30.2课时3 二次函数y=ax^2_bx_c的图像和性质-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(冀教版)

数 学 九年级下册 JJ 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 第三十章 二次函数 4 30.2 二次函数的图像和性质 课时3 二次函数 的图像和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数与 的相互转化 1.【2024河北唐山期末】老师设计了接力游戏， 用合作的方式完成“求抛物线 的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人 接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) C A.只有甲 B.丙和丁 C.甲和丁 D.乙和丙 给的式子，并进一步进行计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图 所示： 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】,所以甲错误;由 可得 顶点坐标为 ，所以丁错误. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2025河北唐山丰南区期末】用配方法将二次函数 化为 的形式，则 的值是( ) D A. B. C.2 D.4 【解析】，， ， ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 二次函数 的图像和性质 3.【2025广东汕头期末】已知抛物线 ，下列结论错误的是( ) D A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线 C.抛物线的顶点坐标为 D.当时，随 的增大而增大 【解析】， 抛物线开口向上，因此A选项正确； ，， 抛物线的对称轴为直线 ，顶点 坐标为，因此B、C选项都正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，随 的增大而减小，因此D选项错误.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.【2024河北唐山丰润区期末】当二次函数 取得最大值时， ，则 的值为( ) B A. B.1 C.2 D. 【解析】由题意得抛物线对称轴为直线 二次函数 取得最大值时,， 抛物线对称轴为直线， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5.已知点，，都在二次函数 的图像上，当 时，，则，， 的大小关系正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】， 图像的对称轴是直线 当 时，,当时，， 抛物线开口向上， 当时，随 的增大而 增大. 点关于直线的对称点是,， ， 故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.【2025河北秦皇岛质检】若抛物线经过 ， ，则它的对称轴为直线______. 刷有所得 若点，是一条抛物线上的不同的两点，则点与点 关于抛物线的对 称轴对称，且这条抛物线的对称轴是直线 . 【解析】因为， 两点的纵坐标相同，所以这两点关于抛物线的对 称轴对称，所以对称轴为直线 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 7.已知二次函数 ． （1）该二次函数图像的开口方向为______； 向上 【解析】，, 该二次函数的图像开口向上. （2）若该函数的图像的顶点在轴上，则 的值为____． 【解析】 该函数的图像的顶点在轴上，，解得 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 8.如图是某位同学设计的动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上 就会闪现不同的抛物线．抛物线的统一形式为 为整数,，，且顶点始终在直线 上． （1）若，且抛物线顶点纵坐标为3，求, 的值； 【解】， 直线表达式为， 当时,, 抛物线顶点坐标 为,解得 （2）试推断与 的数量关系并说明理由； 【解】.理由如下: 抛物线顶点始终在直线上， . 又，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （3）横、纵坐标都是整数的点称为整点，若抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线 就会改变颜色．那么当 时，这组抛物线中有几条会改变颜色? 【解】，，抛物线顶点在直线上. 对称轴为直线 ,且抛物线顶点是整点,为整数，，， ， 抛物线开口向下，，，，，，此时 , 18,12,6,均符合条件, 当 时，这组抛物线中有4条会改变颜色． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷易错 易错点 确定函数的最值时，忽略自变量的取值范围 9.二次函数 的最值是____. 28 易错警示 确定二次函数的最值时，不仅要看顶点坐标，还要看函数自变量的取值范围，以 及在自变量的取值范围内函数的增减性. 【解析】,且,随的增大而增大， 存在 最小值，即当时，取最小值，为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 提升 1.【2024河北保定期末,中】二次函数的自变量与函数 的对应值 如下表,下列选项说法正确的是( ) … 0 … … 4.9 0.9 0.9 4.9 … D A.抛物线的开口向下 B.当时，随 的增大而增大 C.二次函数的最大值是4.9 D.抛物线的对称轴是直线 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】由表格可得当和时，对应 的值相等，故抛物线的对称轴 为直线,, 抛物线开口向上,二次函数有最小 值，没有最大值，当时，随 的增大而增大.故选项A，B，C错误，选项D 正确. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2.【2025辽宁鞍山期中，中】直线与抛物线 在 同一坐标系中的大致图像可能是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】 一次函数 二次函数 是否矛盾 A ， ，， 矛盾 B ， ，， 不矛盾 C ， ，， 矛盾 D ， ，， 矛盾 故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 3.【2025山东济南质检，中】已知二次函数 ，将其图像在直 线左侧部分关于轴对称，其余部分保持不变，组成图形.在图形 上任取 一点，点的纵坐标的取值满足或，其中.令，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 思路分析 将变形得 .分类讨论： 时，时，时， 时，分别画出四种情况的大致 图像，求出的取值范围，看是否满足题意，根据满足题意的值即可求得 的取值 范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】将变形得 .①如图（1），当 时，的取值范围为或 ，不满足题意； ②如图（2），当时，的取值范围为或 ，满足题意，此时 ； ③如图（3），当时，的取值范围为或 ，满足题意， 此时 ； ④如图（4），当时，的取值范围为或 ，不满足题意. 综上， ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.［难］将二次函数 配成顶点式后， 发现其图像的顶点的纵坐标比横坐标大1，如图，在矩形 中， 点，点，则抛物线 与 矩形有交点时, 的取值范围为_ _____________. 关键点拨 先将二次函数化成 ，推出抛物 线的顶点在直线 上运动是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 【解析】, 此抛物线的开口向上.将 配成 顶点式为， 此抛物线的顶点坐标是 ，则此抛物 线的顶点在直线 上运动.如图（1），当抛物线与矩形第一次相交时，抛 物线经过点，将代入 得 ，解得， （舍去）;如图（2）， 当抛物线与矩形最后一次相交时，抛物线的顶点在矩形与轴的交点 处，将 代入得，解得， （舍去）, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 5.［中］如图，已知抛物线的对称轴为直线 ，且 抛物线与轴交于,两点，与轴交于点，其中， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （1）若直线经过,两点，求直线 和抛物线的表达式； 【解】依题意，得解得 抛物线表达式为 ． 抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，.把 ， 分别代入直线，得解得 直线 的表达 式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点 的距离之和最小， 求出点 的坐标； 【解】设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小．把 代入 直线，得，，即当点到点的距离与到点 的距离之和 最小时,的坐标为 . （3）点为线段上一动点，过作轴的垂线交抛物线于点（点 在第二象 限），求线段 长度的最大值． 【解】设，则 ， , 当 时，线段 的长度有最大值，为． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 刷素养 走向重高 6.思想方法 数形结合 【2025河北秦皇岛期末，中】如图，点 为抛物线的顶点，直线 与该抛物线交于 ，两点（点在轴上），与抛物线的对称轴交于点 . （1）求的值及点 坐标. 【解】 直线过点，， 抛物线表达式 为， 顶点坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，， 为顶点的三角形是等 腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形. 抛物线表达式 为 , 对称轴为直线.过点作于点，如图.在中， ， ， . ①当时，设.在中， , ,解得, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 ②当时，根据等腰三角形三线合一的性质可得 ， ， . ③当时，， ， . 综上所述，点的坐标为或或或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 微专题1 二次函数中函数值大小比较的方法 1.代数法【2025河北沧州期中，中】已知三点，， 在抛物线 上，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D.无法比较 【解析】 点，，都在抛物线 上， ，，， . 故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 34 2.对称法【2025吉林长春校级期中，中】已知点，， 均在二次函数的图像上，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 【解析】二次函数的对称轴为直线，则点 关于直 线的对称点为， 抛物线开口向下， 当 时，随的增大而增大.， .故选D 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 35 3.距离法【2025福建漳州期末，较难】已知点，， 都在二次 函数的图像上，若，， ， 则下列关于，， 三者的大小关系判断一定正确的是( ) B A.可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C.可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 思路分析 分和 两种情况讨论，根据已知三点与对称轴的距离，结合抛物线开口 方向分析即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 36 【解析】在 中，对称轴为直线 ，， ， , 点离对称轴最远，点 离对称轴最 近.当时，抛物线开口向上，；当 时，抛物线开口向 下，.综上，和可能最大，也可能最小, 不可能最大，也不可 能最小.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 37 4.中点法【2025北京东城区调研，中】在平面直角坐标系中， ， 是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 . （1）若对于,，有，求 的值； 【解】 对于,有， 抛物线的对称轴为直线. 抛物线的对称轴为直线， . （2）若对于,，都有，求 的取值范围. 【解】,，，.又， ， 点离对称轴更近，则点与 连线的中点在对称轴的右侧， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 38 微专题2 二次函数取值范围问题 1.定轴定范围【2025陕西西安质检，中】在下列区间内求二次函数 的最值. 【解】，抛物线对称轴为直线.当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. （1）全体实数. 【解】在全体实数范围内，当时，函数有最小值 ,没有最大值. （2） . 【解】在的区间内，当时，函数有最小值;当 时， 函数有最大值5. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 39 （3） . 【解】在的区间内，当时，函数有最小值;当 时，函 数有最大值0. （4） . 【解】在的区间内，当时，函数有最小值0;当 时，函数有最 大值12. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 40 2.定轴动范围 （1）【2025浙江台州期末，中】当 时，二次函数 的最小值是，则 _ ________. 1或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 41 【解析】抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时,随的增大而增大；当时，随的增大而减小.①当 ，即 时，在处，取最小值，，解得 ， 不符合题意，舍去.②当，即时，在处， 取最小 值，，解得.③当，即 时，在 处，取最小值， , ，解得,（舍去）.综上所述， 或 .故答案为1或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 42 （2）【2025河南郑州期中，中】已知二次函数 ，当 时，有最小值和最大值1，则 的取值范围是______________. 【解析】二次函数, 该函数图像 开口向上，对称轴是直线，当时，该函数取得最小值 当 时，有最小值和最大值1，且当时， ，根据抛物线的 对称性，当时，，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 43 关键点拨 （1）依据题意，可得抛物线对称轴为直线 ，进而结合二次函数的性质分 ，和 三种情形进行讨论即可得解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 44 3.动轴定范围【2025江苏苏州期末，中】当时，二次函数 的最大值是，最小值是，若，则 的值是_________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 45 【解析】， 抛物线对称轴为直线 ，抛物线 开口向上.①若，即，则当时，，当 时， ，，解得 （舍去）.②若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.③ 若，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.④若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得（舍去）.综上可知， 的 值是或，故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 46 4.动轴动范围【2025安徽芜湖期中，中】已知抛物线 （为常数），当时，与其对应的函数值 的最小值为9，求此时 的二次函数表达式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 47 【解】， 抛物线对称轴是直线 ， 抛物线开口向上. ①若，即，则当时，， ，解 得（负值已舍去），此时的二次函数表达式为 . ②若，即，则当时，， ， 解得 （都不符合题意，舍去）. ③若，即，则当时， ， ，解得（舍去）或 ，此时的二次 函数表达式为 . 综上，二次函数表达式为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 48 注意 注意分三种情况讨论：①当时，②当 时，③当 时，不要漏解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 49 $