第四章 指数函数与对数函数（单元测试·提升卷）高一数学人教A版2019必修第一册

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中正确的个数为（    ） ①②，则，③，④ A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，则p，q，r的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 5．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 10．关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为 D．若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 . 13．若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．记已知函数，若，使得，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知正数满足，求下列各式的值： ①； ②. （2）求值： 16．（15分） 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间与人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示.当车速为（米/秒），且时通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，且 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离（米）与年速（米/秒）之间的函数关系式，若要求汽车在的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下（单位：米/秒）?； (2)求当时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间. 17．（15分） 已知函数.    (1)在给出的坐标系中作出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间； (3)试讨论方程的根的情况. 18．（17分） 已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 19．（17分） 已知函数，若是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，若在上有解，求实数的取值范围； (3)若函数，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B D D A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）因为正数满足，所以①；（3分） ②，（6分） 又，所以.（7分） （2） .（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意知，，即，（2分） 当时，，即（3分） 即，又，（4分） 故，（6分） 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下.（7分） （2）当时，，（13分） 当且仅当时等号成立，，（14分） 即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）函数，作出函数的图象如图所示：   （6分） （2）根据（1）中的函数图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（8分） （3）根据图象可知， 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有两个交点， 此时方程有两个不同的根.（10分） 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象没有交点， 此时方程没有根.（12分） 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有一个交点， 此时方程有一个不同的根.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为，所以定点坐标为.（3分） （2）当时，. 令，.（4分） 则，（5分） 当，即时，函数有最小值.（7分） （3）令，则.（8分） ①当时，可知在上单调递减，所以.（9分） 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，（10分） 所以在处取得最大值.（11分） 由已知可得，，解得或.（12分） 因为，所以两个数值均不满足；（13分） ②当时，可知在上单调递增，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增，（14分） 所以在处取得最大值.（15分） 由已知可得，，解得或（舍去），所以.（16分） 综上所述，.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，，解得．（1分） 所以，， 对任意的，，即， 所以，函数的定义域为，（2分） 则， 所以，，则，（4分） 故函数为奇函数，合乎题意，故.（5分） （2）解：因为，由复合函数的单调性易知在单调递减， 又因为是定义在上的奇函数，则的图象关于原点对称， 则函数在上单调递减，故函数在上单调递减，（6分） 证明如下： 任取、，且， （7分） ，（8分） 又因为，则，所以， 则，即，所以，在上单调递减 又因为是定义在上的奇函数，则函数在上单调递减， 所以，在上单调递减．（9分） 由，可得，即，（10分） 也即有解，令，由可知，则，（11分） 因为函数在上单调递增，则， 所以，.（12分） （3）解：易知，，（13分） 当时，，（14分） 当时，，（15分） 所以，当时，， 所以，，，而．（16分） 如下图所示，则函数与的图象有四个公共点，    所以，函数在上有且只有四个零点．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中正确的个数为（    ） ①②，则，③，④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由指数幂的运算和根式与分数指数幂的转换,结合特殊值逐项判断即可. 【详解】①取，则，错， ②当时，，无意义，错， ③取，则，错， ④，错， 故选：A 2．已知，则p，q，r的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性、对数运算法则及幂运算计算即可得. 【详解】，，， 故. 故选：B. 3．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 4．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 【答案】D 【分析】根据题意代值计算即可. 【详解】由题知， 所以，可得， 所以，即. 故选：D. 5．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 6．若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，将问题转化为恒成立问题，然后参变分离，结合二次函数性质求解可得. 【详解】令，因为，所以， 所以当时，恒成立，即， 因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A 7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简后判断函数为偶函数，再判断函数的单调性，利用单调性得出不等式求解. 【详解】因为， 故，而的定义域为，它关于原点对称， 故为上的偶函数. 当时，令， 由对勾函数的单调性可得在上为增函数，且， 而在上为增函数，故在上为增函数， 而在上为增函数，故在上为增函数. 因为，故，平方后化简可得， 即，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：D 8．已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先作出的大致图象，令，根据一元二次方程根的分布，结合图象计算即可. 【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下： 设，则有8个不同的零点， 需有两个不同零点，不妨设 同时分别对应4个零点， 若， 即， 则，且， 即，解之得. 若，则仍需，此时，不符合题意，舍去； 综上：. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 【答案】ABC 【分析】根据题意，结合指数与对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，且，则 则，故A正确； ，故B正确； 由可得，则， 故C正确； 因为，则，则， 所以，所以，故D错误； 故选：ABC 10．关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 【答案】AC 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性以及单调性的相关知识逐一进行分析即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得，的定义域是，正确. 函数的定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数，错误. 令，，则，， 令，，则在定义域上单调递增， 当时，；当时，， 的值域为，正确. 令，，在单调递增，在单调递减， 令，，则在定义域上单调递增， 根据复合函数的单调性的原则，可得在单调递增，在单调递减，错误. 故选：. 11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为 D．若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据推导即可；对于B，令，再结合已知区域的函数关系式即可求解；对于C，画出函数的图像，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围；对于D，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围． 【详解】对于A，因为，所以， 当时，，则， 所以，故A正确； 对于B，由A知，，因此当时，， 故由，则，故， 其开口向下，且对称轴为，所以在上单调递减，故B错误； 对于C，方程的实数根可看作函数与直线图象交点的横坐标， 由题可作出的图象如图所示， 若，则是与在对称轴为对应区间上交点的横坐标， ，，，故C正确； 对于D，同C分析，若在上有4个实数根， 则与的图象有4个交点，由图知，则的取值范围为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性转化为自变量的不等式，解之即可. 【详解】不等式，即， 因为在定义域上单调递增， 所以不等式等价于，即， 因为恒成立， 所以不等式的解集为，即不等式的解集为. 故答案为： 13．若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为，分类讨论底数范围作出函数图象，数形结合计算参数即可. 【详解】不等式在内恒成立，等价于在内恒成立， ①当时，在内，，，∴不成立； ②当时，作出函数与的图象， 由图可得，要使在内恒成立， 必须满足，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：． 14．记已知函数，若，使得，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】先求得的解析式，求得在区间上的值域，根据任意性、存在性列不等式，从而求得的最大值. 【详解】由图可知， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 即在区间上的值域为． ，使得， 等价于在上的值域是在上的值域的子集， 令，解得， 所以，所以的最大值为． 故答案为：    四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知正数满足，求下列各式的值： ①； ②. （2）求值： 【答案】（1）①14；②；（2） 【分析】（1）结合完全平方和公式，利用指数运算化简计算①②； （2）利用根式运算、指数幂的运算性质和对数运算性质化简求值即可. 【详解】（1）因为正数满足，所以①； ②，又，所以. （2） . 16．（15分） 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间与人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示.当车速为（米/秒），且时通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，且 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离（米）与年速（米/秒）之间的函数关系式，若要求汽车在的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下（单位：米/秒）?； (2)求当时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间. 【答案】(1)，20米/秒以下 (2)2秒. 【分析】（1）利用求得函数关系即可求解;（2）结合（1）利用基本不等式求得最短时间. 【详解】（1）由题意知，，即， 当时，，即 即，又， 故， 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下. （2）当时，，当且仅当时等号成立，， 即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒. 17．（15分） 已知函数.    (1)在给出的坐标系中作出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间； (3)试讨论方程的根的情况. 【答案】(1)作图见解析 (2)减区间为，增区间为. (3)答案见解析 【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图象变换分段画出函数图象； （2）根据函数的图象，直接求出函数的单调区间； （3）根据函数的图象，分类讨论确定函数的图象与的图象交点个数，即可讨论方程根的情况. 【详解】（1）函数，作出函数的图象如图所示：    （2）根据（1）中的函数图象知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）根据图象可知， 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有两个交点， 此时方程有两个不同的根. 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象没有交点， 此时方程没有根. 当时，函数的图象与函数（为实数）的图象有一个交点， 此时方程有一个不同的根. 18．（17分） 已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）求出即可得出结果； （2）由已知，令，，可得，即可求出最小值； （3）令，则.分类讨论当以及时，根据指数函数的单调性求出在上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a的值． 【详解】（1）因为，所以定点坐标为. （2）当时，. 令，. 则，当，即时，函数有最小值. （3）令，则. ①当时，可知在上单调递减，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或. 因为，所以两个数值均不满足； ②当时，可知在上单调递增，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或（舍去），所以. 综上所述，. 19．（17分） 已知函数，若是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，若在上有解，求实数的取值范围； (3)若函数，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)在上单调递减， (3)有且只有四个零点，理由见解析 【分析】（1）由奇函数的性质得到，可得出的值，可得出函数的解析式，再利用函数奇偶性的定义验证即可； （2）判断出函数在上单调递减，然后利用函数单调性的定义进行证明，由结合参变量分离法可得出在时有解，设，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）化简函数在上的解析式，作出函数与在上的图象，观察两个函数图象的公共点个数，即可得解. 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，，解得． 所以，， 对任意的，，即， 所以，函数的定义域为，则， 所以，，则， 故函数为奇函数，合乎题意，故. （2）解：因为，由复合函数的单调性易知在单调递减， 又因为是定义在上的奇函数，则的图象关于原点对称， 则函数在上单调递减，故函数在上单调递减，证明如下： 任取、，且， ， 又因为，则，所以， 则，即，所以，在上单调递减 又因为是定义在上的奇函数，则函数在上单调递减， 所以，在上单调递减． 由，可得，即， 也即有解，令，由可知，则， 因为函数在上单调递增，则， 所以，. （3）解：易知，， 当时，， 当时，， 所以，当时，， 所以，，，而． 如下图所示，则函数与的图象有四个公共点，    所以，函数在上有且只有四个零点． 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列命题中正确的个数为（    ） ①②，则，③，④ A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，则p，q，r的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 5．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是（ ） A．已知，，则 B．的值为1 C．若，则的值为 D．若且，则 10．关于函数，下列说法正确的是（   ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．的值域为 D．在单调递减 11．已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为 D．若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 . 13．若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 14．记已知函数，若，使得，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知正数满足，求下列各式的值： ①； ②. （2）求值： 16．（15分） 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间与人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示.当车速为（米/秒），且时通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，且 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离（米）与年速（米/秒）之间的函数关系式，若要求汽车在的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下（单位：米/秒）?； (2)求当时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间. 17．（15分） 已知函数.    (1)在给出的坐标系中作出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间； (3)试讨论方程的根的情况. 18．（17分） 已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 19．（17分） 已知函数，若是定义在上的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，若在上有解，求实数的取值范围； (3)若函数，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $