第26章二次函数单元卷2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

第26章 二次函数 单元卷 一、单选题 1．已知二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么该二次函数有（    ） A．最小值-7 B．最大值-7 C．最小值3 D．最大值3 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 4．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度（单位：）与水流运动时间（单位：）之间的函数解析式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数y＝x2－x－4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是(　　) A．x＜1 B．x＞1 C．x＞－2 D．－2＜x＜4 6．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____． 10．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 11．若抛物线（是常数）与轴只有一个交点，则的值为______． 12．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是______（填写序号）． 13．如图，菱形的一边在x轴上，顶点B在y轴上．若抛物线经过A，B两点，则的值为________． 三、解答题 14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一次函数y＝－x＋3的图象与x轴、y轴的交点，并且也经过(1，1)点，求这个二次函数的关系式，并求x为何值时，函数有最大(最小)值？这个值是多少？ 15．已知二次函数（m是常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点； （2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？ 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，它们的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连接BE交MN于点F.已知点A的坐标为（﹣1，0）. （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）求△EMF与△BNF的面积之比. 17．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 18．如图，中，，点E是边上一点（不与B、C重合），以为边在上方构造正方形，设线段的长度为x，线段的长度为，正方形的面积为，的面积为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】抛物线开口向下，则顶点的纵坐标为函数的最大值． 【详解】∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数的最大值为． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数图像的性质，解题关键是掌握二次函数图像的性质． 2．A 【分析】根据二次函数的顶点式可直接得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，二次函数的顶点坐标为，对称轴为． 3．B 【分析】本题考查了二次函数与不等式．根据图象可以直接回答即可． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 4．A 【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度为0，把代入即可求出，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间． 【详解】 解：水流从抛出至回落到地面时高度为0， 把代入得：， 解得：（舍去），． 故水流从抛出至回落到地面所需要的时间． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解． 5．A 【分析】先根据函数关系式算出抛物线的对称轴，再根据开口方向即可判断． 【详解】函数y＝x2－x－4， ∴对称轴为， ∴当时，函数值y随x的增大而减小 故选A． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质：当a>0时，在对称轴左边，函数值y随x的增大而减小；在对称轴右边，函数值y随x的增大而增大． 6．A 【分析】本题考查二次函数的性质，先确定抛物线的对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据距离大小判断纵坐标的大小关系． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线． 计算各点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，纵坐标越大，且， ∴； 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 9．m≥﹣2 【详解】抛物线的对称轴为直线， ∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤2，解得m≥﹣2． 故答案为m≥﹣2． 10．2 【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长． 【详解】解：，则解得，即 解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键． 11．11 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．由抛物线（是常数）与轴只有一个交点可得，方程的判别式为零，即可求解． 【详解】解：抛物线（是常数）与轴只有一个交点， 方程的判别式为零， ， 解得：， 故答案为：11． 12．①④/④① 【详解】解：根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线x=﹣=1，可得2a+b=0，所以①正确； 根据x=﹣1时，y＜0，可得a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误； 由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）得到抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误； 由抛物线开口方向得到a＞0，由对称轴x=﹣＞0，可得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，因此abc＞0，所以④正确． 考点：二次函数图象与系数的关系 13．/ 【分析】本题考查二次函数的性质、矩形的判定与性质、余弦的定义、菱形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由抛物线的性质可得抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为，进而得到，由菱形的性质可得，；如图：过C作，垂足为E，则是矩形，易得，再根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∵抛物线经过点A，B两点， ，， ， ∵四边形是菱形， ，， 如图：过C作，垂足为E，则是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．二次函数的关系式为y＝x2－x＋3，当x＝时，函数有最小值，最小值为－. 【分析】先求出一次函数y＝－x＋3的图象与x轴、y轴的交点，再把这三点代入二次函数y＝ax2＋bx＋c，求出解析式，再把解析式化成顶点式，即可得当x取何值时有最值. 【详解】解：对于y＝－x＋3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝2，把(0，3)，(2，0)，(1，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得， 所以， 所以二次函数的关系式为y＝x2－x＋3. 因为y＝x2－x＋3＝（x-）²-，所以当x＝时，函数有最小值，最小值为－. 【点睛】此题主要考查二次函数的应用. 15．（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案． （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴方程没有实数解． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点． （2）∵， ∴把函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后， 得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）． ∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点． ∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度。 16．（1），（1，4）；（2）. 【分析】（1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标， （2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比． 【详解】解：（1）∵点A在抛物线上， ∴， 解得：c=3， ∴抛物线的解析式为. ∵， ∴抛物线的顶点M（1，4）； （2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴点B（3，0）. ∴EM=1，BN=2. ∵EM∥BN， ∴△EMF∽△BNF. ∴． 17．(1) (2)开口向上，对称轴为直线 (3)当时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求最值，化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）利用配方法即可化为顶点式； （2）根据顶点式即可写出对称轴，根据即可判断开口方向； （3）二次函数的图象与性质求解的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 （3）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得 ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为． 18．(1)； (2)见解析，函数的性质：y随x的增大而减小；函数的性质：开口向上，在范围内，y随x的增大而增大 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，直角三角函数，函数的图象，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，则；求得平行四边形的高，然后利用正方形的面积以及平行四边形的面积公式求得，即可求得； （2）画出两个函数的图象，然后根据图象得出函数的性质； （3）求得两个函数的交点横坐标，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ； 中，， 的高， ， 正方形的边长为x， ， ； （2）解：画出函数，函数如图： 函数的性质：y随x的增大而减小； 函数的性质：开口向上，在范围内，y随x的增大而增大； （3）解：联立，消去y整理得， 配方得，即， 解得， ， 的交点的横坐标大约为， 观察图象，时x的取值范围是 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $