26大招专题1 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(华东师大版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数中的最值问题，涵盖几何定理法求线段和差最值、代数法求线段距离最值、铅垂法求面积最值等核心专题。以母题引入大招方法，子题变式强化应用，从抛物线表达式求解到最值实际应用，构建递进式学习支架。 其亮点在于以“母题学大招+子题练变式”模式，通过几何直观分析线段关系，用代数推理构建二次函数模型，培养学生抽象能力与推理意识。如铅垂法中用坐标表示PD长度求面积最值，步骤清晰易操作。学生能系统掌握最值方法，教师可借助可编辑课件及超链接跳转，提升教学效率。

数 学 九年级下册 HS 1 2 3 第一部分 教材同步分层练 4 第26章 二次函数 大招专题1 二次函数中的最值问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 几何定理法求线段之差（和）的最值 1.［中］如图，已知抛物线过点，，其对称轴为直线 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 （1）求该抛物线的表达式. 【解】 抛物线过点，，且它的对称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点的坐标为.设抛物线表达式为.把 代入， 得，解得， 此抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限. ①当的面积为15时，求点 的坐标； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 【解】如图（1）， 点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限， 设 ，直线的表达式为，则，解得， 直线 的表达式为.设直线与抛物线对称轴交于点，则 ， ，，解得或 （舍去）， 点的坐标为 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 ②在①的条件下，是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点 的坐标. 【解】设直线的表达式为.把，代入得 解得 直线的表达式为 . 如图（2），当的值最大时，点，， 在同一条直线上. 是抛物线上的动点， 联立 解得（舍去）， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 关键点拨 当,,共线时, 的值最大. 大招解读 几何定理法求线段之差（和）的最值 （1）线段之差最大问题：当两定点和动点共线时，线段之差最大，所以动点在两 定点所在的直线上，求解时可过两定点作直线. （2）线段之和（周长）最小问题：这类问题一般是将军饮马中“两定点，定线上 一动点”，求解时作对称点，将求和的两条线段转化到一条线段上. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 子题练变式 两点之间线段最短 2.【2024山东济宁期中，中】如图，抛物线与 轴交 于，两点，与轴交于点，，，连结和 . （1）求抛物线的表达式. 【解】，，，.将 ， 代入，得 解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标. 【解】由可知，抛物线对称轴为直线 .由抛物线的对称性可 知，点与点关于对称轴对称.如图，设交对称轴于点,连结,则 . 由两点之间线段最短可知，此时最小，而 的长度是定值，故此时 的周长取得最小值.由可知，点的坐标为.设直线 的表达式为.将点代入，得， 直线 的表达式为 ，当时，， 点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 思路分析 设交对称轴于点，由抛物线的对称性可知 ,由两点之间线段最短可知， 此时有最小值，而的长度是定值，故此时 的周长取得最小值， 求出直线 的表达式，即可得到答案． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 母题学大招2 代数法求线段最值 3.【2024山西晋中期中，中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点，（点在点的左侧），与 轴交 于点，且点的坐标为 . （1）求点 的坐标； 【解】 点在抛物线上， ， . 令，得，解得或， 点A的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线 距离的最大值. 【解】由（1）知，.过作于点，作轴交于点 ，如图. ，，， 是等腰直角三角形， 轴，， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大.设直线的表达式为，将 代入得，， 直线的表达式为 .设 ，则 ， .， 当 时，取得最大值,为，， 点到直线 距离的最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 大招解读 代数法求线段最值 二次函数图象中求平行于坐标轴的线段最值问题时，常用代数法：设出动点坐标， 利用坐标表示出线段长度，构造二次函数，利用二次函数的性质求最值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 子题练变式 4.【2025湖南常德二模,较难】已知,如图（1），二次函数 的 图象与轴相交于，两点，与轴交于点，连结， 是第一象限的抛物 线上一点. 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 （1）求二次函数和直线 的表达式. 【解】把点代入中，得，解得 ， 二次函数的表达式为 二次函数的图象与轴交于点 ， 点的坐标为 . 设直线的表达式为.将点， 代入上式，得 解得 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （2）连结与交于点，若，求点 的坐标. 【解】如图（1），过点作轴交于点 . 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 设，则, , . 轴，，.， ， ，，解得，， 点 的坐标 为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （3）如图（2），已知，是轴上点左侧（不与重合）两个动点，在 的左边，，连结交于点，连结交于点，求 的最小值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 图（2） 【解】如图（2），过点作轴交于点，过点 作 轴交于点，过点作轴交于点 ， ,， ， ，，.设 ，则 ，把它们的横坐标代入 中，得 ， ， .由（2）知 , 时， 取得 最大值，为2，的最小值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 思路分析 过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作 轴 交于点，可以推出， ，进而推出 .设，则，用含的代数式表示出， ， 得到，然后结合 求解 即可． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 母题学大招3 铅垂法巧求面积最值 5.【2024河南洛阳期中，中】如图，抛物线,, 为常数， 经过点，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （1）求抛物线的表达式. 【解】设.把代入，得 ， 解得， 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）如图，连结,点在直线下方的抛物线上,求出的面积最大时点 的坐标. 【解】如图，连结,,过点作轴于点，交于点.由 , ,易得直线的表达式为.设 ， 则， ， ， 当 时，最大，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 大招解读 铅垂法巧求面积最值 铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是斜三角形面积问题.具体公 式为三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半.三角形的水平宽指的是两个顶点 之间的水平距离，而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 结论证明 证明:如图, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 子题练变式 6.【2024湖北荆门期中，较难】如图，已知抛物线 与轴交于点，与轴交于,两点（点在点 左边）. （1）请直接写出,, 三点的坐标. 【解】,,.当时，， .当 时，，解得，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）若点是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点 的坐标. 【解】如图，过点作轴于点，交于点 ， 则，，设直线 的表达式为，把， 代入， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 得解得 直线的表达式为 .设 ，则 ， ， 当 时，取最大值，则的面积最大，此时 . 关键点拨 先求出直线的表达式，易知取最大值时,面积最大,利用坐标将 的 长表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $