第21章 二次根式 二次根式的定义基础卷2025-2026学年华东师大版数学九年级上学期

2025年华东师大版九年级上学期第21章 二次根式 二次根式的定义基础卷 一．选择题（共10小题） 1．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，那么x不能取的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 3．若，则x的取值范围是（　　） A．x≤0 B．x≥﹣4 C．﹣4≤x≤0 D．﹣4≤x＜0 4．已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．12 B．9 C．1 D．4 5．二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 6．实数a、b、C在数轴上的位置所示，那么化简|c+a|的正确结果是（　　） A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c 7．如果，则化简的值是（　　） A．6+x B．﹣6﹣x C．﹣x D．1 8．已知a，b为实数，且，则的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 9．已知实数m满足，那么m﹣20242的值为（　　） A．﹣2025 B．2025 C．2024 D．﹣2024 10．如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH…按照这样的规律作下去，第2024个正方形的面积为（　　） A． B． C．22023 D．22024 二．填空题（共6小题） 11．如果等式成立，那么a应满足的条件是　 　 ． 12．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　 ． 13．若﹣1≤x≤7，化简： 　 　 ． 14．若，则（x+y）2＝　 　 ． 15．化简：　 　 ． 16．如果，并且表示当时的值，即，，那么的值是 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．当x分别取下列值时，求二次根式的值． （1）x＝0； （2）x； （3）x＝﹣2． 18．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．当时，求x+y的平方根． 20．已知数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 21．若﹣2≤a≤2，化简：． 22．若两个二次根式m，n满足：m•n＝q，且q是有理数，则称m与n是关于q的“共轭二次根式”，如，则称与是关于4的“共轭二次根式”． （1）若m与是关于6的“共轭二次根式”，求m的值． （2）若与是关于4的“共轭二次根式”，求a的值． 23．新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“青一区间”为（1，2），的“青一区间”为（﹣2，﹣1）．请解答下列问题： （1）的“青一区间”是 　 　 ；的“青一区间”是 　 　 ； （2）若无理数（a为正整数）的“青一区间”为（﹣3，﹣2），的“青一区间”为（3，4），求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“青一区间”． 24．阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2）计算：． 25．【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方，即 　 　 2； （2）请运用小明的方法化简：； （3）将下列等式补充完整：a+b+2 　 　 2（a≥0，b≥0）． 【变式探究】 （4）若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 2025年华东师大版九年级上学期第21章 二次根式 二次根式的定义基础卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B D D D B C 一．选择题（共10小题） 1．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义计算出正确结果，再根据计算结果判断正误． 【解答】解：根据算术平方根和立方根的定义计算出正确再判断如下： ∵ 表示16的算术平方根， ∴， 故 A选项错误； ∵， 故B选项错误； ∵ ＝ ＝ 3， 故 C选项错误； ∵， ∴， 故D选项正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是关键． 2．已知函数，那么x不能取的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【分析】根据二次根式有意义的条件即可判断． 【解答】解：∵y， ∴2+x≥0， ∴x≥﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中，被开方数必须大于或等于0． 3．若，则x的取值范围是（　　） A．x≤0 B．x≥﹣4 C．﹣4≤x≤0 D．﹣4≤x＜0 【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可． 【解答】解：由题意得， ∴﹣4≤x≤0， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，熟知以上知识是解题的关键． 4．已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．12 B．9 C．1 D．4 【分析】根据二次根式的定义，由是整数，m是自然数，可得13﹣m为完全平方数，进而得出答案． 【解答】解：∵是整数， ∴13﹣m为完全平方数， ∵当m最小取4时，13﹣m＝13﹣4＝9，此时， ∴自然数m的最小值为4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 5．二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＜0，进而可得结果． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知： x＜0， ∴原式． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式的性质． 6．实数a、b、C在数轴上的位置所示，那么化简|c+a|的正确结果是（　　） A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c 【分析】先由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，据此得出c+a＜0，a﹣b＞0，再根据绝对值性质和二次根式的性质2化简可得． 【解答】解：由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|， 则c+a＜0，a﹣b＞0， ∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣b） ＝﹣c﹣a﹣b﹣a+b ＝﹣2a﹣c， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质2：|a|． 7．如果，则化简的值是（　　） A．6+x B．﹣6﹣x C．﹣x D．1 【分析】先根据二次根式的性质和绝对值的意义化简，再合并同类项即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣1≥0，x﹣2＜0， ∴ |x﹣2| ＝x﹣1﹣x+2 ＝1， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的性质和绝对值的意义，正确化简各项是解题的关键． 8．已知a，b为实数，且，则的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a＝8，继而求得b＝25，然后代入求值即可． 【解答】解：根据题意知：a﹣8≥0且8﹣a≥0， 解得a＝8． 所以b＝25． 所以2+5＝7． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，立方根和实数的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．已知实数m满足，那么m﹣20242的值为（　　） A．﹣2025 B．2025 C．2024 D．﹣2024 【分析】根据二次根式有意义的条件求得m的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案． 【解答】解：∵实数m满足， ∴m﹣2025≥0， ∴m≥2025， ∴2024﹣m＜0， 原式化为m﹣2024m， 整理得：2024， 两边同时平方得：m﹣2025＝20242， 则m﹣20242＝2025， 故选：B． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，实数的运算，结合已知条件求得m的取值范围是解题的关键． 10．如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH…按照这样的规律作下去，第2024个正方形的面积为（　　） A． B． C．22023 D．22024 【分析】由题意知，第1个正方形ABCD的边长为1，面积为1；第2个正方形ACEF的边长AC为，面积为2；第3个正方形FCGH的边长CF为，面积为4；第4个正方形FGMN的边长FG为，面积为8；……，可推导一般性规律为第n个正方形的边长为，面积为2n﹣1；然后求解作答即可． 【解答】解：由题意知，第1个正方形ABCD的边长为1，面积为1， 第2个正方形ACEF的边长AC为，面积为2， 第3个正方形FCGH的边长CF为，面积为4， 第4个正方形FGMN的边长FG为，面积为8， ……， ∴可推导一般性规律为第n个正方形的边长为，面积为2n﹣1， ∴第2024个正方形的边长为，面积为22023． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，图形的规律探究等知识，掌握二次根式的性质与化简，图形的规律探究是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．如果等式成立，那么a应满足的条件是a≥0　 ． 【分析】根据算术平方根的非负性，表示a2的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是a为非负数． 【解答】解：根据题意可知，， 又∵等式即|a|＝a， ∴当且仅当a≥0时，|a|＝a成立， 因此，a应满足的条件是a≥0． 故答案为：a≥0． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 12．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥﹣1且x　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：由题意得：x+1≥0且2x﹣1≠0， 解得：x≥﹣1且x． 故答案为：x≥﹣1且x． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 13．若﹣1≤x≤7，化简： 　6﹣2x ． 【分析】由﹣1≤x≤7知x﹣7≤0、x+1≥0，根据|a|化简可得． 【解答】解：∵﹣1≤x≤7， ∴x﹣7≤0、x+1≥0， ∴原式 ＝7﹣x﹣（x+1） ＝7﹣x﹣x﹣1 ＝6﹣2x． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 14．若，则（x+y）2＝　16　 ． 【分析】先根据二次根式有意义的条件，可得，即可求出x＝3，进而得出y的值，把x，y的值代入（x+y）2计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴x＝3， ∴y＝1， ∴（x+y）2＝（3+1）2＝42＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，有理数的乘方，掌握二次根式有意义的条件，有理数的乘方运算法则是解题的关键． 15．化简：　．　 ． 【分析】先根据二次根式的被开方数是非负数和已知条件，判断b的取值范围，然后根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵4ab3≥0，a＜0， ∴b≤0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 16．如果，并且表示当时的值，即，，那么的值是 n　 ． 【分析】通过代入求值，可发现当x和x时，函数和为1，所以f（x）+f（）＝1，由此规律计算可得出结果． 【解答】解：∵f（x），f（）， ∴f（x）+f（）1，又f（1）， 则f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（） ＝f（）+[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）] 1+1+…+1（n﹣1个1相加） n﹣1 ＝n． 故答案为：n． 【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的化简求值加减运算的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意要先化简，再代值．找出规律f（x）+f（）＝1是解本题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．当x分别取下列值时，求二次根式的值． （1）x＝0； （2）x； （3）x＝﹣2． 【分析】直接将（1）x＝0；（2）x；（3）x＝﹣2；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错． 【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式3； （2）把x，代入二次根式； （3）把x＝﹣2，代入二次根式5． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义和计算，直接将x的值代入，利用二次根式的性质直接开平方是解决问题的关键． 18．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）结合二次根式的性质进行化简； （2）结合二次根式的性质进行化简； （3）结合二次根式的性质进行化简； （4）结合二次根式的性质进行化简． 【解答】解：（1）原式6； （2）原式15； （3）（a≥0，b≥0）； （4）（x≥0）． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 19．当时，求x+y的平方根． 【分析】根据二次根式的非负性，分式有意义的条件求出x、y的值，进而求出x+y的值，求其平方根即可． 【解答】解：根据题意，， ∴x2﹣16＝0，16﹣x2＝0，x﹣4≠0， ∴x＝﹣4， ∴， ∴x+y＝﹣4+4＝0， ∴x+y的平方根是0． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的平方根． 20．已知数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【分析】根据a、b在数轴上的位置，得到a、b的大小关系，再根据二次根式和绝对值的性质去化简． 【解答】解：根据a、b在数轴上的位置，得a＜﹣1，b＞1，|a|＞|b|， 所以a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0， 所以 ＝|a+1|+|b﹣1|+|a﹣b| ＝﹣a﹣1+b﹣1﹣a+b ＝﹣2a+2b﹣2． 【点评】本题考查二次根式和绝对值的化简，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的化简方法． 21．若﹣2≤a≤2，化简：． 【分析】运用二次根式的性质进行讨论、计算． 【解答】解：∵﹣2≤a≤2， ∴5﹣2a＞0，a+2≥0， ∴ ＝（5﹣2a）﹣（a+2） ＝5﹣2a﹣a﹣2 ＝﹣3a+3． 【点评】此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解并运用二次根式的性质． 22．若两个二次根式m，n满足：m•n＝q，且q是有理数，则称m与n是关于q的“共轭二次根式”，如，则称与是关于4的“共轭二次根式”． （1）若m与是关于6的“共轭二次根式”，求m的值． （2）若与是关于4的“共轭二次根式”，求a的值． 【分析】（1）根据新定义，得到，进行计算即可； （2）根据新定义，得到，进行计算即可． 【解答】解：（1）∵m与是关于6的“共轭二次根式”， ∴m＝6， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴a＝1． 【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握新定义是解题的关键． 23．新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“青一区间”为（1，2），的“青一区间”为（﹣2，﹣1）．请解答下列问题： （1）的“青一区间”是 　（4，5）　 ；的“青一区间”是 　（﹣5，﹣4）　 ； （2）若无理数（a为正整数）的“青一区间”为（﹣3，﹣2），的“青一区间”为（3，4），求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“青一区间”． 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据x+y﹣2024≥0，2024﹣x﹣y≥0，得出x+y＝2024，进而得出2x+3y﹣m＝0，3x+4y﹣2m＝0，两式相减可得m＝x+y＝2024，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【解答】解：（1）∵42＜17＜52，42＜23＜52， ∴45，， ∴的“青一区间”是（4，5），的“青一区间”是（﹣5，﹣4）， 故答案为：（4，5），（﹣5，﹣4）； （2）∵无理数的“青一区间”为（﹣3，﹣2）， ∴， ∴22＜a＜32，即4＜a＜9， ∵的“青一区间”为（3，4）， ∴， ∴32＜a+3＜42，即9＜a+3＜16， ∴6＜a＜13， ∴6＜a＜9， ∵a为正整数， ∴a＝7或a＝8， 当a＝7时，， 当a＝8时，， ∴的值为2或； （3）∵， ∴x+y﹣2024≥0，2024﹣x﹣y≥0， ∴x+y﹣2024＝0， ∴x+y＝2024， ∴， ∴2x+3y﹣m＝0，3x+4y﹣2m＝0， 两式相减，得x+y﹣m＝0， ∴m＝x+y＝2024， ∴m的算术平方根为， ∵442＜2024＜452， ∴4445， ∴m的算术平方根的“青一区间”是（44，45）． 【点评】本题考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“青一区间”的定义． 24．阅读材料：形如式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，，那么便有． 例如：化简． 解：． 由于4+3＝7，4×3＝12，即，， 所以． 请根据以上材料解答下列问题： （1）化简：①； ②； （2）计算：． 【分析】（1）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简即可； （2）根据已知条件中方法，把被开方数写成一个完全平方式，然后利用二次根式的性质进行化简，最后分母有理化即可． 【解答】解：（1）①∵3+1＝4，3×1＝3，即，， ∴； ②∵15+4＝19，15×4＝60，即，， ∴； （2）原式 ＝1． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和分母有理化． 25．【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方，即 　（）　 2； （2）请运用小明的方法化简：； （3）将下列等式补充完整：a+b+2 　（）　 2（a≥0，b≥0）． 【变式探究】 （4）若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【分析】（1）根据题目中的例子，把7写成2+5，再利用完全平方公式进行解答即可； （2）把11写成9+2，然后利用完全平方公式进行解答即可； （3）把a，b写成，根据完全平方公式进行解答即可； （4）利用完全平方公式把已知等式变形，求出mn＝21，a＝m+n，再根据a，m，n为正整数，求出m，n，a即可． 【解答】解：（1） ， 故答案为：（）； （2） ； （3） ， 故答案为：（）； （4）∵m+n， ∴mn＝21，a＝m+n ∵a，m，n均为正整数， ∴m＝3，n＝7或m＝7，n＝3或m＝1，n＝21或m＝21，n＝1， a＝m+n＝3+7＝10或1+21＝22， ∴a的值为10或22． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/17 9:06:07；用户：林建伟；邮箱：13067837950；学号：53829082 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $