6.1.2 任意角及其度量 讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

【学生版】 第6章 三角 6.1.2任意角及其度量 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 基础知识是知识体系的骨架，筑牢概念公式的认知基础；基本技能是解题实践的核心，锤炼运算推理的应用能力；基本思想是思维提升的关键，渗透函数与方程、数形结合等核心方法；基本活动经验是实践探索的沉淀，积累观察分析、合作探究的实战感悟。 【附录】本节相关考点 考点一 正角 负角 零角 一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是正的； 按顺时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是负的； 特别地，当一条射线没有旋转时（终边与始边重合），我们也认为形成了一个角，称为零角；零角的终边与始边重合； 考点二 象限角 为了便于研究角与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中；使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴重合；此时，终边落在第几象限就说这个角时第几象限的角； 考点三 角度制 在平面几何中，周角的360分之一作为1度；用“度”作为单位度量角的单位制叫做角度制； 考点四 弧度制 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用“弧度”作为单位度量角的单位制叫做弧度制； 考点五 扇形的弧长、 扇形的面积 公式 设扇形所在圆的半径为，圆心角为，所对弧长为，对应面积为， 则； 例1、下列命题中正确的是（ ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（     ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角一定是钝角 C．始边相同且相等的角的终边一定重合 D．始边相同且终边重合的角一定相等 例3、已知为第二象限的角，则所在的象限是（     ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 例4、象限角：把角置于平面直角坐标系中，使得角的 与坐标原点重合，角的 与x轴的正半轴重合，此时角的 在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 例5、已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则该扇形的弧长为 cm 例6、在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；     ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的序号是 A．1 B．2 C．3 D．4 例7、已知半径为的圆O中，弦AB的长为4． （1）求弦AB所对的圆心角α的大小； （2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S． 例8、（1）若，则角的终边在第几象限？ （2）若为第一象限的角，则角的终边在第几象限？ 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 同步练习能即时巩固课堂所学的基础知识，通过对概念、定理、公式的针对性应用，避免知识浮于表面，填补课堂讲解后的理解盲区，防止漏洞累积影响后续学习。它能反复锤炼基本技能，让运算求解、逻辑推理、空间想象、数据处理等核心技能在实践中形成肌肉记忆，提升解题的熟练度与准确率。 1、角的概念 （1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． （2）分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角； （3）相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α； 2、终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}；即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和； 【注意】对终边相同的角的理解： （1）α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏； （2）k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)； （3）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同； 3、象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限； 【注意】（1）象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． （2）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z； （3）象限角 （4）轴线角 4、终边相同的角与对称性拓展 （1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z； （2）β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z； （3）β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z； （4）β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z； 5、弧度制的定义和公式 （1）定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． （2）公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 【注意】1、在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”； 2、在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入； 3、在弧度制下的扇形面积公式S＝lR，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆； 4、由α，R，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量； 【教材边上注解】1、在学习微积分后可以更明显； 2、角度和弧度不可混用．在使用计算器的时候，要注意所指的 1、下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 2、在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若第二象限角,则在第 象限角； 4、给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是 . 5、下列说法中正确的是 （填序号）． ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角； ⑤角与的终边关于x轴对称． 6、象限角、轴线角的概念 （1）象限角：若角的顶点在 ，角的始边与 重合，则 ，就称这个角是第几象限角. （2）轴线角：若角的终边在 上，则这个角不属于任何象限. 7、已知α为第二象限角，则2α为第 象限的角； 8、已知α为第二象限角，则2α的终边位于 ； 9、已知角的集合． （1）其中有几种终边不重合的角？ （2）写出落在–360°~360°之间的角； （3）写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 10、已知半径为6的圆中，弦的长为6. （1）求弦所对圆心角的大小； （2）求圆心角所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积 【解析版】 第6章 三角 6.1.2任意角及其度量 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 基础知识是知识体系的骨架，筑牢概念公式的认知基础；基本技能是解题实践的核心，锤炼运算推理的应用能力；基本思想是思维提升的关键，渗透函数与方程、数形结合等核心方法；基本活动经验是实践探索的沉淀，积累观察分析、合作探究的实战感悟。 【附录】本节相关考点 考点一 正角 负角 零角 一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是正的； 按顺时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是负的； 特别地，当一条射线没有旋转时（终边与始边重合），我们也认为形成了一个角，称为零角；零角的终边与始边重合； 考点二 象限角 为了便于研究角与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中；使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴重合；此时，终边落在第几象限就说这个角时第几象限的角； 考点三 角度制 在平面几何中，周角的360分之一作为1度；用“度”作为单位度量角的单位制叫做角度制； 考点四 弧度制 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用“弧度”作为单位度量角的单位制叫做弧度制； 考点五 扇形的弧长、 扇形的面积 公式 设扇形所在圆的半径为，圆心角为，所对弧长为，对应面积为， 则； 例1、下列命题中正确的是（ ） A．第一象限角一定不是负角 B．小于的角一定是锐角 C．钝角一定是第二象限的角 D．终边相同的角一定相等 【提示】根据象限角的定义、锐角、钝角、终边相同的角的定义逐一判断即可； 【答案】C； 【解析】A：角显然是第一象限角，但它是负角，本选项命题不正确； B：锐角是小于的正角，所以本选项命题不正确； C：钝角是大于小于的角，显然是第二象限的角，所以本选项命题正确； D：角和角显然是终边相同的角，但它们不相等，所以本选项命题不正确， 故选：C 【说明】本题考查了任意角的概念； 例2、在平面直角坐标系中，下列结论正确的是（     ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角一定是钝角 C．始边相同且相等的角的终边一定重合 D．始边相同且终边重合的角一定相等 【提示】根据象限角的定义、终边相同的角的定义以及相关概念，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项； 【答案】C； 【解析】对于选项A：小于的角不一定是锐角，如负角和零角均小于，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：钝角是第二象限角，但是反过来不正确，比如是第二象限角但不是钝角，故B错误； 对于选项C：始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确； 对于选项D：始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差的整数倍，故D错误. 故选：C； 【说明】本题考查了任意角的概念、由已知角所在的象限确定某角的范围； 例3、已知为第二象限的角，则所在的象限是（     ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 【提示】用不等式表示出的范围，计算出的范围，进一步得到的范围，然后可得其所在象限； 【答案】D； 【解析】由为第二象限的角，即 所以 所以 所以 当为偶数时，设，则， 所以此时在第二象限. 当为奇数时，设，则 所以此时在第四象限. 故选：D； 【说明】本题考查了由已知角所在的象限确定某角的范围 例4、象限角：把角置于平面直角坐标系中，使得角的 与坐标原点重合，角的 与x轴的正半轴重合，此时角的 在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 【答案】顶点；始边；终边； 例5、已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则该扇形的弧长为 cm 【提示】利用扇形的弧长公式求弧长即可； 【答案】； 【解析】由弧长公式知：该扇形的弧长为(cm). 故答案为： 【说明】本题主要考查了弧长的有关计算 例6、在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；     ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的序号是 A．1 B．2 C．3 D．4 【说明】对于①②③举例判断，对于④利用角的定义分析判断 【答案】④； 【解析】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误， 对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误， 对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误， 对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确， 所以真命题的序号是：④； 【说明】本题考查了任意角的概念、找出终边相同的角、确定已知角所在象限； 例7、已知半径为的圆O中，弦AB的长为4． （1）求弦AB所对的圆心角α的大小； （2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S． 【提示】（1）由已知判断的形状，由此确定圆心角的大小；（2）根据扇形的弧长以及面积公式求解； 【答案】（1）弦所对圆心角为； （2）α所在的扇形的弧长为，弓形的面积为； 【解析】（1）因为圆的半径为，弦的长为4，所以，，所以，故为直角三角形，且为直角， 所以弦所对圆心角为； （2）由弧长公式得：， 扇形的面积， 又， 所以，即弧所在的弓形的面积. 【说明】本题考查了弧度的概念、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算； 例8、（1）若，则角的终边在第几象限？ （2）若为第一象限的角，则角的终边在第几象限？ 【提示】（1）由，解出的范围，即可判断； （2）由为第一象限的角，列不等式组，解出的范围，分类讨论，进行判断. 【解析】因为，所以，所以角的终边在第一象限； 因为为第一象限的角，即， 所以， 当k为偶数时，角的终边在第一象限； 当k为奇数时，角的终边在第三象限. 所以为第一象限的角，则角的终边在第一或第三象限； 【说明】本题考查了确定n分角所在象限的过程与方法； 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 同步练习能即时巩固课堂所学的基础知识，通过对概念、定理、公式的针对性应用，避免知识浮于表面，填补课堂讲解后的理解盲区，防止漏洞累积影响后续学习。它能反复锤炼基本技能，让运算求解、逻辑推理、空间想象、数据处理等核心技能在实践中形成肌肉记忆，提升解题的熟练度与准确率。 