第二章 二次函数-全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)
2025-11-17
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数，涵盖图象性质、与方程关系、应用及综合题等核心知识点。通过中考真题导入课堂，以教材同步分层练为基础，衔接中考必刷与章测内容，构建从基础到综合的学习支架。
其亮点在于分考点整合2025年各地中考真题，解析含思路分析与关键点拨，培养学生推理意识与运算能力。应用问题如最大面积、利润计算等渗透模型意识，采用分层训练与真题实战，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。
内容正文：
数 学
九年级下册 BS
1
2
3
第一部分 教材同步分层练
4
第二章
二次函数
全章综合训练
5
刷中考
刷章测
目 录
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6
中考
考点1 二次函数的图象与性质
1.【2025山东威海中考】已知点,, 都在二次函数
的图象上，则,, 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 二次函数表达式为， 二次函数 的
图象开口向下，对称轴为直线， 离对称轴越近，函数值越大.
,,,且， ，故选C.
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2.【2025安徽中考】已知二次函数
的图象如图所示，则( )
C
A. B.
C. D.
【解析】 抛物线开口向上， 抛物线对称轴在轴右侧， ，
抛物线与轴交于负半轴，， ，故A选项错误.由题图
易知，，，故B选项错误. 抛物线过点 ，
，， .由题
图易知，， ，故C选项正确.由图象可知，当
时，， ，故D选项错误.故选C.
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关键点拨
根据函数图象判断系数之间的关系即可.
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3.【2025上海中考】将函数 的图象向下平移2个单位后，得到的新函数图
象的表达式为____________.
【解析】 将函数的图象向下平移2个单位， 平移后的新函数图象的表
达式为.故答案为 .
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4.【2025河南中考】在二次函数中，与 的几组对应值如下表所示.
… 0 1 …
… 1 …
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（1）求二次函数的表达式.
【解】把和代入 ,得
解得
二次函数的表达式为 .
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（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的
图象.
【解】将配方，得 ,
二次函数图象的顶点坐标为 .
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图象如图所示：
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（3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当 时，若图象对应的
函数最大值与最小值的差为5,请直接写出 的值.
【解】或 .
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【解析】抛物线向右平移个单位长度后，得到抛物线 ，则平
移后的抛物线的对称轴是直线 ，抛物线开口向上．
①当时，，此时当时，取得最大值，为 ；当
时，取得最小值，为 ．
又 最大值与最小值的差为5，，
（不合题意,舍去）．
②当时，，此时当时，；当
时，；当时，取得最小值，为 ．
又 最大值与最小值的差为5， 当时，解得
（不合题意，舍去）或；当时，解得
（不合题意，舍去）或 ．
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③当且时，，此时当时， 取得最小值，为
；当时，取得最大值，为 ．
又 最大值与最小值的差为5，，
（不合题意，舍去）．
综上，或 ．
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思路分析
分,,且 三种情况讨论即可.
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5.【2025福建中考】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点
, ．
（1）求 的值；
【解】 点和在二次函数 的图象上，
点和 关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线 ，
．
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（2）已知二次函数的最大值为 ．
(i)求该二次函数的表达式；
【解】由得， 抛物线的表达式为
，
抛物线的顶点坐标为 .
函数的最大值为 ，
， ，
解得或 （舍去），
二次函数的表达式为 ．
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(ii)若,为该二次函数图象上的不同两点，且 ，求证：
．
【证明】 点和在该二次函数图象上， ，
, ,
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，
．
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关键点拨
由抛物线的对称性得到 是解题的关键
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考点2 二次函数与一元二次方程
6.【2025陕西中考】在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于
轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( )
D
A.图象的开口向下
B.当时，的值随 值的增大而增大
C.函数的最小值小于
D.当时，
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【解析】由题意可得，方程 的两根异号，
，解得， 二次项系数， 图象开口向上，故A
不符合题意； 抛物线 的对称轴为直线
， 当时，的值随值的增大而增大，故B不符合题意； 当
时，， 函数的最小值为 ，故C不符合题意；当
时，，,即当 时，
，故D符合题意.故选D.
