精品解析：河南省郑州外国语中学2025-2026学年上学期期中数学试卷

2025-2026外国语中学九年级上学期期中数学 九年级数学学科期中试题 时间：100分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A. 0.400 B. 0.410 C. 0.413 D. 0.423 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割．形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（ ）（注：黄金分割比是） A. B. C. D. 10. 小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．由图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 这篇文章一共1500字 B. 当小丽的录字速度为100字/分钟时，录入时间为15分钟 C. 小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D. 小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的两根是___________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，）的图像上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为5，则__________． 13. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则的长为______________． 14. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离___________米时，才能发现C处的儿童． 15. 在菱形中，，，E是对角线上的一个三等分点，点关于的对称点为，射线，与菱形的边交于点，则的长为_____． 二．解答题（共8题，共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 17. 化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为 ； （2）若小贾随机选择一个容器后，小秦再从剩下的三个容器中随机选择一个容器，求二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是_____． 19. 如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 20. 若关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若恰好是对角线长为的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 21. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 22. 【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越_____（填“大”或“小”）、设加入的糖为千克，糖水溶液的浓度为，则有，下面研究函数的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即，所以我们对比函数来探究．列表： … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … 0 1 2 … 1 2 3 4 … … … （备注：下表中的取值比上表中的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向_____平移2个单位而得到，再向_____平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当时，随的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设，是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的，，当时，总有成立． 23. 【教材再现】 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出__________，进而得到． 【类比迁移】 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，四边形是边长为6的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026外国语中学九年级上学期期中数学 九年级数学学科期中试题 时间：100分钟 分值：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形成为解题的关键． 根据主视图是从正面看到的图形即可解答． 【详解】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为 ． 故选：C． 2. 已知，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解． 【详解】解：A、由可得，与已知条件相符，故该选项正确，符合题意； B、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； C、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； D、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 3. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A. 0.400 B. 0.410 C. 0.413 D. 0.423 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 根据表中数据显示，随着抽测学生数增加，近视学生数与n的比值在0.410附近波动，且多数值接近0.410，因此最合理的估计是0.410． 【详解】解;∵ 随着累计抽测学生数n增大，近视学生数与n的比值逐渐稳定在0.410附近， ∴ 该区初中生近视的概率的估计最合理的是0.410． 故选：B． 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标满足反比例函数的解析式． 根据点，，都在反比例函数的图象上，即可求出函数值进行比较． 【详解】解;∵ 点, , 在 上， ∴ ,,， ∴ , , ， 故 . 故选：D． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式的值，即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程为， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7. 如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：：：， ：：， ∽， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 8. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．由题意可知：竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，然后运用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则竿的长度为x尺，门宽为尺，高为尺， 根据勾股定理可得：． 故选：C． 9. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割．形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（ ）（注：黄金分割比是） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，是线段的两个黄金分割点， 线段的长为， ， ， ， 四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故选：B． 10. 小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．由图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 这篇文章一共1500字 B. 当小丽的录字速度为100字/分钟时，录入时间为15分钟 C. 小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D. 小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的解析式求解及利用函数性质分析实际问题是解题的关键． 本题围绕反比例函数在实际问题中的应用展开，需先确定反比例函数解析式，再结合各选项的条件分别进行分析计算． 【详解】解：设反比例函数解析式为． ∵图象经过点， ∴， 解得，即，文章总字数为字． 由，当，时，总字数为字，故A正确． 当时，，故B正确． 从到共分钟，即，则，解得，故小丽每分钟至少应录入字，C错误． 原计划速度，则原计划时间分钟； 实际速度，实际时间分钟； 提前时间为分钟，故D正确． 故选：C． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的两根是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的根据，根据可得，，即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故答案为：，． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（为常数，）的图像上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为5，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式． 设，由的面积，可得，由点在反比例函数的图象上，可得，即可得的值． 【详解】解：设， ∵的面积为5， ∴， ∴， ∵点在反比例函数（为常数，）的图象上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则的长为______________． 【答案】2 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 14. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离___________米时，才能发现C处的儿童． 【答案】## 【解析】 【分析】先在中，利用勾股定理求出的长，再证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质可得，然后在中，根据勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【详解】在中，，， ， ，， ， ， ， ， 在中，米， ， ， 汽车从处前行米，才能发现处的儿童， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 在菱形中，，，E是对角线上的一个三等分点，点关于的对称点为，射线，与菱形的边交于点，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意得，E是上的一个三等分点，故需分两种情况：①若；②若，画出对应的图形，根据对称性得到，再结合图中的相似三角形和直角三角形分别运用相似三角形性质和勾股定理即可求得结果． 【详解】解：如图，连接交于， 菱形，交于点，，， ， ，，， ∴， 是上的一个三等分点， 分两种情况讨论： ①若，如图，连接交于， 则，， 由轴对称性质得，， ，，， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（为负根，舍去）， ， ，， ， ， ∴， ， ； ②若，如图，在上截取， 而，， ∴， ∴， 由轴对称性质得，， ，，， 同理可得：， ∴， 设，则，， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（为负根，舍去）， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程等，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理求线段长度，学会结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形解决问题是解题的关键，本题属于几何综合题，适合几何知识储备较强，有能力解决几何难题的学生． 二．解答题（共8题，共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 【小问2详解】 解; , , , ，． 17. 化学实验课上，杨老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为 ； （2）若小贾随机选择一个容器后，小秦再从剩下的三个容器中随机选择一个容器，求二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列树状图求概率以及概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属，选到的概率为，即可作答． （2）先运用列树状图，得出共有种等可能结果，满足二人所选容器中的金属均能置换出氢气的结果有种，即可作答． 【小问1详解】 解：∵（镁）、（铝）、（锌）、Cu(铜）四种金属 ∴小贾从四个容器中随机选一个，则选到的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能结果，满足二人所选容器中的金属均能置换出氢气的结果有种， ∴二人所选容器中的金属均能置换出氢气的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是_____． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、位似图形的绘制以及相似比的计算，熟练掌握轴对称的坐标特征、位似的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、关于轴对称的点、、的坐标，再连接三点得到三角形． （2）根据位似中心和点的坐标，确定位似比，进而求出、的坐标，再连接三点得到三角形． （3）通过对应点的坐标求出相似比． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可得，， ∴与的相似比为． 故答案为：． 19. 如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：，分别为AB，AC的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形中位线定理得出，结合证明四边形是平行四边形，再由得出有一个角是直角，从而证明其为矩形． （2）先判断是等腰直角三角形得出，结合已知求出的长，再利用三角形中位线定理求出的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，，， ， . 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． 20. 若关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若恰好是对角线长为的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据列出不等式解答即可； （）由一元二次方程根和系数的关系得，，又由勾股定理得，即得到，求出的值可得，进而即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质等，掌握相关知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， ∴的取值范围是； 【小问2详解】 解： 。 由题意得，，， ， ， 即， 解得，， 此时方程变为，此时，，满足两根为正的条件， ∴的值为， ， ∴矩形周长为． 21. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）①；② （2）每组手办降价5元时利润可以为3500元 （3）当时，有利润的最大值为3600元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． 【小问1详解】 解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． 【小问3详解】 每天的利润为， 则 ， 当时，有利润的最大值为3600元． 22. 【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越_____（填“大”或“小”）、设加入的糖为千克，糖水溶液的浓度为，则有，下面研究函数的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即，所以我们对比函数来探究．列表： … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … 0 1 2 … 1 2 3 4 … … … （备注：下表中的取值比上表中的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向_____平移2个单位而得到，再向_____平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当时，随的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设，是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的，，当时，总有成立． 【答案】问题情境：大； （1）如图所示，即为所求： （2）左，上； （3）证明： ， ， ，，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了画反比例函数图象，反比例函数图象的平移问题，分式的减法计算，正确理解题意是解题的关键． 问题情境：根据生活常识即可得到答案； （1）根据表格中的数据，描点，连线画出函数图象即可； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）利用作差法可得，据此可证明结论． 【详解】解：问题情境：往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越大， 故答案为：大； （1）略 （2）由题意得，函数的图象是由的图象向左平移2个单位而得到，再向上平移1个单位而得到； 故答案为：左，上； （3）略 23. 【教材再现】 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出__________，进而得到． 【类比迁移】 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，四边形是边长为6的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图所示，在上取，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵交矩形的外角平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴设，则， ∴，， ∴， ∴； （3）CE的长为4或6． 【解析】 【分析】（1）如图所示，取的中点，连接，则，根据正方形的性质可证，由此即可求解； （2）如图所示，在上取，连接，可证，得到，根据，点是中点，设，则，则，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作，交于点，可证，得，设，则，，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，取的中点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴，则， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴，， ∵是角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， 解得，， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上，如图所示， ∴； 综上所述，的长为4或6． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，因式分解法进行解方程．掌握相似三角形的判定和性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $