2026年中考数学复习专项训练：几何模型——矩形中的折叠模型

矩形中的折叠模型 矩形折叠模型是初中几何的核心内容，更是中考几何综合题的 “高频考点” 与 “得分关键”。 从全国近年中考命题趋势来看，矩形折叠相关题目不仅年年出现，还常以中档题、压轴题形式呈现，分值占比达 8%—12%，其重要性不言而喻。 · 核心本质：折叠的性质（解题根本依据） · 矩形折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形全等，核心性质可总结为 3 点： ①对应边相等：折叠后重合的线段长度不变（如矩形的边、折叠产生的折痕对应线段）。 ②对应角相等：折叠后重合的角大小不变（如矩形的直角、折叠形成的锐角 / 钝角）。 ③对称轴特性：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意一点到对应点的距离相等。 关键提醒：矩形本身具备 “对边相等、四个角为直角、对角线相等且互相平分” 的性质， 折叠后会与这些性质结合，形成等腰三角形、直角三角形等特殊图形，是解题的关键突破口。 · 模型速记： 矩形 ＋ 折叠——线段关系 / 等腰三角形 · 模型解读： 1、将矩形ABCD沿着对角线BD折叠： 【方法点播】①在Rt△ABF中利用勾股定理列方程可解决线段长度问题； ②△BFD为等腰三角形； 2、将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合： 【方法点播】①在Rt△ABF中利用勾股定理列方程可解决线段长度问题； ②△AFC为等腰三角形； 3、折叠后使点A落在BC边上：Rt△A’BE中利用勾股定理列方程; 4、折叠后使顶点落在对角线上：Rt△A’BE中利用勾股定理列方程; 5、折叠后使顶点落在边的中垂线上：Rt△A’ME中利用勾股定理列方程 6、折叠后三点共线：Rt△A’BD’中利用勾股定理列方程 【记忆】1、折叠问题中，折痕相当于角平分线； 2、结合“角分线＋平行——构造等腰三角形”，推导线段关系； 3、折叠前后对应点连线与折痕垂直，且被折痕平分； · 折叠问题中考标准解题流程： 1、标关系：在图中用符号标注出折叠后的对应边、对应角（如相等的线段画 “=”，相等的角画 “∠”），明确已知量和未知量； 2、找特殊图形：识别折叠后形成的直角三角形、等腰三角形、菱形等，优先关注含未知量的直角三角形（勾股定理的主要应用场景）； 3、列方程求解：设关键未知量为 x（通常设折叠后重合的线段长度为 x），利用勾股定理、相似三角形性质或等腰三角形性质列方程，求解后验证是否符合题意。 · 矩形折叠问题的解题核心可概括为： 折叠转化全等，全等带来相等，相等构建关系，关系求解未知； 解题时需将矩形性质与折叠的轴对称性质结合，优先构造直角三角形，灵活运用勾股定理、等腰三角形性质、相似三角形等知识，通过方程思想突破未知量，这也是中考命题的高频考法。 · 课后练习： 1. 如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点D处，则重叠部分的面积为______． 2. 如图，把矩形沿对折，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点D’处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4.长方形制片的对边是互相平行的，将其折叠成如图所示的图形，若∠ABC=64°，则∠CAB=( ) A. 53° B. 58° C. 63° D. 68° 5.如图，已知矩形，将矩形沿对角线折叠，使点B落在点处，与交于点E．．求的长． 6. 如图，矩形中，．点E为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___________． 7. 如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB＝3cm，长BC＝5cm．求EC的长． 8. 如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD交于点E． （1）求证：△AED≌△CEB′； （2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上； （3）若AB=8，AD=3，求图中阴影面积； · 易错点总结：（规避中考常见失分） 1、混淆对应边 / 角：折叠后未准确识别重合的线段和角，导致边长、角度关系错误； 2、忽略直角三角形：未及时利用矩形的直角和折叠形成的直角，错过勾股定理的应用时机； 3、计算失误：列方程时符号错误或开方错误，尤其是含根号的边长计算； 4、漏用隐含条件：未发现折叠后形成的等腰三角形，导致解题思路受阻。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 矩形中的折叠模型 矩形折叠模型是初中几何的核心内容，更是中考几何综合题的 “高频考点” 与 “得分关键”。 从全国近年中考命题趋势来看，矩形折叠相关题目不仅年年出现，还常以中档题、压轴题形式呈现，分值占比达 8%—12%，其重要性不言而喻。 · 核心本质：折叠的性质（解题根本依据） · 矩形折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形全等，核心性质可总结为 3 点： ①对应边相等：折叠后重合的线段长度不变（如矩形的边、折叠产生的折痕对应线段）。 ②对应角相等：折叠后重合的角大小不变（如矩形的直角、折叠形成的锐角 / 钝角）。 ③对称轴特性：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意一点到对应点的距离相等。 关键提醒：矩形本身具备 “对边相等、四个角为直角、对角线相等且互相平分” 的性质， 折叠后会与这些性质结合，形成等腰三角形、直角三角形等特殊图形，是解题的关键突破口。 · 模型速记： 矩形 ＋ 折叠——线段关系 / 等腰三角形 · 模型解读： 1、将矩形ABCD沿着对角线BD折叠： 【方法点播】①在Rt△ABF中利用勾股定理列方程可解决线段长度问题； ②△BFD为等腰三角形； 2、将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合： 【方法点播】①在Rt△ABF中利用勾股定理列方程可解决线段长度问题； ②△AFC为等腰三角形； 3、折叠后使点A落在BC边上：Rt△A’BE中利用勾股定理列方程; 4、折叠后使顶点落在对角线上：Rt△A’BE中利用勾股定理列方程; 5、折叠后使顶点落在边的中垂线上：Rt△A’ME中利用勾股定理列方程 6、折叠后三点共线：Rt△A’BD’中利用勾股定理列方程 【记忆】1、折叠问题中，折痕相当于角平分线； 2、结合“角分线＋平行——构造等腰三角形”，推导线段关系； 3、折叠前后对应点连线与折痕垂直，且被折痕平分； · 折叠问题中考标准解题流程： 1、标关系：在图中用符号标注出折叠后的对应边、对应角（如相等的线段画 “=”，相等的角画 “∠”），明确已知量和未知量； 2、找特殊图形：识别折叠后形成的直角三角形、等腰三角形、菱形等，优先关注含未知量的直角三角形（勾股定理的主要应用场景）； 3、列方程求解：设关键未知量为 x（通常设折叠后重合的线段长度为 x），利用勾股定理、相似三角形性质或等腰三角形性质列方程，求解后验证是否符合题意。 · 矩形折叠问题的解题核心可概括为： 折叠转化全等，全等带来相等，相等构建关系，关系求解未知； 解题时需将矩形性质与折叠的轴对称性质结合，优先构造直角三角形，灵活运用勾股定理、等腰三角形性质、相似三角形等知识，通过方程思想突破未知量，这也是中考命题的高频考法。 · 课后练习： 1. 如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______． 【答案】 解：根据折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解之得：， ∴， ∴， 2. 如图，把矩形沿对折，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 解：如图所示， ∵矩形沿对折后两部分重合，， ∴， ∵矩形对边， ∴． 3. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点D’处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 解：由折叠和矩形的性质可知，，， 又∵， ∴≌（）， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得： ， 解得：， ∴ 4.长方形制片的对边是互相平行的，将其折叠成如图所示的图形，若∠ABC=64°，则∠CAB=( ) A. 53° B. 58° C. 63° D. 68° 【答案】B 解：∵AB∥DE， ∴∠BCD=∠ABC=64° ∵∠BCD+∠BCE=180° ∴∠BCE=116° 由折叠的性质，得∠ACE=∠ACB，所以 ∵AB∥DE ∴∠CAB=∠ACE=58° 5.如图，已知矩形，将矩形沿对角线折叠，使点B落在点处，与交于点E．．求的长． 解：∵四边形是矩形， ∴，∠D=90°， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， 在Rt△DCE中，由勾股定理得：， 解得：， ∴． 6. 如图，矩形中，．点E为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】9或18 解：（1）当时，如图1， ∵， 根据轴对称的性质得， ∵∠D=90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴； （2）当时，如图2， 根据轴对称的性质得， 为直角三角形， 即， ∴， ∴A、D、C在同一直线上， 根据勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即； 综上所述：的长为9或18； 7. 如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB＝3cm，长BC＝5cm．求EC的长． 【答案】EC＝. 解：由折叠可知AD＝AF＝5cm，DE＝EF ∵∠B＝90° ∴AB2+BF2＝AF2， ∵AB＝3cm，AF＝5cm ∴BF＝4cm， ∵BC＝5cm， ∴FC＝1cm ∵∠C＝90°， ∴EC2+FC2＝EF2 设EC＝x，则DE＝EF＝3﹣x ∴（3﹣x）2＝12+x2 ∴x＝ 即EC＝. 8. 如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD交于点E． （1）求证：△AED≌△CEB′； （2）求证：点E在线段AC的垂直平分线上； （3）若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长． （1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90° ∵∠B′EC=∠DEA 在△AED和△CEB′中 ∴△AED≌△CEB′（AAS）； （2）∵△AED≌△CEB′ ∴EA=EC ∴点E在线段AC垂直平分线上． （3）阴影部分的周长为AD+DE+EA+EB′+B′C+EC =AD+DE+EC+EA+EB′+B′C =AD+DC+AB′+B′C =3+8+8+3=22 · 易错点总结：（规避中考常见失分） 1、混淆对应边 / 角：折叠后未准确识别重合的线段和角，导致边长、角度关系错误； 2、忽略直角三角形：未及时利用矩形的直角和折叠形成的直角，错过勾股定理的应用时机； 3、计算失误：列方程时符号错误或开方错误，尤其是含根号的边长计算； 4、漏用隐含条件：未发现折叠后形成的等腰三角形，导致解题思路受阻。 1 学科网（北京）股份有限公司 $