第26章 二次函数-全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数核心内容，涵盖图象性质、几何变换、实际应用等考点，通过“教材同步分层练”衔接基础与中考，以仿青蛙机器人运动路线等项目化学习为支架，引导学生从具体问题抽象出函数模型，构建知识脉络。 其亮点是融合中考真题与分层训练，以2025年福建、陕西等地中考题为例，通过详细解析和思路分析培养学生推理能力与模型意识。项目化学习如纪念品销售利润问题，让学生用数学语言表达现实问题，既帮助学生深化理解，又为教师提供高效教学资源。

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第26章 二次函数 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图象和性质 1.【2025福建中考】已知点,在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 点和在抛物线 上， ， ，， ，即 ，，，即 ,故选A. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2025陕西中考】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( ) D A.图象的开口向下 B.当时，的值随 值的增大而增大 C.函数的最小值小于 D.当时， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 【解析】由题意可得，方程 的两根异号， ，解得， 二次项系数， 图象开口向上，故A 不符合题意； 抛物线 的对称轴为直线 ， 当时，的值随值的增大而增大，故B不符合题意； 当 时，， 函数的最小值为 ，故C不符合题意；当 时，，,即当 时， ，故D符合题意.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 3.【2025安徽中考】已知二次函数 的图象如图所示，则( ) C A. B. C. D. 【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴在轴右侧， ， 抛物线与轴交于负半轴，， ，故A选项错误.由题图 易知，，，故B选项错误. 抛物线过点 ， ，， .由题 图易知，， ，故C选项正确.由图象可知，当 时，， ，故D选项错误.故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 考点2 二次函数图象的几何变换 4.【2024山东滨州中考】将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为______. 【解析】将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到 的抛物线的表达式为， 顶点坐标为，故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.【2024黑龙江牡丹江中考】将抛物线 向下平移5个单位长度后， 经过点，则 ___. 2 【解析】抛物线 向下平移5个单位长度后得到的抛物线表达式为 .把点代入，得 ， 整理得， .故答案为2. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 考点3 二次函数的实际应用 6.【2025四川内江中考】2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》 刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购 进A款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费 8 000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元. 【解】设A款“哪吒”纪念品每个进价为元，B款“哪吒”纪念品每个进价为 元. 由题意得解得 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A、B两 款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ 【解】设购进B款纪念品个，则购进A款纪念品 个. 由题意得 ， 解得， 的最小值为200. 答：至少需要购进B款纪念品200个. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增 加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元， 表示该 商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出 的 最大值． 【解】由题意得 . ，， 当时， 最大，最大值为4 500． 关键点拨 求的最值的关键是列出关于 的函数表达式，再利用二次函数的性质求最值. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 7. 项目化学习 【2025山西中考】综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生 物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青 蛙腾空阶段的运动路线相吻合. 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最 高点距地面,起跳点与落地点的距离为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 图（1） 数学建模：如图（1）,将仿青蛙机器人 的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 , 对称轴为直线 ,仿青蛙机器人在水平地面 上的起跳点为,落地点为.以 为原 点，所在直线为轴，过点与 所 在水平地面垂直的直线为 轴，建立平面 直角坐标系. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 （1）请直接写出顶点 的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 【解】由题意可知，其运动路线的最高点距地面 ，根据抛物线 的对称性可知对称轴为直线， 顶点的坐标为 . 设抛物线的表达式为 . 在抛物线上， ， ， 该抛物线的函数表达式为 . 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 （2）如图（1）,若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为,点 的坐 标为,点在轴的正半轴上.求起跳点与落地点的水平距离 的长； 【解】 抛物线的形状不变，且过点， 从点 起跳的运动路线可以看作 由（1）中的抛物线向上平移75个单位长度得到的， 新抛物线的表达式为 ， 当时， ， 解得，（舍去）， , 故起跳点与落地点的水平距离的长为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 图（2） （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时， 与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少 于 ,才能安全通过.如图（2）,水平地面上有一 个障碍物，其纵切面为四边形 ,其中 ,,, .仿青蛙机器人从 距离左侧 处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳 处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接 写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运 动路线在同一竖直平面内）. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 【解】 . 以原起跳点（即距离左侧处）为原点，所在直线为 轴，建立平面直 角坐标系.设该平台的高度为 ，则易知从平台上起跳对应抛物线的表达式为 ， , ,，仿青蛙机器人从距离左侧 处的地面起跳，且 仿青蛙机器人从平台上起跳刚好安全通过该障碍物， 仿青蛙机器人需经过 正 上方处，即抛物线经过点，即， 把 代入 ，得，解得 ,故 该平台的高度为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 思路分析 设该平台的高度为 .根据题意，得到新的抛物线的表达式为 .根据仿青蛙机器人从平台上起跳，且刚好安全通过 该障碍物，得到抛物线过点 ，代入求解即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 考点4 二次函数与一元二次方程、不等式 8.【2025四川南充中考】已知某函数图象关于轴对称，当 时， ；当时，．若直线 与这个函数图象有且仅有 四个不同交点，则实数 的范围是( ) A A. B. C. D.或 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 【解析】 函数图象关于轴对称，当 时， ；当时，， 当 时，；当时， ．画出函数图 象如图所示.当时，联立 得 ，当，即时，直线 与抛物线 相切．当直线过时， ．结合图象可知， 当时，直线 与这个函数图象有且仅有四个不同交点．故选A． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 思路分析 先根据函数图象关于轴对称，求出 时的函数表达式，并画出函数图象.将直 线在坐标系中平移，当直线 恰好过原点和恰好与抛物线 有一个交点时，与函数图象有三个交点，结合图象即可 求出函数图象与直线有且仅有四个不同交点时 的取值范围． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 9.【2025四川德阳中考】已知抛物线，，是常数， 过 点,，且，该抛物线与直线，是常数， 相交于,两点（点在点左侧）．下列说法： ； ；③点是点关于直线的对称点，则 ；④当 时，不等式的解集为 ．其中正确的结论个数是 ( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 【解析】 抛物线过点和， 设抛物线表达式为 ，， ， 且，，， ，故结论①正确. ， ， ，，故结论②错误.抛物线 与直线 的交点横坐标满足，解得或.若点 为 ，则对称点的横坐标为 ， ，.若点的横坐标为，则对称点 的 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 横坐标为.，故结论③不一定成立.当 时，方程 的根为或 ，即 ， 不等式的解集为 ， 故结论④正确．综上，正确的结论为①④，共2个，故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 考点5 二次函数的综合 10.【2025四川成都中考】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于， 两点，与 轴交于点 . 备用图 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 （1）求抛物线的函数表达式； 【解】 抛物线过点，且对称轴为直线 ， 解得 该抛物线的函数表达式为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 （2）当时，直线与轴交于点，与直线交于点 .若抛物线 与线段有公共点，求 的取值范围； 【解】当时， ， 当时，，当时， ， ， . 抛物线 ， 其顶点在直线 上. 当抛物线与直线只有一个公共点时，令 ， 整理，得 ， 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 ，解得 . 经检验， 时，满足题意. 将抛物线从 时的位置开始向右移动，直至抛物线与线段 只有一个交点为时，抛物线与线段 均有公共点. 当抛物线过点时，，解得 或 ， 当时，抛物线与线段 有公共点. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3）过点与垂直的直线交抛物线于，两点，，分别是， 的中点. 试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分 ？ 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 【解】存在. 对于 ， 当时，， . 抛物线的对称轴为直线 ， 点 在抛物线的对称轴上. 过点，且与直线 垂直， 易得直线的表达式为 ， 即 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 令，整理，得 ， ， . 为的中点，， . 令，整理得, , . 为的中点，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，过作垂直于抛物线对称轴于，过 作 垂直于抛物线对称轴于 . 平分， ， ， . 设，则 ， 易得，, . 故抛物线的对称轴上存在，，使得 总是 平分 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 思路分析 先求出点坐标，进而求出直线的表达式，联立抛物线与直线 的表达式，根 据根与系数的关系，结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出 点坐标.作 ,.根据平分，得到.设 ，根 据正切的定义，列出比例式进行求解即可． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 章测 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.【2024山东临沂期末】对于二次函数 的图象和性质，下列说 法正确的是( ) B A.顶点坐标为 B.抛物线的对称轴是直线 C.当时，随 的增大而减小 D.可由抛物线 向左平移1个单位得到 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 38 【解析】 二次函数为， 函数图象开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标是， 当时，随 的增大而增大.二次函数 的图象可由抛物线 向右平移1个单位得到.故B正确. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 39 2.【2025湖南常德期末】已知二次函数，其中 ， ，则该函数的图象可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】由可排除A、C选项；由B选项中抛物线开口向上，可知 ，当 ，时，对称轴在 轴左侧，故排除B选项；由D选项中抛物线开口向下， 可知，当，时，对称轴在 轴右侧，故选项D符合题意.故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 40 3.已知点在直线上，点， 在抛物线 上，若，，则 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. 【解析】令，整理得，解得 ， ， 直线与抛物线的交点的横坐标为 ， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 顶点为.把代入，解得.若 ， ，则，， ，故 选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 41 思路分析 求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线表达式，求 得对应的的值，即可求得的取值范围，根据抛物线的对称性求得 ， 从而求得 的取值范围. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 42 （第4题图） 4.【2025四川南充期中】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够 长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留 宽 的门，所有围栏的总长（不含门）为 ，若要使得建成的饲养室 面积最大，则利用墙体的长度为( ) B A. B. C. D. 【解析】设饲养室的面积为，垂直于墙体的围栏长为 ，则平行于墙体的围 栏长为． 平行于墙体一侧留了一处的门， 饲 养室的长为， 饲养室的面积可表示为 ， 当 时，饲养室的面积 最大， 利用墙体的长度为 ，故选B． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 43 （第5题图） 5.二次函数 的部分图象如图所示，已知图 象经过点，其对称轴为直线 .下列结论： ；；③不等式 的解集为 或；；⑤点， 是 抛物线上的两点，若，则 ；⑥若抛物线经过点 B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ，则关于的一元二次方程的两根分别为 ， 5.其中正确的有( ) 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 44 【解析】 ① 由图象可知,，，，, ，故①正确 ② ， 当时，，即 , ， ,故②正确 ③ 对称轴为直线,与轴的一个交点坐标为， 与 轴的另一个交点 坐标为， 不等式的解集为 ，故③不正确 ④ 由③可知图象过点, 当时，，即 ， ,故④不正确 ⑤ 点,是抛物线上的两点，若，则 , 故⑤不正确 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 45 ⑥ 图象过点， 由对称性可知,图象也过点.令 ，则 ,即有两个根，分别是 ，5,故⑥正确 续表 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、填空题（每小题5分，共15分） 6.【2025四川成都期中】如图，抛物线经过点，点 在 抛物线上，点为抛物线与轴交点，轴，且平分 ，则此抛物线的 表达式是_ __________________． （第6题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 47 【解析】对于，令，得， ，即 ，， 轴， 平分，， ， 轴，.把，两点坐标代入 中， 得解得 .故答案为 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 48 思路分析 由平行、角平分线的性质及勾股定理，可得，即可得出点 坐标.再 将点，点 的坐标代入二次函数表达式，求解方程组即可． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 49 （第7题图） 7.【2024吉林长春校级质检】某单位要对拱形大门进行粉刷， 如图是大门示意图，门柱和的高均为0.75米，门宽 为9 米，上方门拱可以近似地看作抛物线的一部分，最高点到地面 的距离为4.8米.工人师傅站在倾斜木板上，木板一端点 4 恰好落在门拱上且到点的水平距离 为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度 为2.4米，则在 上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为___米. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 50 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为 轴建立平面直角坐 标系.设抛物线的顶点为.由题意知，抛物线顶点的坐标为 ，设抛物线 的表达式为，， 将点 坐标代入 抛物线表达式，得，解得， 抛物线的表达式为 ，当时，， 点坐标为.设直线 的表达式为.将点代入，得，， 直线的表达式为.设在左侧的抛物线上存在一点，过作 轴 的垂线交 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 51 直线于点.设点的坐标为，则， 工人师傅能刷到的最大垂直高度是2.4米， 当 时，即 ，解得，（米）， 工人师傅刷不到的最大水平宽度为4米，故答案为4. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.【2025湖南岳阳质检】规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数 的点为整点．对于题目：抛物线与轴分别交于， 两 点（点在点的左侧），，线段与抛物线围成的封闭区域记作 （包括边界）.若区域内有6个整点，则 的取值范围为______________________ __． 或 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 53 【解析】， 抛物 线的对称轴为直线，顶点坐标为 抛物线与轴分别交于， 两点（点在点的左侧），，， 在区域内的 轴上已 有，，这3个整点， 在区域内的 轴的上方或下方还需要有3个整 点.令，即，则，， ， ， 抛物线的顶点坐标为.当时， ，解得 ；当时，，解得， 的取值范围是 或 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 54 三、解答题（共60分） 9.【2025江苏连云港质检】二次函数 的图象 如图所示，根据图象解答下列问题． （1）方程 的两个根为_______，不等式 的解集为__________. 【解析】 抛物线开口向下，抛物线与轴的交点为 ， ， 方程的两个根为， . 由图象可得不等式的解集为 .故答 案为，； . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 55 （2）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取 值范围为______. 【解析】 抛物线的顶点的纵坐标为2， 抛物线与直线 只 有一个公共点， 当时，抛物线与直线 有两个公共点， 即方程有两个不相等的实数根， 满足条件的 的取值范围为 ，故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 56 （3）若关于的一元二次方程，在 的范围内有实 数根，求 的取值范围． 【解】由题可得抛物线的表达式为，把代入得 ， ，， 可化为 .当时，，当 时， ，当时，， ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 57 10. 【2025河南南阳二模】2025年成都世界运动会的吉祥物名为“蜀宝”和 “锦仔”，分别以大熊猫和川金丝猴为原型，同时融入了三星堆、太阳神鸟、芙 蓉花等城市符号，体现了成都“山水之美”和“热情似火”的城市气质．小明准 备购进“蜀宝”和“锦仔”两种徽章，用3 000元购进“蜀宝”徽章与用3 500元 购进“锦仔”徽章的数量相同，已知“锦仔”徽章进价比“蜀宝”徽章每个进价 多5元． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 58 （1）求两种徽章的进价. 【解】设“蜀宝”徽章的进价为元/个，则“锦仔”徽章的进价为 元/个. 由题意得，解得.经检验， 是原方程的解，且符合题意， . 答：“蜀宝”徽章的进价为30元/个，“锦仔”徽章的进价为35元/个. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 59 （2）经市场调查发现，“锦仔”徽章每个售价为50元时，每天可售出98个，售价 每提高1元，则每天少售出2个，物价部门规定其售价每个不高于65元，设“锦仔” 徽章每个涨价元，小明一天通过售卖“锦仔”徽章获得的利润为 元． ①求与 之间的函数关系式； 【解】由题意可得，与 之 间的函数关系式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 60 【解】 物价部门规定其售价每个不高于65元，， 抛物线的对称轴为直线 ， ， 当时，随的增大而增大， 当 时， ．此时销售单价为 （元/个）． 答：“锦仔”徽章的销售单价为65元/个时，一天获得的利润最大，最大利润是 2 040元. 易错警示 求解实际问题时需注意 的取值范围，本题有限制条件“售价每个不高于65元”， 不能直接令 求最大利润. ②“锦仔”徽章的销售单价为多少时，一天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 61 11.【2025重庆渝中区一模】如图，抛物线 与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与 轴交于点，对称轴为直线 ． （1）求抛物线的表达式. 【解】 对称轴为直线，， .将 代入得，则，解得 ， ， 抛物线的表达式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 62 （2）点为直线下方抛物线上一点，连结，，点 为抛物线对称轴上一 动点，轴，垂足为，连结，，当面积最大时，求此时点 的 坐标及 的最小值. 图（1） 【解】如图（1），过点作轴的平行线，交 于点 ，对称轴为直线， . 当时，，.设直线 的表达式为 ，将，代入得 解得 直线的表达式为 的面积为 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 63 ， 当的值最大时，的面积最大. 设 ， 则， ， 当时，的值最大，即的面积最大， 此时 . 点为抛物线对称轴上一动点，轴，.将点向右平移 个单位 长度至点，连结，则. ，， 四边形 为平行四边形，.作点关于抛物线对称轴的对称点 ，连结 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ，，则， ， ，当点，，三点共线，即点在 上 时，，此时， 取 得最小值.,， ， ， ．综上， 面积 最大时，，的最小值为 ． 关键点拨 解答本题的关键在于会用铅垂法求三角形的面积. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3）将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点 ，使 与互补，若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】存在.的坐标为或， 将抛物线沿射线 方 向平移后过点， 原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， 平移后的表达式为 , ，,，当点在 轴下方时，如图 （2），过点作的垂线，交于点，过点作轴于点 ， ， ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 ， ，此时点 即为所求.设 ， ， ， ，整理得，解得, （舍去）， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 图（2） ②当点在轴上方时，根据对称易得点位置，过点 作轴，设, ， ， ，同①可得 ，整理得 ， 解得, ， ，或， 舍去.综上，点的坐标为或 ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 68 思路分析 根据题意得出平移后的表达式为， ，再分当 点在轴下方时；当点在 轴上方时两种情况讨论． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 69 $