26重难专题2 二次函数的综合-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数综合应用，涵盖存在性问题、新定义问题及整点问题等核心知识点，通过中考真题（如2024山西朔州怀仁期中题）导入，搭建从坐标求解到复杂综合应用的学习支架，帮助学生梳理前后知识脉络。 其亮点在于以中考真题为情境，培养学生用数学眼光发现问题，通过分类讨论（如等腰三角形存在性分三种情况）发展数学思维中的推理能力，详细解析与思路点拨助力学生用数学语言规范表达。学生能提升综合解题能力，教师可直接用于课堂教学，提高教学效率。

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第26章 二次函数 重难专题2 二次函数的综合 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 存在性问题 1.【2024山西朔州怀仁期中，较难】如图，抛物线 与轴交于，两点（点在点的左侧），与 轴交于点，点 是第一象限内抛物线上的一个动点. （1）请直接写出点，， 的坐标. 【解】,,，当时，，当 时，，解得，，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 （2）是否存在这样的点，使得？若存在，求出点 的坐标；若不 存在，请说明理由. 【解】存在这样的点，使得.设， ， ，, . ，，，，解得 （负值已舍去）,点坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 8 （3）若点是直线上一点，是否存在点，使得以点，， 为顶点的三角形 是等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形.设直线 的表 达式为，则解得 .设 ，， ， ，.当 时,，解得,或，；当 时,，解得（舍去）或，；当 时, ，解得， . 综上可得，点坐标为或，或或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 9 思路分析 先分别把,, 表示出来，然后分情况讨论求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 2.【2025四川内江质检，较难】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过, 两点，在 第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点,连结 ． 备用图 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 （1）求这条抛物线所对应的函数表达式. 【解】令，解得；令，则，， .把 ，代入，得解得 抛物线 所对应的函数表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 12 （2）是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点 的坐标;若不 存在，请说明理由. 【解】存在.设点，则，， ， ，和相似， ， 或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 图（1） ①如图（1），当时， ， ， 点 纵坐标为6， ，解得（舍去）或 ， ； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 14 图（2） ②如图（2），当时，，过 作 于，, ， , , ， ，，解得或 ， .综上所述，点的坐标为或 ． 关键点拨 分和 两种情况讨论即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 （3）若是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作 轴的垂线交 于点，连结，当四边形为菱形时，求点 的横坐标． 图（3） 【解】①如图（3），当点在点左侧时， 四边形 为菱 形，，， .设点 ，， ， ，， ， ，即 ， ，即 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 ，，，， . 过点作于，， ， ，即 ， ， ， ， 解得（不合题意，舍去）或 ， 点的横坐标为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 图（4） ②如图（4），当点在点右侧时，过点作 .同①方 法可得点的横坐标为．综上，点 的横坐标为 或 . 关键点拨 分点在左侧和点在 右侧两种情况． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 18 类型2 新定义问题 3.【2024广东深圳调研，较难】在平面直角坐标系中，由两 条与 轴有着相同交点，并且开口方向相同的抛物线所围成 的封闭曲线称为“月牙线”.如图所示，抛物线 与抛物线 的一部分组成一个“月 牙线”，与轴相同的交点分别为，（点在点 的左 侧），与轴的交点分别为，，且点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 （1）求，两点的坐标及抛物线 的表达式. 【解】令，则，解得或， ， ， 抛物线的表达式为.将点 代入，得 ，解得， 抛物线 的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 （2）若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形 的形状，并说明理由. 【解】 是等腰三角形.理由： ，， .由（1）得 ,,，，，， 是等腰三角形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 （3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线 在第三象限内是 否存在一点，使得?若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在， 说明理由. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 【解】抛物线在第三象限内存在一点，使得， 点坐标为 ,或. 点是抛物线 上一点， ，解得或，，或 . 设直线的表达式为 ， 解得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 过点作轴交于点.当点坐标为时，， ， . ，，， . 当点坐标为时，，， . ，，， . 综上所述,点坐标为，或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 类型3 整点问题 4.【2025广东东莞一模，较难】在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 ． 图（1） （1）如图（1），若点横坐标为2，点在抛物线上，求 的值； 【解】 抛物线的顶点为，且 点横坐标 为2，， 点在抛物线 上， ，的值为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 （2）如图（2），若，直线分别交轴、轴于点，，用 表 示点到直线的距离，并求出的最小值及此时抛物线 的表达式； 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 图（1） 【解】如图（1），过点作于点，作轴交直线 于点，则 直线交轴于点，交 轴 于点，，，, , .， 抛物线 ， 顶点 的坐标为 ，.把代入 中，得 ，， ， 轴， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 .又 ，， ，即 ， ，即 . 当时，有最小值，此时抛物线 的表达式为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 思路分析 过点作于点，作轴交直线于点 ，先求出 ，再根据即可求出关于 的 函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 （3）定义：在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则把点 叫做 “整点”，如点，都是“整点”．若 ，当抛物线 与其关于 轴对称的抛物线所围成的封闭区域内（包括边界） 共有9个整点，求 的取值范围． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 30 【解】，， 抛物线对称轴为直线 ，且图象 必过点.当时，抛物线开口向上，如图（2），令 ，则整点有 ，，，， ，根据对称性，整点显然超过9个， 不符合题意.当 时，开口向下，如图（3），要保证封闭区域内（包括边界） 共有9个整点，需要同时满足：当时，，当时， ， 即解得，故的取值范围为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 31 图（2） 图（3） 思路分析 分和两种情况讨论.当时，易知整点个数大于9，当 时，需 要同时满足：当时，，当时， ，进而建立不等式组 求解即可． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 32 $