精品解析：河南省焦作市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

焦作市普通高中2025-2026学年（上）高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. 6 C. D. 2 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 从编号为1，2，3，44张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则为实数 C. 对任意的复数均有 D. 对任意的复数均有 10. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上的动点（与端点不重合）.以为坐标原点，垂直于平面的直线为轴，直线、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点关于平面的对称点的坐标为 B. 的取值范围为 C. 存在点，使得平面的一个法向量为 D. 若，则点到平面的距离为 11. 已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得直线的斜率为2 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得点的横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小正周期为_____. 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则_____. 14. 在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、的对边分别为、、.已知. （1）求； （2）若，，点在边上，且，求 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. （1）求圆方程； （2）过原点直线交圆于A，B两点，且，求直线的方程. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）求； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程. （2）过点的直线（不与轴重合）与交于M，N两点，是的右焦点. （i）证明：； （ii）求面积最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 焦作市普通高中2025-2026学年（上）高二年级期中考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. 6 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程确定，即可求解. 【详解】由题意，可得，，则，即， 所以椭圆的焦距为. 故选：C. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解. 详解】由题可得，，解得. 故选：A. 4. 从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合计数求出从4张卡片中抽取2张及抽到的2张卡片编号之和为奇数的选法，利用古典概率公式求解. 【详解】从4张卡片中抽取2张共有种选法， 抽到的2张卡片编号之和为奇数，即一奇一偶，共种选法， 所以抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率. 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性判断大小及范围，利用对数函数的单调性判断的范围，得解. 【详解】因为在上单调递增，所以， 又由对数函数的图象可得，， 所以. 故选：A. 6. 从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 7. 在正方体中，、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 所以，，则，故， 所以异面直线与所成角的大小为. 故选：D. 8. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得轴，得，设出直线方程与抛物线方程联立，得，进而求得答案. 【详解】由，易知轴，则， 显然直线的斜率存在，设直线，，， 将直线方程代入抛物线，消去，整理得， ，故，即，解得. 所以直线的斜率为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则为实数 C. 对任意的复数均有 D. 对任意的复数均有 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断A，D；根据复数运算及复数的概念判断B；根据复数模的运算及复数的乘法运算判断C即可. 【详解】对于A，当时，，但不是纯虚数，故A错误； 对于B和C，设，则， 若，则，所以为实数，故B正确； 而， 故，故C正确； 对于D，不妨取，则， 但，不满足，故D错误． 故选：BC. 10. 在直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上的动点（与端点不重合）.以为坐标原点，垂直于平面的直线为轴，直线、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点关于平面对称点的坐标为 B. 取值范围为 C. 存在点，使得平面的一个法向量为 D. 若，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用点关于坐标平面的对称性可判断A选项；设，其中，利用空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用平面法向量的概念可判断C选项；利用空间向量法可判断D选项. 【详解】在中，，， 由余弦定理可得， 因为，故， 由图可得、、、、、、， 对于A选项，点关于平面的对称点的坐标为，A对； 对于B选项，， 设点，其中，则， 所以，B错； 对于C选项，假设存在点，使得平面的一个法向量为， 则，解得，符合题意，C对； 对于D选项，若，则，由C选项可知，此时平面的一个法向量为， 且，则点到平面的距离为，D对. 故选：ACD. 11. 已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（ ） A. 存在点，使得直线的斜率为2 B. 存在点，使得 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用，求出A点的横坐标，然后结合条件检验即可判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得，进而判断出不存在点使得等式成立. 【详解】设点，，，， 由题知离心率，解得， 故有，双曲线C的渐近线为， 对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2， 直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误； 对于B选项： ，，若，即， 可得，即：（①）， 而位于双曲线右支上，其中， 故有：，即：（②）， 联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误； 对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确； 对于D选项：设，，， 而，带入化简得：，而， 故，可知不存在这样的点M使等式成立， 故不存在点，使得点横坐标为，故D选项错误. 下面为证明：， 的中点为，根据中点坐标公式可知，故， ，故， 而，两点均位于双曲线上，故： （③） （④），用③减④得：， 化简得，故，证毕. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小正周期为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】利用三角函数周期公式求解. 【详解】由题，函数的最小正周期. 故答案为：4. 13. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则_____. 【答案】6 【解析】 【分析】由抛物线定义结合相似三角形列式求解. 【详解】如图，设直线与抛物线准线交于点，抛物线准线与轴交于点， 分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义可得，由已知,，设， 由，得，即，解得， 又，得，即，解得，即. 故答案为：6. 14. 在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值. 【详解】因为四边形为正方形，底面，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则、、， ，， 故点到直线距离为 令， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最小值，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、的对边分别为、、.已知. （1）求； （2）若，，点在边上，且，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式结合诱导公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值，根据题意可得出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【小问1详解】 由两角和的正切公式可得， 即，故， 因为，故. 【小问2详解】 由余弦定理可得，即，即， 因为，解得， 因为点在边上，且，故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 故. 16. 已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）过原点的直线交圆于A，B两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出圆心坐标和半径，得解； （2）利用弦心距、弦和半径的关系求出弦心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可. 【小问1详解】 设，圆与直线相切于点，故， 又圆在直线上，故， 所以圆心的坐标为，半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由，，则圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为； 综上，直线的方程为或. 17. 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. （1）求的方程； （2）过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意建立的方程组，求出进而即得； （2）设，与双曲线方程联立得，，结合求得的值，进而即得直线方程. 【小问1详解】 由题，可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题，直线的斜率一定存在，设，，， 联立，消去，整理得， 则，即且， ，， 若以为直径的圆过坐标原点，则， ， 整理得， ，解得，满足题意， 所以直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）求； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面得，结合，根据线面垂直的判定定理得证； （2）取的中点，由题可得，平面，是直角三角形，利用勾股定理求解； （3）以点为坐标原点，为轴，过点在平面内垂直于直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求出答案. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接， ，，，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 由平面，平面，所以， 所以是直角三角形，故， 由（1），平面，又，所以平面， 平面，所以，即是直角三角形， 所以. 【小问3详解】 由（1），平面，平面，则平面平面， 如图，以点为坐标原点，为轴，过点在平面内垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由，结合是直角三角形，可得， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程. （2）过点的直线（不与轴重合）与交于M，N两点，是的右焦点. （i）证明：； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见详解，（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立的方程组，求出，得解； （2）（i）设直线，与椭圆联立方程组得，通过验证证明； （ii）由，得，利用根与系数关系化简得，令，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由题，可得，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线，，，， 联立，消去，整理得， ，得， ，， 所以直线的斜率，直线的斜率， ， 又 ， 所以，即. （ii）由， 由于，则， ， 令，则， ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $