 ，若抛 物线与线段只有一个公共点，求 的取值范围. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 图（1） 【解】设直线的表达式为.把点 和 代入得 解得 直线的表达式为 . 把代入，得，.由平移得 二 次函数的图像经过点和 , 解得 .①当 时，若抛物 线与线段只有一个公共点，如图（1），则抛物线上的点在 点的下方，，解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 图（2） ②当时，若抛物线的顶点在线段 上，则抛物线与线段 只有一个公共点.如图（2）, ,即 ，解得或 . ,解得， 不满足题意， 故舍去， . 综上，的取值范围是或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 思路分析 分和两种情况求解.当时，根据点，的坐标，可求得直线 的表达式,联立抛物线与直线 的表达式可得一元二次方程，再根据抛物线与线 段 有两个不同的交点求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 子题练变式 5.【2024河北唐山期中，中】在平面直角坐标系中，已知二次函数 ，点，.若二次函数 的图 像与线段有两个不同的交点，则 的取值范围为_ __________________. 或 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 【解析】①如图（1），当时，抛物线的对称轴为直线, 时，，解得， . ②如图（2），当时， 点，，设直线 的表达式为 ，解得 直线的表达式为 .令 ，整理得 二次函数 的 图像与线段 有两个不同的交点， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 ，且时， ， . 综上,的取值范围为或 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 $