精品解析：福建省莆田第五中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

莆田五中2025-2026上学期高二年段数学科期中考试卷 命题人：吴来杰任宇宁审核人：陈建英命题时间：2025年11月1 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，根据斜率与倾斜角关系求. 【详解】直线可化为，可知直线斜率为. 所以，解得. 故选：A. 2. 等差数列中，若，，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的公差即可计算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 所以. 故选：C 3. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆的一般式得到圆心坐标，再利用圆的对称性得到关于的方程，进而再将圆的一般式化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得圆的圆心为. 因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上， 则，解得， 故圆，可化为， 所以圆的半径为. 故选：A. 4. 一个等比数列的前项和为，前项和为，则前项和为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和的性质及等比中项即可求解. 【详解】∵等比数列的前n项和为，前2n项和为， ∴成等比数列， ∴，解得 所以前项和为. 故选：A. 5. 若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可得. 【详解】根据椭圆的定义知，，因为，所以． 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的定义，一般地，与焦点三角形有关的计算问题，应利用椭圆的几何性质来考虑，本题属于基础题. 6. 已知数列：，则是数列中的（ ） A. 第18项 B. 第19项 C. 第20项 D. 第21项 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察将数列分为第1组1个，第2组2个，……，第n组n个，找到每一组中数的分子、分母的和为，进而判断结果. 【详解】将数列分第1组1个，第2组2个，……，第n组n个， 即， 则这n组中，每一组中数的分子、分母的和为， 所以是第6组的第3个数，在数列中的项数为， 故选:A. 7. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分析曲线的图形，再结合直线与该曲线的位置关系，再判断 “” 与 “直线与曲线恰有1个公共点” 之间的条件关系. 【详解】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得点在直线 上，由，而点关于直线对称的点，所以，从而可求得结果. 【详解】由，得，则圆心，半径， 由，得，则圆心，半径， 由题意，动点在直线 上，动点在直线 上， 记线段MN的中点为P，则点P在直线x+y=0 上， 又由， 点关于直线对称的点， 则， 所以的最小值为． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为0 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意作图，根据直线截距、两点斜率、两圆之间的位置关系，结合图像建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，整理可得，取得最大值时，如下图所示： 由，可得， 由，整理可得，可得圆心，半径为， 由图可得，化简可得，解得或（舍去），故A正确； 对于B，设，可得圆心，半径为，取得最大值时，如下图： 由图可知，，故B正确； 对于C，设，则为与连线的斜率，取得最大值时，如下图： 由，整理可得，由图可知，则，解得， 由图可得，故C错误； 对于D，设，整理可得，取得最大值时，如下图： 由，整理可得，由图可得，则， 解得或，由图可得，故D错误. 故选：AB. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A：将直线整理为，则有，解出这个方程组的解，这个解构成的点就是直线恒过的定点 ；对于选项B：求出圆心到直线的距离，这个距离与半径比较得到所求；对于选项C：两圆有三条公切线，则有两个圆心间的距离等于两个圆的半径和，求解即可；对于选项D：设，由点为直线上一动点，将代入此直线方程整理后得到，求出以为直径的圆的方程，这个圆的方程和圆：相减得到直线的方程，将代入直线的方程得，再求出直线恒过的定点即可. 【详解】对于选项A：将直线整理为，则有，解得， 直线恒过定点，则选项A错误； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1. 则选项B正确； 对于选项C：曲线：的圆心为，半径， 曲线：的圆心为，半径， 曲线：与曲线：恰有三条公切线， ，，，则选项C正确； 对于选项D：设，点为直线上一动点，， 即， 以为直径的圆的方程为，即， 圆：和，这两个圆相减得直线的方程为， 代入，得，整理得， 设，解得，即直线经过定点（1，2），则选项D正确. 故选：BCD. 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】运用累和法结合等差数列的前项和公式数列通项、裂项相消法求得，即可判断ABC选项，利用作差法判断D选项. 【详解】由题意可知：，于是有，，即， 由累加法可知， 显然可得： ，A选项正确， ，B选项不正确； ， 由裂项相消法可得，C选项正确； 令，∵，即，∴，即，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线和直线的夹角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可求得. 【详解】直线的方向向量为，直线的方向向量为， 所以直线和直线的夹角的余弦值为：， 因为两直线的夹角，所以直线和直线的夹角为. 故答案为： 13. 为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距，且与C村相距的地方．已知B村在A村的正东方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆A的方程和圆C的方程，进而求得两圆公共弦的方程，联立圆A的方程求得点M坐标，进而求得答案. 【详解】以A为原点，以为x轴建立平面直角坐标系，则， 以A为圆心，以5为半径作圆A，以C为圆心，以 为半径作圆C， 则圆A的方程为： ，圆C的方程为∶ ， 即 ， ∴两国的公共弦方程为∶ 设 ，则 ，解得 或， 即 或 ． ∴ 或， 故答案为∶或 . 14. 设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像结合几何知识可证，利用错位相减法求数列的前n项和． 【详解】的倾斜角，设圆、与直线的切点分别为，连接，过作，垂足为， 则 ∵，整理得 数列是以首项，公比的等比数列，即 ∴，设数列的前n项和为，则有： 两式相减得： 即 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距是4，且经过点； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （3）经过，两点 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出焦点坐标，根据椭圆的定义求出，即可求解； （2）根据已知椭圆方程写出所求椭圆的焦点坐标，再由椭圆的定义求得解； （3）设所求的椭圆方程为，代入点的坐标求解. 【小问1详解】 由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得， 可得，所以. 又焦点在轴上，所以所求椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 椭圆的焦点坐标为，则所求椭圆的焦距为， 所求椭圆过点， ， ，， 椭圆的标准方程为. 【小问3详解】 设所求的椭圆方程为. 把，两点代入， 得：，解得，， 椭圆方程为. 16. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由的表达式，结合即可求得，递推后即可求得数列的通项公式； （2）利用裂项法求和求得. 【小问1详解】 当时，， 由已知， 两式作差得， 则 ，所以， 所以数列通项公式； 【小问2详解】 ， 所以. 17. 已知圆是圆上的一个动点，点是线段的中点，为坐标原点. （1）求动点的轨迹方程； （2）当时，求直线的方程及的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相关点法即可求得动点的轨迹方程； （2）先利用圆的性质求得直线的斜率，进而求得直线的方程，再利用垂径定理求得的长，进而求得的面积. 【小问1详解】 可化为， 设， 是线段的中点，即 又因为在圆上， ，即 整理得. 的轨迹方程是. 【小问2详解】 由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于，故点在线段的垂直平分线上， 又点在圆上，故点在线段的垂直平分线上， 从而 ，直线的斜率为. 直线的方程为，即. 则到的距离为， . 又到直线的距离为. . 18. 已知数列和满足，且． （1）当时，求数列的通项公式； （2）若，求证：数列是等差数列； （3）若，，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据以及题干，代入计算即可； （2）代入可知，然后根据等差中项进行判断即可； （3）根据题干联立可知，所以得到，然后简单判断可知结果. 【小问1详解】 当时，， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 证明：因为，所以， 则， 两式相减，得， 所以，即，又当时，， 所以， 所以是以1为首项，6为公差的等差数列，即． 【小问3详解】 证明：因为，所以， 又，，所以，， 所以，则， 所以， 所以，所以， 解得，故． 19. 设，，，，圆Q圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆的方程； （2）若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先分析圆只能过点，，三点，再求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意； 又与关于轴对称，圆心在轴的正半轴上，所以圆只能过点，，三点， 因为，的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组解得， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为． 【小问2详解】 设，因， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交， 又， 则，解得． 【小问3详解】 设直线的方程为，，， 由得， 所以，， 所以 ，所以， 所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田五中2025-2026上学期高二年段数学科期中考试卷 命题人：吴来杰任宇宁审核人：陈建英命题时间：2025年11月1 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列中，若，，则等于（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 一个等比数列的前项和为，前项和为，则前项和为( ) A. B. C. D. 5. 若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 已知数列：，则是数列中的（ ） A. 第18项 B. 第19项 C. 第20项 D. 第21项 7. “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆，，分别是圆，上的动点．则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足方程，则下列说法正确是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为0 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（ ）． A B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线和直线的夹角的大小为______. 13. 为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距，且与C村相距的地方．已知B村在A村的正东方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距__________． 14. 设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆都与圆相互外切，以表示圆的半径，已知为递增数列，若，则数列的前n项和为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上，焦距是4，且经过点； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （3）经过，两点 16. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知圆是圆上的一个动点，点是线段的中点，为坐标原点. （1）求动点轨迹方程； （2）当时，求直线的方程及的面积. 18. 已知数列和满足，且． （1）当时，求数列通项公式； （2）若，求证：数列是等差数列； （3）若，，求证：． 19. 设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆的方程； （2）若圆上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k直线l与圆相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $