精品解析：山东省青岛市市南区青岛超银中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026年第一学期期中质量调研数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质；根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质，即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ， 四边形是菱形， ， 故选：A． 2. 如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件； 正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件． 综上，外框与原图一定相似的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似图形的概念，注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 3. 在比例尺为1∶2000的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离求解即可，注意单位要统一． 【详解】解：设两地间的实际距离为xm，根据题意， 得：1：2000=5：100x， 解得：x=100， 即两地间的实际距离为100m， 故答案为：C． 【点睛】本题考查比例尺、比例性质，熟记比例尺=图上距离：实际距离，掌握比例性质是解答的关键，注意单位要统一． 4. 一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字的小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（ ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据摸到“如意”球的频率稳定在左右进行求解即可． 【详解】解：设口袋中“如意”球有x个，根据题意，得：， 所以估计口袋中“如意”球有个． 则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为个． 故选：D 5. 某市2020年投入了教育专项经费7200万元，用于发展本市的教育，预计到2022年将投入教育专项经费三年共需23832万元，若每年增长率都为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据该市2020年和三年共投入教育专项经费的金额以及每年增长率，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 6. 如图，在矩形中，E是的中点，连接，过点A作，垂足为F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，根据矩形的性质可得，根据平行线的性质得，根据垂直的性质可得，进而可证，根据相似三角形的性质可求出的值，进一步可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， E是的中点， ， ， ， 解得， ， 即， 故选：A． 7. 学生甲手中有4，6，8三张扑克牌，学生乙手中有3，5，10三张扑克牌，现每人从各自手中随机取出一张牌进行比较，数字大者胜，在该游戏中（ ） A. 甲获胜的概率大 B. 乙获胜的概率大 C. 两人获胜概率一样大 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】列举出甲获胜的所有可能，求出甲获胜的概率，然后求出乙获胜的概率，比较大小即可得到结果． 【详解】解：由题意知，甲取出4时，乙有3，5，10共三种可能，其中甲获胜有1种可能； 甲取出6时，乙有3，5，10共三种可能，其中甲获胜有2种可能； 甲取出8时，乙有3，5，10共三种可能，其中甲获胜有2种可能； ∴甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为 ∵ ∴甲获胜的概率大 故选A． 【点睛】本题考查了列举法求概率．解题的关键在于正确列举事件． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B、A两点，以线段AB为边在AB右侧作等边三角形ABC，边AC与x轴交于点E，边BC与y轴交于点F，点D是y轴上的一个动点，连接AD，BD，CD．下面的结论中，正确的是（ ） ①；②；③当时，；④点C的坐标为；⑤当时，； A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②③ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，再由题意可得A（0，2），B（-2，0），从而得到∠ABO=∠BAO=45°，进而得到∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，再根据三角形外角的性质，则①正确；过点Ｇ作ＣＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，ＣＨ⊥ｙ轴于点Ｈ，则∠BGC=∠AHC=90°，可证得△BCG≌△ACH，△BOF≌△AOE，从而得到CG=CH，AF=BE，再由三角形的面积，可得②正确；根据，可得AD=AB=AC，再根据等腰三角形的性质，可得∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=，则得到③正确；过点C作CP⊥AB于点P，可得CP过点O，根据勾股定理可得，，从而得到，再由等腰直角三角形的性质可得④正确；设点，则OD=m，AD=2+m，可得到，，再由，求出m，即可求解． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC， 当时，，当时，， ∴A（0，2），B（-2，0）， ∴OA=OB=2， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABO=∠BAO=45°， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，∠CAF=∠BAC-∠BAO=15°， ∴∠AEB=∠ACB+∠CBE=75°，故①正确； 如图，过点G作CG⊥x轴于点G，CH⊥y轴于点H，则∠BGC=∠AHC=90°， ∵∠CBE=15°，∠CAF=15°， ∴∠CBE=∠CAF， ∵∠BGC=∠AHC=90°，AC=BC， ∴△BCG≌△ACH， ∴CG=CH， ∵∠CBE=∠CAF，OB=OA，∠BOF=∠AOE=90°， ∴△BOF≌△AOE， ∴OE=OF， ∴OA+OF=OB+OE，即AF=BE， ∵， ∴，故②正确； ∵，AB=BC=AC， ∴AD=AB=AC， ∴∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=， ∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=150°，故③正确； 如图，过点C作CP⊥AB于点P， ∵OA=OB， ∴CP过点O， ∵∠ABO=45°，∠ABC=60°， ∴∠COE=∠BOP=45°，∠BCP=30°， ∴OP=BP，，∠OCG=45°， ∵OA=OB=2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠COE=∠OCG=45°， ∴CG=OG， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，故④正确； 设点，则OD=m，AD=2+m， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴，故⑤正确 所以正确的有①②③④⑤，共5个． 故选：D. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 二、填空题（每空2分，共14分） 9. 一个比的前项是15，后项是12，这个比是________，比值是________． 【答案】 ①. 15：12 ②. 【解析】 【分析】根据比的前项除以后项等于比值，由此得出结果． 