1、角的概念 （1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． （2）分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角； （3）相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α； 2、终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}；即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和； 【注意】对终边相同的角的理解： （1）α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏； （2）k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)； （3）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同； 3、象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限； 【注意】（1）象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． （2）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z； （3）象限角 （4）轴线角 4、终边相同的角与对称性拓展 （1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z； （2）β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z； （3）β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z； （4）β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z； 5、弧度制的定义和公式 （1）定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． （2）公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 【注意】1、在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”； 2、在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入； 3、在弧度制下的扇形面积公式S＝lR，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆； 4、由α，R，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量； 【教材边上注解】1、在学习微积分后可以更明显； 2、角度和弧度不可混用．在使用计算器的时候，要注意所指的 1、下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 【提示】利用特殊值法可判断ABC选项；利用象限角的定义可判断D选项； 【答案】D 【解析】对于A选项，小于，但不是锐角，A错； 对于B选项，是第二象限的角，是第一象限角，但，B错； 对于C选项，，但和的终边不相同，C错； 对于D选项，钝角一定是第二象限的角，D对. 故选：D； 2、在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【提示】结合任意角的概念分析即可； 【答案】B； 【解析】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 故选：B. 3、若第二象限角,则在第 象限角； 【提示】先求出在第二象限时的表示,再求出的表示,最后讨论偶数和奇数的情况,即可得出结论； 【答案】一、三； 【解析】解:由题可知,第二象限角 所以, 所以, 当为偶数时,在第一象限； 当为奇数时,在第三象限. 4、给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是 . 【提示】根据题意，由任意角的定义对选项逐一判断，即可得到结果； 【答案】②③④ 【解析】①终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍，故正确； ②角是第一象限角，角是第二象限角，，故错误； ③的角是指大于等于小于的角，其中角不是象限角，故错误； ④小于的角还包括零角和负角，故错误； 故答案为：②③④ 5、下列说法中正确的是 （填序号）． ①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于的角一定为锐角； ⑤角与的终边关于x轴对称． 【提示】根据角的相关概念逐一分析即可. 【答案】②⑤ 【解析】锐角是第一象限角，但第一象限的角不一定是锐角， 如是第一象限角，但不是锐角，故①错误，②正确； 第二象限角不一定是钝角，例如，故③错误； 小于的角不一定是锐角，如，故④错误； 由角的定义可知，与的终边关于x轴对称，⑤正确. 故答案为：②⑤． 6、象限角、轴线角的概念 （1）象限角：若角的顶点在 ，角的始边与 重合，则 ，就称这个角是第几象限角. （2）轴线角：若角的终边在 上，则这个角不属于任何象限. 【答案】原点；x轴非负半轴；角的终边在第几象限；坐标轴； 7、已知α为第二象限角，则2α为第 象限的角； 【提示】由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，在此基础上可以判断2α的终边所在的象限； 【答案】第三或第四 【解析】∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)． ∴2α是第三或第四象限角． 8、已知α为第二象限角，则2α的终边位于 ； 【提示】由角α为第二象限角，可以写出α的范围：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，在此基础上，认真审题，可以判断2α的终边位置； 【答案】第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上 【解析】∵α是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． ∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)． ∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的负半轴上的角． 9、已知角的集合． （1）其中有几种终边不重合的角？ （2）写出落在–360°~360°之间的角； （3）写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 【提示】（1）由终边相同的角，所以可以按除以4的余数进行分类讨论； （2）解不等式即可求解； （3）由（1）可知，， 【答案】（1）4种； （2）–315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°； （3），． 【解析】（1）（1）当（）时，，与45°角的终边重合； 当（）时，，与135°角的终边重合； 当（）时，，与225°角的终边重合； 当（）时，，与315°角的终边重合， 故有4种终边不重合的角. （2）由，得． 又，故，–3，–2，–1，0，1，2，3． 所以，在给定的角的集合中落在–360°~360°之间的角是： –315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°． （3）由（1）知，其中是第二象限的角可表示为，． 10、已知半径为6的圆中，弦的长为6. （1）求弦所对圆心角的大小； （2）求圆心角所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积 【提示】（1）根据三角形形状得圆心角的大小；（2）根据扇形的弧长以及面积公式求解； 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）解：半径为6的圆中，弦的长为6， 所以三角形为正三角形， 所以弦所对圆心角为， （2）解：由弧长公式得： 扇形的面积 又， 所以，即弧所在的弓形的面积. 第18页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $