30大招专题2 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数最值问题，通过母题“几何定理法求线段和差最值”导入，衔接教材同步分层练，以“母题学大招-子题练变式-刷难关”为支架，串联几何直观、代数表达及铅垂法等解题方法，构建知识脉络。 其亮点在于融合数学思维与应用意识，“大招解读”提炼将军饮马等模型规律，子题融入2024山东济宁期中真题，培养推理能力。分层训练设计助力学生掌握策略，教师可利用可编辑课件及超链接跳转，提升教学效率。

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第三十章 二次函数 大招专题2 二次函数中的最值问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招9 几何定理法求线段之和（差）最值 1.［中］如图，已知抛物线过点，，其对称轴为直线 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求该抛物线的表达式. 【解】 抛物线过点，，且它的对称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点的坐标为.设抛物线表达式为.把 代入， 得，解得， 此抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限. ①当的面积为15时，求点 的坐标； 图（1） 【解】如图（1），点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象 限， 设，直线的表达式为，则 ，解 得， 直线的表达式为.设直线 与抛物线对称轴交于 点，则， ， ，解得或（舍去）， 点 的坐标 为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 ②在①的条件下，是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点 的坐标. 【解】设直线的表达式为.把，代入得 解得 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 图（2） 如图（2），当的值最大时，点，， 在同一条直线上. 是抛物线上的动点， 联立 解得（舍去）， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 大招解读|几何定理法求线段之和（差）最值 （1）线段之差最大问题：当两定点和动点共线时，线段之差最大，所以动点在两 定点所在的直线上，求解时可过两定点作直线. （2）线段之和（周长）最小问题：这类问题一般是将军饮马中“两定点，定线上 一动点”，求解时作对称点，将求和的两条线段转化到一条线段上. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 子题练变式 两点之间线段最短 2.【2024山东济宁期中，中】如图，抛物线与 轴 交于，两点，与轴交于点，，，连接和 . （1）求抛物线的表达式. 【解】，，，.将， 代入 ，得解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标. 【解】由可知，抛物线对称轴为直线 .由抛 物线的对称性可知，点与点关于对称轴对称.如图，设 交对 称轴于点,连接,则 .由两点之间线段最短可知，此 时最小，而的长度是定值，故此时 的周长取得 最小值.由可知，点的坐标为.设直线 的 表达式为，将点代入，得， 直线 的表达式为 ，当时，， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 思路分析 （2）设交对称轴于点.由抛物线的对称性可知 ,由两点之间线段最短 可知，此时有最小值，而的长度是定值，故此时 的周长取得最 小值，求出直线 的表达式，即可得到答案． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 母题学大招10 代数法求线段最值 3.【2024山西晋中期中，中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧），与 轴交 于点，且点的坐标为 ． （1）求点 的坐标； 【解】 点在抛物线上， ， ，令，得，解得 或 ， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线 距离的最大值. 【解】由（1）知，.过作于点，过点作 轴于点，交于点，如图.，， ， 是等腰直角三角形， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大.设直线 的表达式为 ，将代入得，， 直线 的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 设，则 ， .， 当 时，取得最大值,为，， 点到直线 距离的最 大值为 . 大招解读|代数法求线段最值 二次函数图像中求平行于 轴的线段最值问题时，常用代数法：设出动点坐标，利 用坐标表示出线段长度，构造二次函数，利用二次函数的性质求最值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 子题练变式 4.【2025湖北武汉质检，较难】如图（1），已知抛物线 经 过轴正半轴上一点和轴负半轴上一点，且 . 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （1）求抛物线 的表达式. 【解】，，且点位于轴负半轴上，,, . 把，代入得，解得 抛物线 的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （2）将抛物线平移至其顶点与点重合得到抛物线 ，如图（2）所示，设抛 物线上有任意一点，过作轴于点，则轴正半轴上是否存在一定点 ， 使得线段恒成立？若存在，请求出 点坐标；若不存在，则说明理由. 【解】存在.假设轴正半轴上存在一定点，使得恒成立. 将抛物线 平移至其顶点与点重合得到抛物线， 抛物线 的函数表达式为 .设,，轴， ， .当时， ， ，整理得 轴正半 轴上存在一定点，使得线段恒成立，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （3）在（2）的基础上，设过点的直线分别交抛物线于， 两点 （点在点右侧），如图（3）所示，请求出 的最小值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解】如图，作轴于，作轴于.设, , ,.由（2）知，，， .设直线 的表达式 为，把点、点的坐标代入得， 解得 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 在直线上，， ， ，， 的最小值是 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 母题学大招11 铅垂法巧求面积最值 5.【2024河南洛阳期中，中】如图，抛物线 ,,为常数，经过点，， . （1）求抛物线的表达式. 【解】设.把代入，得 ， 解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 （2）如图，连接,点在直线下方的抛物线上,求出的面积最大时点 的坐标. 【解】如图，连接,,过点作轴于点，交于点 . 由,,易得直线的表达式为 .设 ，则 ， ，， 当时，最大，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 大招解读|铅垂法巧求面积最值 铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是斜三 角形面积问题.具体公式为三角形面积等于水平宽和铅垂高 乘积的一半.三角形的水平宽指的是两个顶点之间的水平距 离，而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 结论证明 证明:如图, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 子题练变式 6.【2024湖北荆门期中，较难】如图，已知抛物线 与轴交于点，与轴交于, 两点 （点在点 左边）. （1）请直接写出,, 三点的坐标. 【解】,,.当时，，.当 时， ，解得，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）若点是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点 的坐标. 【解】如图，过点作轴于点，交于点 ，则 ， ， 设直线的表达式为 ，把 ，代入，得解得 直线 的 表达式为.设，则 ， ， 当 时，取最大值，则的面积最大，此时， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 思路分析 （2）先求出直线的表达式，易知取最大值时, 面积最大,利用坐标将 的长表示出来，根据二次函数的最值即可求出点 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 $