【详解】前项：后项=15:12， 比值为， 故填：15：12；． 【点睛】本题考查比的定义，要知道“：”前面的叫做前项，后面的叫做后项，比值要化成最简形式． 10. 连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是__________． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】设这两个整数中较小的一个是，则较大的一个是，根据两数之积为12，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这两个整数中较小的一个是，则较大的一个是， 根据题意得：， 解得：，． 故答案为：3或 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11. 从，2，，这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点在函数图象上的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点恰好在反比例函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，点恰好在反比例函数图象上的有：，， ∴点在函数图象上的概率是：． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可知当图象顶点在点M时，点A的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在N点时，点B的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】当图象顶点在时，点A的横坐标的最小值为， 则可设此时抛物线的解析式为：， 将点A的坐标代入得：，解得． 当图像顶点在时，点B的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：， 令，则，解得， 即点B横坐标的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点M时，点A的横坐标最大；当图象顶点在点N时，点B的横坐标最大． 13. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______. 【答案】(x+1)2=25 【解析】 【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程. 【详解】根据题意得：（x+1） 2 -1=24， 即：（x+1） 2 =25． 故答案为（x+1） 2 =25． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法. 14. 如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及动点问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 首先证四边形是平行四边形，则当时，四边形是矩形，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， 动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动， ，， 在和中， ， ， ， 同理可证：， 四边形是平行四边形， 如图，连接，，过点作于，于， 当时，四边形是矩形， 即当时，四边形是矩形， ， ， ， ， 同理可求：，，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共82分） 15. （1）如图1，正方形网格中，的顶点均在网格上． ①以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出． ②作出关于坐标原点O成中心对称的． ③可由绕某点M旋转得到；请直接写出旋转中心M的坐标为______． （2）如图2，的顶点均落在格点上，以BC为直径的半圆与AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP＋PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q． 【答案】（1） ①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； ③ （2） 当BP＋PQ取得最小值时，点P，Q如图所示． 【解析】 【分析】（1）①分别作出绕点顺时针旋转得到的对应点，再与点首尾顺次连接即可；②分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；③作线段的垂直平分线，与线段的垂直平分线（即轴）的交点即为旋转中心，从而得出答案； （2）利用网格的特点，结合矩形的定义，找到点，连接GN,则GN平行线，连接并延长，与相交GN于点，则有BD=DM,连接CM交圆于点I,再连接BI与CD交与点P，根据直径所对应的圆周角是直角，可知BI和CD是△BCM的高,连接MP并延长交BC于点Q，则MQ垂直BC，再根据垂线段最短，得出最短，进而得出点． 【小问1详解】 解：①略 ②略 ③如图所示，可由绕点，顺时针旋转得到，其中点； 故答案为： 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-旋转变换、矩形的定义、平行线间的距离处处相等、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握旋转变换的定义和性质、线段的垂直平分线的性质、垂线段最短是解本题的关键． 16. 解下列方程 （1） （2） （3）（用配方法解） （4） 【答案】（1） （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）先移项，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （4）整理成一般式，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 ， 或， 解得，； 【小问2详解】 ， ， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 ， ， ， ，即， ， 解得，； 【小问4详解】 整理成一般式，得：， ，，， ， 则， ，． 17. 如图1转盘被等分为等份，如图正方形顶点处各有一个圆圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落指向分界线时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 请回答下列问题： （1）若嘉嘉从圆圈起跳，则她仅转动一次转盘，就能跳回到圈的概率_______； （2）若淇淇从圆圈起跳，则她转动一次转盘跳回到圈的概率与（）中嘉嘉的概率一样大吗？通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） 概率一样大，理由： 当转盘转一次时，淇淇从圈起跳，可能落在，，，， ∴共有种等可能情况，其中淇淇落在圈的情况种， ∴淇淇落在圈的概率为， 故嘉嘉和淇淇落在圈的概率一样大． 【解析】 【分析】此题考查了用概率公式求概率，熟练掌握利用概率公式求概率是解题的关键． （）由共有种等可能的结果，落回到圈的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （）利用概率公式求解，再进行判断即可得答案． 【小问1详解】 解：∵共有种等可能的结果，落回到圈的只有种情况， ∴落回到圈的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平移变换，画平移图形，由平移方式确定点的坐标，三角形的面积等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）先由点和点O的坐标，确定平移的方式，再由平移方式得到点D和点E的坐标，据此即可作图； （2）根据平移方式即可求解； （3）先由割补法求出的面积，再由即可求出的面积，再由三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到，点B对应点O， ∴平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴ 【小问2详解】 解：由题意得，向右平移了3个单位，向上平移了2个单位得到， ∴点Q的坐标为，即； 【小问3详解】 解：如图： ∵， ∴， ∵过点作直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴或 即或． 