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考点3 二次函数的应用
7.【2025甘肃白银中考】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了
一个柱形喷水装置，喷头 向外喷水，水流在各个方向上沿形
状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的
高度与水平距离 之间的关系式是
，则水流喷出的最大高度是( )
B
A. B. C. D.
【解析】.， 当
时，取最大值，最大值为，即水流喷出的最大高度是 ，故选B.
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8.【2024四川自贡中考】九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，
地上两段围墙于点（如图），其中上的 段围墙空缺．同学们测得
，，，， ，班长买来可切断的
围栏 ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是
______ ．
46.4
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【解析】设矩形菜地在射线上的一段长为,矩形菜地的面积为 ．①当
时，，
当时，.②当 时，
，在的范围内，
均小于46.4．综上,该菜地的最大面积为 ．故答案为46.4．
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思路分析
要利用围墙和围栏围成一块面积最大的封闭的矩形菜地，就必须尽量多地使用围
墙．设矩形菜地在射线上的一段长为.可能小于等于 的长，也可能大于
的长，所以分两种情况进行讨论．
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9.【2025四川内江中考】2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》
刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A
款200个，B款300个，需花费14 000元；购进A款100个，B款200个，需花费8 000元.
（1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元.
【解】设A款“哪吒”纪念品每个进价为元，B款“哪吒”纪念品每个进价为 元.
由题意得，解得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元.
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（2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A、B两
款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
【解】设需要购进B款纪念品个，则需要购进A款纪念品 个.由题意
得，，解得， 的最小值为200.
答：至少需要购进B款纪念品200个.
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（3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加
1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价元， 表示该商家销
售A款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出 的最大值.
【解】由题意得，
，
, 当时， 有最大值，最大值为4 500.
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考点4 二次函数的综合
10.【2025四川德阳中考】如图（1），在平面直角坐标系中，已知二次函数
的图象与轴交于点，，与轴交于点 .
图（1）
图（2）
图（3）
（1）求抛物线的函数表达式；
【解】，， .
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（2）如图（2），连接，过点作与抛物线相交于另一点 .
①求点 的坐标；
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图（1）
【解】把代入，得， .如
图（1），延长与轴相交于点， ，
，
，
，
， ，
.设直线的表达式为，把， 代入，得
解得 直线的表达式为
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点是直线与抛物线的交点， 联立得
解得或 .
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思路分析
延长与轴交于点,求出直线 的表达式,与抛物线的表达式联立,即可求出点
的坐标.
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②如图（3），点，为线段上两个动点（点在点的右侧），且 ，
连接，.求 的最小值.
图（2）
【解】如图（2），过点作，且 ，连接
，，且， 四边形 是平行四边形，
.过点作轴于 ，
， ， ，
,,且轴.，
当点,,共线时，的值最小,即 的值最小,此时
点的坐标为,与点重合，满足在线段上， 的最小值为5.
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章测
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.【2024重庆南川区期末】二次函数的与 的部分对应
值如表，则当时， 的值为( )
… 0 1 2 3 …
… 15 10 7 6 7 …
B
A.15 B.10 C.7 D.6
【解析】由表格可知，二次函数 的图象的对称轴是直线
，时对应的值和时对应的值相等.时， ，
时， ，故选B.
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2. 【2025广东珠海期中】二次函数 满足以下三个
条件：；； ，则它的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
【解析】由可知,同号，故排除D选项.由,即 可知，
抛物线与轴有两个不同的交点，故排除A选项.由可知,当
时， ，故排除B选项.故满足条件的图象可能是C选项.故选C.
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3.【2025四川泸州质检】已知二次函数
（a是常数）的图象与轴没有公共点，且当时，随 的增大而减小，则实
数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 .由题意
得,,解得 抛物线的对称轴为直线
，抛物线开口向上，且当时，随 的增大而减小，
， 实数的取值范围是 .故选C.
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4.【2025浙江嘉兴期末】已知二次函数，当时, 有
最小值，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则 的值为( )
C
A. B.或 C. 或1 D.1
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【解析】二次函数 的图象向右平移3个单位后对应的图象的函数
表达式为 平移后的函数图象经过原点，
，， 二次函数 的对
称轴为直线.①当时， 当时, 有最小值
， 当时，，，即，解得 ；
②当时， 当时,有最小值,， 当
时，，，即 ，解
得.综上所述,的值为 或1.故选C.
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易错警示
的值未知,故需分和 进行讨论,避免漏解.
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5.【2025贵州遵义期末】如图，将与正方形 按如图所示的方式摆放，
边在直线上， ,,.若 以
的速度沿着射线方向运动，初始时点与点重合，当点与点 重合时
停止运动.在运动过程中，与正方形重叠部分面积与运动时间
之间的函数关系图象大致是( )
A
A. B. C. D.
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【解析】当点与点重合时,，当点与点 重合时,
，当点与点重合时, .分情况讨论:①当
时，如图（1），重叠部分为梯形.由题意得, 是等腰直角
三角形， ， ，
，
.此时函数图象为开口向
下的抛物线的一部分.②当时，如图（2），重叠部分为 ，
，为定值,此时函数图象为直线的一部分.③当
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时，如图（3），重合部分为 ，此时
， ，
此时函数图象为开口向上的抛物线的一部分.综上，符合题意的只有选项A.故选A.
图（1）
图（2）
图（3）
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6.【2025山东济南期中】定义：在平面直角坐标系中，若点 满足横、纵坐标都为
整数，则把点叫做“整点”.如：, 都是“整点”.抛物线
与轴交于，两点，若该抛物线在, 之间的部
分与线段所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
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【解析】抛物线
，故抛物线
的对称轴为直线，顶点坐标为,且开口向下，则
和两点关于直线对称.根据题意，抛物线在, 之间
的部分与线段 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，
则这些整点是，，，， ，如图所示.
当时，;当时， .由上可得
解得 ，故选B.
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二、填空题（每小题5分，共25分）
7.如图，抛物线与 轴只有一个公共
点，与轴交于点 ，虚线为其对称轴，若将抛物线向
下平移2个单位长度得抛物线 ，则图中两个阴影部分的面积和
为___.
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【解析】如图，过抛物线的顶点作轴，与轴交于点 .根据平移的性质
及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形 的面积，
.
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8.【2025山东威海期中】某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品的进价为40
元，规定每个纪念品的售价不低于44元，且不高于52元.某商户在销售期间发现，
当每个纪念品的售价定为44元/个时，每天可售出300个，每个纪念品的售价每上
涨2元，每天销量减少20个.将每个纪念品的售价定为____元时，商户每天销售纪
念品获得的利润最大.
52
【解析】设商户每天销售纪念品获得的利润为元，每个纪念品的售价为 元，则
，
， 当时， 有最大值.故答案为52.
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关键点拨
设商户每天销售纪念品获得的利润为元,每个纪念品的售价为 元.根据题意得到
关于的函数表达式及 的取值范围是解题的关键.
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9.【2024福建宁德质检】如图，抛物线与直线 交于
，两点，则不等式 的解为_______________.
或
（第9题图）
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（第9题图）
【解析】 抛物线与直线交于 ，
两点， 抛物线与直线 交于
，两点，如图，观察函数图象可知，当 或
时，抛物线在直线的上方， 不
等式的解集为或 ，即不等式
的解集是或.故答案为 或
.
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10.如图，点，，， ，在抛物线的图象上，点，， ，
，在轴上.若,, , 都为等腰直角三角形
（点与坐标原点重合），则 的腰长为_________.
（第10题图）
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（第10题图）
【解析】如图，作轴，轴，垂足分别为， ，作
轴，轴，垂足分别为, ，
都是等腰直角三角形， ，
.设，则，将其代入表达式 ，得
，解得（不符合题意,舍去）或， .
由勾股定理得.过作于.设点 ，
可得，.又 点在抛物线上， ，
，解得或（不合题意，舍去）， .同理
可得，， ， ，
的腰长为 .
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思路分析
依据题意，利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三
角形的腰长，用类似的方法求出第二个、第三个、…的腰长，观察其规律，最后
得出结果.
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11.【2025黑龙江大庆期中】函数的图象与 轴交于点
，顶点坐标为，其中.下列结论:①当时， ；
②若方程有两个不相等的实数根，则 ；③点
，是抛物线上的两个点，当时， ；④
函数的图象与 的图象总有两个不同的交点.以
上结论正确的是______.（填序号）
①③
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【解析】依照题意，画出函数图象如图.①∵抛物线的顶点坐
标为， 对称轴为直线， .将
代入抛物线的表达式,得 ，
，， ，故
①正确. 方程有两个不相等的实数根， 抛物线
与直线有两个交点. 抛物线的顶点坐标为 ，
， ，故②错误.观察图象可知,抛物线上的点距离对称轴越近，
其纵坐标越大;距离对称轴越远，其纵坐标越小. 抛物线的对称轴为直线
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，且， 点到对称轴的距离比点 到对称轴的距离
大，,故③正确. 抛物线的顶点坐标为， 抛物线表达式为
.联立得
整理得
，
无法判断 是否大于0，
无法判断函数的图象与 的图象的交点个数，故
④错误.综上，①③正确，故答案为①③.
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三、解答题（共45分）
12.【2024浙江湖州期中】已知二次函数 .
（1）若图象过点 ，求抛物线的顶点坐标.
【解】把点代入，解得， 二次函数表达式是
， 抛物线的顶点坐标为 .
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（2）若图象与坐标轴有两个交点，求 的值.
【解】当二次函数图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点在 轴上或者抛物线经
过原点.
①抛物线顶点在轴上，即抛物线与轴有唯一交点, 对于方程
，，解得 .
②抛物线经过原点，即,解得.当时，对于方程 ，
，满足题意.
综上所述，的值为或 或1.
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关键点拨
图象与坐标轴有两个交点，需分两种情况进行讨论：抛物线顶点在 轴上；抛物线
经过原点.
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（3）若函数图象上有两个不同的点，，且 ，求
的取值范围.
【解】 点，是函数 图象上的两个点，
， ，
， ，
. 点，是函数图象上两个不同的点，， .
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13.【2025安徽亳州期中】某汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高
速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试.研发小组成员记录的数据如下：
刹车后行驶的时间 0 1 2 3
刹车后行驶的距离 0 27 48 63
发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位： ）
之间成二次函数关系；
②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间 的增大而增大，当刹车后行驶的
距离最远时，汽车完全停止.
请根据以上信息，完成下列问题：
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（1）求关于 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
【解】由题可设.将，， 代入
，得 .
（2）求汽车刹车 后，行驶了多远距离；
【解】， 当时, 有最大值,最大值为
75, 汽车刹车后,汽车完全停止., 当 时，
.
答：汽车刹车后，行驶了 .
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（3）若驾驶该汽车的驾驶员发现正前方 处停有一辆抛锚的车，立刻刹车，问
该汽车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由.
【解】不会.理由：由（2）得,从汽车刹车后到汽车完全停止，汽车行驶的距离是
.， 该汽车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车.
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14.【2025四川成都二模】在平面直角坐标系中，抛物线
与轴交于点，与轴交于，两点
（在的左边），对称轴是直线，连接， .
（1）求该抛物线的表达式；
【解】 抛物线与轴交于点，对称轴是直线 ，
该抛物线的表达式为 .
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（2）如图，若点为直线上方的抛物线上任意一点，过点作 轴的平行线，
交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，求 的最大值；
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【解】在中，令，则 ，解得
，，，.设直线的表达式为 ，
将，代入直线表达式可得解得 直线 的
表达式为.设，则, ，
, ，
，
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， ，
当时， 的值最大，最大值为6.
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（3）若点是抛物线上一点，点在轴上，若以点,,, 为顶点的四边形是平
行四边形，求点 的坐标.
【解】由题意可设， 平面内以点,,, 为顶点的
四边形是平行四边形，，, 当 为对角线时，由平行四边形的性
质可得解得或（舍去），此时点 的
坐标为 .
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思路分析
分三种情况讨论：当为对角线时；当为边，四边形 为平行四边形时；
当为边，四边形 为平行四边形时.分别利用平行四边形的性质求解即可.
当为边，四边形 为平行四边形时，由平行四边形的性质可得
解得或（舍去），此时点 的坐标为
.当为边，四边形 为平行四边形时，由平行四边形的性质可得
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解得或此时点 的坐标为
或.综上所述，点的坐标为或 或
.
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