19. 当为何值时，一元二次方程有两个不相等的是实数根． 【答案】，且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．先将方程整理为一般式，根据方程有两个不相等的实数根，即且，进而得出结果． 【详解】解：， 即， 根据题意得：，且， ，且， 解得：，且． 20. 如图，四边形中，，，、分别是、的中点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，为的中点，点是线段上一动点． ①当点M是线段的中点时，连结，求证：； ②若，试求出的最小值． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图1， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ； ②． 【解析】 【分析】（1）由两组对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论； （2）①证是的中位线，即可得出结论； ②连接、，先证平行四边形是菱形，得出垂直平分，则，推出当点、、三点共线时，的值最小，其最小值为的长，再证是等边三角形，得出，然后由等边三角形的性质得出，，最后由勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图2，连接、， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， 、分别是、的中点，， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是菱形， 垂直平分， ， ， 当点、、三点共线时，的值最小，其最小值为的长， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， 为的中点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理、垂直平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 21. 某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于元试销期间发现该糖果每天的销售量（千克）与每千克的售价（元）之间的函数关系如下表： x/元 y/千克 （1）求与之间的函数关系式． （2）当每天获得的总利润是元时，这种糖果每千克的售价是多少元？ （3）设每天获得的总利润是（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）当这种糖果每千克的售价是元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是元 【解析】 【分析】（1）根据给定数据，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式； （2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：观察给定数据，可知：与之间满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这种糖果每千克的售价是元； 【小问3详解】 根据题意得：， 即， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为：， ∴当这种糖果每千克的售价是元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出随的函数关系式． 22. 如图，中，的平分线交于点，点是线段上一个动点，交射线于点，连接，点是点关于的对称点． （1）线段_______，_________． （2）在点从点运动到点的过程中，是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当是等腰三角形时，所有可能的长；若不可能，请说明理由． （3）当点恰好落在线段上时，_________________． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）过点A作AF⊥BC于点F，然后由题意易得∠BAF=30°，AF=CF，则有，进而根据勾股定理可进行求解； （2）由三角形内角和及外角的性质可得，则可分三种情况进行分类讨论：①当AE=BE时，②当AB=BE时，③当AB=AE时，然后根据等腰三角形的性质可进行分类求解； （3）由题意画出图形，则由（2）可得，过点D作DH⊥PE于点H，并延长HD，交BC于点G，则有△PDH是等腰直角三角形，由题意易得，易证四边形HGCE是矩形，然后可得，最后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：（1）过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵， ∴∠BAF=30°，△AFC是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为，； （2）在点从点运动到点A的过程中，可能是等腰三角形，理由如下： ∵，BD平分∠ABC， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当是等腰三角形时，可分： ①当AB=BE时，则有点P与点D重合，且点E也与点D重合，故此情况不符合题意；舍去； ②当AE=BE时，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，过点P作PK⊥BC于点K，如图所示： ， ∴，， ∵BD平分∠ABC，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵PE∥BC， ∴， ∴四边形PENK是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ③当AB=AE时，如图所示： 由图可得此时点P与点A重合， ∴； 综上所述：当是等腰三角形时，或； （3）过点D作DH⊥PE于点H，并延长HD，交BC于点G，如图所示： 由（2）可得，，， ∴△DGC是等腰直角三角形，， ∴， ∵点是点关于的对称点， ∴， ∴， ∵PE∥BC， ∴，， ∴， ∴四边形HGCE是矩形， ∴， 在Rt△DHE中，∠HED=30°，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定、轴对称的性质、含30°直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定、轴对称的性质、含30°直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 23. 已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点， （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接； ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）将，两点代入抛物线的解析式，解方程即可； （2）①设直线交x轴于E，可推出为直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果； ②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：①如图1， 设直线交x轴于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为：， 由得， ∴，（舍去）， 即点P的横坐标为； ②如图2， 令， 解得，， ∴， 直线过、两点， 直线的解析式为：， 设点， 分以下两种情况： 点P在第三象限时，作轴于F， ∵点E与关于对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去），， ∴； 当点P在第二象限时， 同理可得：， ∴（舍去），， ∴； 综上所述：点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量． 24. 两点均在菱形的对角线上，连接并延长交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，若． ①求证：； ②过作于点，求证：． （2）如图2，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） ①解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴P，E，C，Q四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据菱形，得到，结合，得到，结合，可证明． ②连接，，，先证明，再证明，接着证明，再证明，P，E，C，Q四点共圆，利用等腰三角形的判定，等量代换证明即可． （2）延长二线交于点G，连接，设，则， 利用三角形的相似判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解方程解答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：延长二线交于点G，连接， 设，则， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第一学期期中质量调研数学试题 （考试时间：120分钟；满分120分） 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于(　　) A. B. C. D. 2. 如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 3. 在比例尺为1∶2000的地图上测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离为（ ） A. B. C. D. 4. 一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字的小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（ ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 5. 某市2020年投入了教育专项经费7200万元，用于发展本市的教育，预计到2022年将投入教育专项经费三年共需23832万元，若每年增长率都为，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，E是的中点，连接，过点A作，垂足为F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 学生甲手中有4，6，8三张扑克牌，学生乙手中有3，5，10三张扑克牌，现每人从各自手中随机取出一张牌进行比较，数字大者胜，在该游戏中（ ） A. 甲获胜的概率大 B. 乙获胜的概率大 C. 两人获胜概率一样大 D. 不能确定 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B、A两点，以线段AB为边在AB右侧作等边三角形ABC，边AC与x轴交于点E，边BC与y轴交于点F，点D是y轴上的一个动点，连接AD，BD，CD．下面的结论中，正确的是（ ） ①；②；③当时，；④点C的坐标为；⑤当时，； A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②③ D. ①②③④⑤ 二、填空题（每空2分，共14分） 9. 一个比的前项是15，后项是12，这个比是________，比值是________． 10. 连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是__________． 11. 从，2，，这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点在函数图象上的概率是 _____． 12. 如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为_______． 13. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______. 14. 如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、．设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为______． 三、解答题（共82分） 15. （1）如图1，正方形网格中，的顶点均在网格上． ①以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出． ②作出关于坐标原点O成中心对称的． ③可由绕某点M旋转得到；请直接写出旋转中心M的坐标为______． （2）如图2，的顶点均落在格点上，以BC为直径的半圆与AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP＋PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q． 16. 解下列方程 （1） （2） （3）（用配方法解） （4） 17. 如图1转盘被等分为等份，如图正方形顶点处各有一个圆圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落指向分界线时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 请回答下列问题： （1）若嘉嘉从圆圈起跳，则她仅转动一次转盘，就能跳回到圈的概率_______； （2）若淇淇从圆圈起跳，则她转动一次转盘跳回到圈的概率与（）中嘉嘉的概率一样大吗？通过计算说明理由． 18. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 19. 当为何值时，一元二次方程有两个不相等的是实数根． 20. 如图，四边形中，，，、分别是、的中点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，为的中点，点是线段上一动点． ①当点M是线段的中点时，连结，求证：； ②若，试求出的最小值． 21. 某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于元试销期间发现该糖果每天的销售量（千克）与每千克的售价（元）之间的函数关系如下表： x/元 y/千克 （1）求与之间的函数关系式． （2）当每天获得的总利润是元时，这种糖果每千克的售价是多少元？ （3）设每天获得的总利润是（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 22. 如图，中，的平分线交于点，点是线段上一个动点，交射线于点，连接，点是点关于的对称点． （1）线段_______，_________． （2）在点从点运动到点的过程中，是否有可能是等腰三角形？若有可能，求出当是等腰三角形时，所有可能的长；若不可能，请说明理由． （3）当点恰好落在线段上时，_________________． 23. 已知抛物线与x轴交于点点B两点，与y轴交于点， （1）求此抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接； ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的横坐标； ②如图2，直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，直接写出点P的坐标． 24. 两点均在菱形的对角线上，连接并延长交于点，连接并延长交于点． （1）如图1，若． ①求证：； ②过作于点，求证：． （2）如图2，连接，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $